2005考研數二真題及解析

1、2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題、填空題：1-6小題,每小題4分,共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上設y(1sinx)x,則dyx=3曲線y(1；)的斜漸近線方程為.x1xdx022(2x),1x八，八1微分萬程xy2yxlnx滿足y(1)的解為92當x0時，(x)kx與(x)*1xarcsinxvcosx是等價無分小，則k=.A(1,2,3),B(1設1,2,3均為3維列向量，記矩陣3,12243,13293),如果A1,那么B、選擇題：7-14小題,每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.設函數3n(8)(

2、A)(C)f(x)limn1n處處可導.恰有兩個不可導點.，則f(x)在(B)(D)恰有一個不可導點.至少有三個不可導點.設F(x)是連續(xù)函數f(x)的一個原函數,"MN"表示M的充分必要條件是N",則必有()(A)F(x)是偶函數(A)F(x)是偶函數(A)F(x)是偶函數f(x)是奇函數.(B)F(x)是奇函數f(x)是偶函數.(C)F(x)是周期函數f(x是周期函數.(D)F(x)是單調函數f(x)是單調函數.設函數yy(x)由參數方程t22t,yln(1t)確定,則曲線yy(x)在x3處的法線與x軸交點的橫坐標是()(A)1ln23.8(C)8ln23.1

3、(B)-ln23.8(D)8ln23.(10)設區(qū)域D(x,y)x2(A)abab(B)(C)(ab).ab(D)亍(11)設函數u(x,y)(xy)(xy)(t)dt,其中函數具有二階導數，y24,x0,y0),f(x)為D上的正值連續(xù)函數，a,b為常數，則g即d、f(x).f(y)有一階導數，則必有2u(A)x2u(A)x2u(A)x2u2.y(B)2u2x2u2.y2u(C)xy2u-2.y(D)2u.x(12)設函數(12)設函數(12)設函數f(x)-,則1(A)(A)(A)0,x1都是f(x)的第一類間斷點(B)x0,x1都是f(x)的第二類間斷點(C) x0是f(x)的第一類間斷

4、點，x1是f(x)的第二類間斷點(D) x0是f(x)的第二類間斷點，x1是f(x)的第一類間斷點設1,2是矩陣A的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為1,2,則1,A(12)線性無關的充分必要條件是()(A)10.(B)20.(C)10.(D)20.(13) 設A為n(n2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣，則()(A)交換A的第1列與第2列得B.(A)交換A的第1列與第2列得B.(B)交換A的第1行與第2行得B.1行與第2行得B.、_*一_*、_*(C)交換A的第1列與第2列得B.(D)交換A的第三、解答題：15-23小題，共94分.請將解答寫

5、在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(本題滿分11分)設函數f(x)連續(xù),且f(0)0,求極限limx0設函數f(x)連續(xù),且f(0)0,求極限limx0設函數f(x)連續(xù),且f(0)0,求極限limx0x0(xt)f(t)dtxx0f(xt)dt(本題滿分11分)，一一一1xx如圖，Ci和C2分別是y-(1ex)和yex2的圖象，過點(0,1)的曲線。3是一單調增函數的圖象過C2上任一點M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線lx和ly.記C1C2與lx所圍圖形的面積為Sx)；C2，C3與ly所圍圖形的面積為S2(y).如果總有S(x)S2(y)，求曲線C3的方程x

6、(y).(14) (本題滿分11分)如圖，曲線C的方程為yf(x),點(3,2)是它的一個拐點，直線l1與l2分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4).設函數f(x)具有三階連續(xù)導數，計算定積分：(x2x)f(x)dx.(15) (本題滿分12分)用變量代換xcost(0t)化簡微分方程(1x2)yxyy0,并求其滿足yx01，yx02的特解.(16) (本題滿分12分)已知函數f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)0,f(1)1.證明：存在(0,1),使得f()1;(II)存在兩個不同的點，(0,1),使得f()f()1.(17) (本題滿分10分)

7、已知函數z已知函數z已知函數zf(x,y)的全微分dz2xdx2ydy,并且f(1,1)2.求f(x,y)在橢圓2域D(x,y)x21)上的最大值和最小值4(本題滿分9分)計算二重積分x2y21d，其中D(x,y)0x1,0y1)D(本題滿分9分)確定常數a,使向量組1(1,1,a)T,2(1,a,1)T,3(a,1,1)T可由向量組1(1,1,a)T,2(2,a,4)T,3(2,a,a)T線性表示，但向量組1,2,3不能由向量組1,2,3線性表示.(18) (本題滿分9分)已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零，矩陣B246(k為常數),36k且AB0,求線性方程組AX0

8、的通解.2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題解析一、填空題(1)【詳解】先求出函數的導數，再求函數在某點的微分方法1:利用恒等變形得y(1sinx)x=exln(1sinx),于是xln(1sinx)eln(1sinx)cosx,1sinx從而dyx=y()dxdx.方法2：兩邊取對數，lnyxln(1sinx),對x求導，得于是于是于是1_yyln(1sinx)xcosx1sinx(1sinx)xln(1sinx)cosx_x,1sinx故dy*=y()dxdx.3(2)曲線y(1/的斜漸近線方程為x【詳解】由求斜漸近線公式axb(其中alimxf(x)xblimf(x)ax),得

9、:1,blimf(x)axxlim(1x33x)*2x；3于是所求斜漸近線方程為yx3.2(3)【詳解】通過還原變換求定積分方法1：令xsint(0t)，則21xdx；sintcostsintxxxx、xxxxx、xxxxx、x2dt丁dt0(2x2)1x20(2sint)cost02sintidcost201costarctan(cost)|(24方法2:令Jx2t，有x21t2，所以有xdxtdt,其中1xdx022(2x).1x1dt0fT1arctant一041.1(4)【答案】y-xlnx-x.39【詳解】求方程也P(x)yQ(x)的解,有公式dxP(x)dxP(x)dxyeQ(x)

10、edxC(其中C是常數).2將原萬程等價化為y-ylnx,于是利用公式得方程的通解x2dx2dxyexlnxexdxC2xlnxdxC=xlnxx2,(其中C是常數)x39x,1一一一一.1一1由y(1)一礙C0,故所求解為y-xlnx-x.939(5)【詳解】由題設(x)(x)1xarcsinx、cosxxarcsinx1cosxlim2=lim2x0kxx0kx(1xarcsinxcosx)1xarcsinx1cosx1lim2kx02karcsinxlimx0xm01cosx又因為1cosxlimx01arcsinx2項。=arcsin.ulimu0sinu所以lim0(x)(x)13(

11、1)2k24k由題設1,得k-4.3(x)(x)，所以一4k【答案】2【詳解】11方法1：因為(123)(1,2,3)1,(12243)(1,2,3)2(13293）（1，2,3）3,9111故B(123,12243,13293)=(1，2,3)1231493），兩邊取行列式，于是有2.，把某行的各元素分別乘以非零常數加到另一行的對應元素上，行列式的值不變；從某一行或列中提取某一公因子行列式值不變方法2:利用行列式性質（在行列式中211223，1匕243，1329332231123,233,221383=123,2123=21122,333，2°1,故|B3，32A2332.212，

12、2,321,)又因為A2，33，23、選擇題【答案】C【詳解】分段討論，并應用夾逼準則，當|x|1時,有聽頊1|x|3n呢,命取極限，得limn1n1,由夾逼準則得f(x)limn1n3n|x|1；當|x|1時,f(x)limn1n1;當|x|1時，|x|3n.|7Tn1|x|3n咬|x|3,命取極限，得limn2|x|3n|x|3,由夾逼準則得f(x)limn11)；|x|3.所以f(x)1,3x|x|1|x|1再討論f（x）的不可導點.按導數定義，易知x1處f（x）不可導，故應選（C）.(8)【答案】A【詳解】方法1:應用函數奇偶性的定義判定，函數f(x)的任一原函數可表示為F(x)

13、76;Xf(t)dtC,且F(x)f(x).當F(x)為偶函數時，有F(x)F(x),于是F(x)(1)F(x),即f(x)f(x)，亦即f(x)f(x)，可見f(x)為奇函數；x反過來,若f(x)為奇函數，則F(x)°f(t)dtC,令tk，則有dtdk,所以xxF(x)0f(t)dtC0f(xk)dkCqf(k)dkCF(x),從而xF(x)qf(t)dtC為偶函數，可見(A)為正確選項.方法2:排除法，令f(x)1,則取F(x)x1,排除(B)、(C);19.令f(x)x,則取F(x)-x,排除(D);2【答案】A2【詳解】當x3時，有t2t3,得t11,t23(舍去，此時y無

14、意義),yIn28(x3),1一八曲線yy(x)的導數為dy1dydt1t1dxdx2t22(t1)2，dt所以曲線yy(x)在x3(即t，一11)處的切線斜率為18于是在該處的法線的斜率為8,所以過點(3,ln2)的法線方程為令y=0,得其與x軸交點的橫坐標為：In23,故應(A).8(10)【答案】D【詳解】由于積分區(qū)域D是關于yx對稱的，所以x與y互換后積分值不變，所以有a、f(x)b、f(y)ddvf(x)f(y)a、f(y)b、f(x)ddlf(y).f(x)1a"f(x)b、f(y)a,f(y)b.、f(x)、f(y)d.f(x)(11)【答案】Bu【詳解】因為于是2可見

15、有2x(12)【答案】2u2y2u2y【詳解】由于函數且limf(x)(x(xy)y)(x(x(x，應選(B).f(x)在x，所以(x(xy)y)22(x(xy)y)y)0,x(xy)(xy)(xy)y)y)(x(x(x應選(D).(x(xy),y),y)(xy),y)(xy),y)(xy),1點處無定義，因此是間斷點.x。為第二類間斷點;limf(x)0,limf(x)1,所以x1為第一類間斷點，故應選(D).(13)【答案】B【詳解】方法1：利用線性無關的定義1,2分別是特征值2對應的特征向量，根據特征值、特征向量的定義，有111,A222A(12)設有數k,k2，使得k1k2A(12)0

16、,則k11k211k2220(k1k21)1k2220.2,因不同特征值對應的特征向量必線性無關，故2線性無關，則反過來k210,k220.20時,方程只有零解，則k10,k20,此時1,A（12）線性無關;，若1,A（12）線性無關，則必然有20（否則，1與A(12)=1性相關）,故應選（B）.方法2:將向量組的表出關系表示成矩陣形式2分別是特征值2對應的特征向量，根據特征值、特征向量的定義，有1,A222A(12)11由于1,A(11,11222,因不同特征值對應的特征向量必線性無關，知2線性無關1,A(2）線性無關，則1，A(12）2,則min,r2,從而1,A(1,2,從而r0,則r2

17、，從而2,又2,2線性無關，則1,A(12）12）線性無關的充要條件是方法3:利用矩陣的秩1，2分別是特征值1，2對應的特征向量20.故應選（B）.，根據特征值、特征向量的定義，有11,A222A(12)因12,因不同特征值對應的特征向量必線性無關,故1,2線性無關，又r(1,A(12)2A(12)1122,故1,A(12)線性無關將1的-1倍加到第2列又因為1,1122則r(1,1122)(1,22)220(若20,與r(1,22)2矛盾)方法4:利用線性齊次方程組1,2分別是特征值1,2分別是特征值1,2分別是特征值1,2對應的特征向量，根據特征值、特征向量的定義，有11,A2A(12)由

18、12,因不同特征值對應的特征向量必線性無關，故1,2線性無關,1,A(2)線性無關22線性無關0,2線性無關時2線性無關時X1X0只有零解，又1,11X1X20只有零解2Y。只有零解，故YX1X20,只有零解，0的系數矩陣是個可逆矩陣X2方法5:方法5:0，故應選(B)1,2線性無關，有，有1,2分別是特征值1,2對應的特征向量，根據特征值、特征向量的定義11,A222A(12)向量組2和向量組II:1,A(12）1122.顯然向量組II可以由向量組線性表出；當0時，不論1的取值如何，向量組I可以由向量組II線性表出1)-A(122),從而I是等價向量組20時,r1,2（14）【答案】【詳解】

19、(C)方法1:由題設，存在初等矩陣E2（交換n階單位矩陣的第1行與第行所得）,使得_-_*E12AB,（A進行行變換，故A左乘初等矩陣），于是B*(E12A)一*E12,又初等矩陣都是可逆的，故E121一*E12E12又E12E1（行列式的兩行互換，行列式反號），E121E12,故*AE12AE121*1E12AE12AE12,*即AE12*、.B，可見應選（C）.方法2:交換A的第一行與第二行得B,即BE12A.又因為A是可逆陣，E121,故BdA0,所以B可逆，且B1（E12A）1A1E12.又A1A_B1Aa，BB皿BAlc間,故回回E12,又因BA,故A*E12B*.三、解答題(15)

20、【詳解】作積分變量代換，命XtU,則X0X0f(xt)dtxf(u)(du)0f(u)du,于是X0(Xt)f(t)dtXx0f(xt)dtXXXf(t)dttf(t)dt00XX0f(u)du洛必達法則f(t)dtxf(x)xf(x)0f(u)duxf(x)整理時。f(u)duxf(x)上下同除xlimx01xx0f(t)dtf(x)x0f(t)dt1而limx0xx0f(t)dtx(。f(t)dt)limx0xlimf(x)f(0)x0所以由極限的四則運算法則得原式0f(t)dt1xf(x)；0f(t)dt1xlimf(t)dtx0x01Xlimf(x)limf(t)dtx0x0f(0)0

21、1f(0)f(0)f(0)2(16)【詳解】由題設圖形知,C3在G的左側，根據平面圖形的面積公式得xt1t1vSJx)0et2(1et)dt-(exx1),yS2(y)1(lnt(t)dt,由S1(x)S2(y),得1xy(ex1)1(lnt(t)dt,注意到M(x,y)是yex的點，于是2(ylny1)：(lnt(t)dt11、，、兩邊對y求導礙(1)lny(y),整理上面關系式得函數關系為:(y)lnyy12y(17)【詳解】由直線l過(0,0)和(2,4)兩點知直線"的斜率為2.由直線l是曲線C在點(0,0)的切線，由導數的幾何意義知f(0)2.同理可得f(3)2.另外由點(3

22、,2)是曲線C的一個拐點知f(3)0.由分部積分公式，3(x20x)f(x)dx320(x2x)df(x)2(x2x)f(x)3300f(x)(2x1)dx(18)【詳解】由題設xdydtdtdx(323)f(3)(0230(2x1)df(x)(231)f(3)(2=162f(3)cost(0t1dy林,yf(0)、七dx)，有dt30)f(0)0f(x)(2x1)dx332f(x)dx00(2x1)f(x)301)f(0)2of(x)dx20.sint，由復合函數求導的鏈式法則得dydtdtdxcostdy.2sintdt1d2ysintdt2土),sint代入原方程,(1cos2t)-c&

23、#176;dy2sintdtsintdtd2y(cost(sintdt0,d2y化簡得4dt2y0,其特征方程為10,特征根r,2i,通解為yCicostC2sint所以yC1costC2sintC1xC21x2將初始條件x01,代入得，1C10C2J102C2,即C21.C1xC2(.1x)C12x2、1x2將Ci2,C21代入通解公式得滿足條件的特解為y2xJix2,1.(19)【詳解】(I)令F(x)f(x)1x,則F(x)在0,1上連續(xù)，且F(0)10,F(1)10,于是由閉區(qū)間連續(xù)函數的介值定理知，存在(0,1),使得F()0,即f()1.(II)在0,和,1上對f(x)分別應用拉格

24、朗日中值定理，知存在兩個不同的點(0,),(,1),使得f()旦十f()Vzf(0,0)2.于是f()f()-f()1f()111一1.(20)【詳解】由dz2xdx2ydy知-zz-2xxy2y.對2x兩邊積分得xzf(x,y)x2c(y)2.將z(x,y)xc(y)代入-2y得c(y)2y.所以yc(y)iy2c.所以z2xy2c.再由x1,y1時z2知，c2.于是所討論的函數為22zxy2.求z在x22y_41中的駐點.由zx2x,Wy2y得駐點(0,0),對應的2討論zx2y22在D的邊界x2=1上的最值，有兩個方法4方法1：把y24(1x2)代入z的表達式，有zx2y22=5x22,

25、1x1Zx10x命zx。解得x0,對應的y2,zx0,y22還要考慮1x1的端點x1,對應的y0,zx1,y03由z2,z2,z3比較大小，故minz2(對應于x0,y2),maxz3(對應于x0,y2)方法2：用拉格朗日乘數法，作函數F(x,y,)x2y22(x21)4Fxf2x2(1)x0,x解方程組Fy2y-y0yy222Fx2山104由上面的第一個方程解得x0或由上面的第一個方程解得x0或由上面的第一個方程解得x0或1：當x0時由最后一個方程解得y2；當1是由第二個方程解得y0,這時由最后一個方程解得x1.故解得4個可能的極值點(0,2),(0,2),(1,0),(1,0).計算對應z

26、的值:Z(0,2)2,Z(0,2)2,z(1,0)3,z(1,0)3再與z（0,0）2比較大小，結論同方法1.(21)【詳解】D:x2y210為以O為中心半徑為1的圓周，劃分D如下圖為D1與D2.這時可以去掉絕對值符號x2y2122xy1,(x,y)D2(x,y)D11x2D1方法1：x2y21d=D后一個積分用直角坐標做(x2y21)dxdy(x2y21)dxdyD222(xy1)dxdyD211°dx"(xy1)dy1222112o0(x1)(x1).1x3;(1-x)2dx°2cos34tdt2(10'cos2t)2dt121334121334121

27、33412133412383°%02(1-2、2cos2tcos2t)dtco.1cos4t,.2cos2t)dt22cos2tcoF)dt3221M-2(2cos2340110.4382t：(1cos4tW)dt前一個積分用極坐標做，(12、y)dxdy所以Di1°(12Jr)rdr4)d8y21d=+8方法2:由于區(qū)域D2的邊界復雜，計算該積分較麻煩，可以將。2內的函數擴充”到整個區(qū)域D=0UD2,再減去擴充”的部分，就簡化了運算.即因此(x2D22xD由極坐標D1所以1)d1d(1D12(1D1(1(x2(x2Dy21)d(xy21)d(1y2)dD1(x21)dD1

28、y2)dD2(x21)d(x2D1y21)dy2)dy2)dxdy1)d1dy1d=2(x2D02d10dyo(y21)d10(10(x22)dy3)rdr4)d1)dx1x3一03(y211)x0dy3土1y0(22)【詳解】方法1：記A(1,2,3),B(1,2,3).由于1，2，3不能由1，2，3線性表出，故3線性表出)，從而3線性表出)，從而r(A)3,(若r(A)3,則任何三維向量都可以由Aa110102a(1)13按第3列展開(2a)(其中(從而得a1或a提取第1行的公因子(2a)(2111aa11a)112(2a)(a1)2131)13指數中的1和3分別是1所在的行數和列數1,1

29、,1T，則12，故2111k1k2k32程組21k11k21k31，即k1k2k31無解)，故a1符合題意4111k1k2k341,2,3可由1,2,3線性表出，但22,1,4t不能由1,2,3線性表出(因為方122:1122行1行，122:112BA122:121000:033l3行1行2:a242:211*,006:000當a2時，由于r(B2)3,系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩不相等,故方程組因r(B)2BX2無解，故2不能由1,2,3線性表出，這和題設矛盾，故a2不合題意.因此a1.方法2：對矩陣A(1，2，33)作初等行變換，有11a122(1,2,31,2,3)1a11aaa11a4a

30、11a,1222行1行，0a11a,0a2a23行1行a_201a1a042a3a又B3線性表小.A(1,12211a1aa1a1a4aa111a3)=1行，1行a2a2:1i2:0a3a:012:12:0a4:03(1211031a1a1aa200031a)不存在非零常數k,k2，k3,1使得3kk22不能由3線性表示，因此a2；臺匕日匕非零常數&,k2,k3,使得kk2k34.而當4時,秩r（3）3，此時向量組1,2,3可由向量組由于1,2，3不能由3行2行110a100a12aiac2a:10022a623aa4a2,2由題設向量組1,2,3不能由向量組1,2,3線性表示，則方程組123X增廣矩陣的秩1或12，故r(B)r3X1232或.123X3無解，故系數矩陣的秩又當a2且a4時,a2.綜上所述，滿足題設條件的r(B)3,則必有aa只能是：a1.10或2aa20,即a1或方法3：記a1,2,3,B1,2,3,對矩陣A:B作初等行變換，得11a:122A沮(1，2,3：1，2，3)1a1:1aaa11:a4a11a1222行1行,0a11a,0a2a23行1行a201a1a042a3a11a:1223行2行0a11a:0a2a2002aa2:063a4a21,2,3線性表出，故r(A)3,(若r(A)3,則任何三維向a1a1a12a按第3列展開