三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、對稱性

1、考點56 三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、對稱性1.（13大綱T12）已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是 （ ）A.的圖象關(guān)于中心對稱 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的最大值為 D.既奇函數(shù)，又是周期函數(shù)【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的周期性、最值，對稱性.【難易程度】中等【參考答案】C【試題解析】A項，因為的圖象關(guān)于點中心對稱，故正確.（步驟1）B項，因為所以的圖象關(guān)于直線對稱，故正確，(步驟2)C項，由題意知.令，則.（步驟3）令，得.當(dāng)時，函數(shù)值為0；當(dāng)時，函數(shù)值為；當(dāng)時，函數(shù)值為. ，即的最大值為.故選C.（步驟4）D項，由知其為奇函數(shù)，綜合選項A、B知為周期函數(shù)，故正確.(步驟5)2.（13T1

2、7）設(shè)向量（I）若求的值； （）設(shè)函數(shù)，求的最大值.【測量目標(biāo)】平面向量的基本概念、向量的數(shù)量積運算、兩角和與差的正弦和三角函數(shù)的最值.【難易程度】容易【試題解析】（） （步驟1）又，. （步驟2）（）當(dāng)時，取最大值1. （步驟3）的最大值為. （步驟4）3.(13T15)已知函數(shù). () 求f (x)的最小正周期; () 求f (x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的周期性和最值.【難易程度】容易【試題解析】(I)，故的最小正周期；（步驟1）(II)因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且，故在上的最大值為，最小值為.（步驟2）4（13T21）已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）若

3、在上單調(diào)遞增，求的取值圍；（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的單調(diào)性，周期，圖像及其變化.【難易程度】中等【試題解析】(1)因為，根據(jù)題意有（步驟1）(2) ，或，即的零點相離間隔依次為和，（步驟2）故若在上至少含有30個零點，則的最小值（步驟3）5.（13新課標(biāo) T15）設(shè)當(dāng)x時，函數(shù)f(x)sin x2cos x取得最大值，則cos _.【測量目標(biāo)】三角恒等變換，利用三角函數(shù)求最值.【難易程度】較難【參考答案】【試題解析】f(x)sin x2cos x，（步

4、驟1）令cos ，sin ，則f(x)sin(x)，（步驟2）當(dāng)x2k(kZ)時，sin(x)有最大值1，f(x)有最大值，（步驟3）即2k(kZ)，所以cos sin .（步驟4）6.（13T11）函數(shù)的最小正周期為為 .【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的周期.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】，故最小正周期為. 7.(13T1)函數(shù)的最小正周期為 .【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的周期性.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】函數(shù)的最小正周期.8(13T16)已知函數(shù)f(x)4cos x(0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性【測量目標(biāo)】二倍角，兩角和的正弦，函數(shù)的圖象與性

5、質(zhì)，三角函數(shù)的 單調(diào)性、周期性.【難易程度】中等【試題解析】(1)f(x)4cos xsinsin xcos xcos2x(sin 2xcos 2x).(步驟1)因為f(x)的最小正周期為，且0，從而有，故1.（步驟2）(2)由(1)知，f(x).若0x，則.（步驟3）當(dāng)，即時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，f(x)單調(diào)遞減（步驟4）綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減（步驟5）9.（13T16）已知向量,設(shè)函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.【測量目標(biāo)】平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的周期、最值.【難易程度】容易【試題解析】.（步驟1）（1）最小正周期為,

6、即函數(shù)的最小正周期為.（步驟2）（2）（步驟3）由正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)得，當(dāng)，即時，取得最大值1.（步驟4）當(dāng)，即時，.（步驟5）當(dāng)，即時，（步驟6）的最小值為.因此，在上的最大值是1，最小值是.（步驟7）10（13T4）已知函數(shù)，則“是奇函數(shù)”是的（ ）A充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的奇偶性.【難易程度】中等【參考答案】B 【試題解析】若=，則f(x)=Acos(x+)f(x)=Asin(x)(A0，0，xR)是奇函數(shù)；若f(x)是奇函數(shù)f(0)=0，f(0)=Acos(×0

7、+)=Acos=0.=k+，kZ，不一定有=，“f(x)是奇函數(shù)”是“=”必要不充分條件.故選B.11（12T17）已知向量，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且. （）求函數(shù)的最小正周期； （）若的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)在區(qū)間上的取值圍.【測量目標(biāo)】平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的變換及化簡.【難易程度】容易【試題解析】（I）因為 （步驟1）.由直線是圖象的一條對稱軸，可，所以，即又所以k=1，故，所以的最小正周期為. （步驟2） （II）由的圖象過點，得，（步驟3） 即即. 故（步驟4） 由有 所以，得 故函數(shù)在上的取值圍為.（步驟5）12.（12T16）設(shè)函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期

8、；（II）設(shè)函數(shù)對任意，有，且當(dāng)時， ，求函數(shù)在上的解析式.【測量目標(biāo)】兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式，三角函數(shù)的性質(zhì)，求分段函數(shù)解析式.【難易程度】中等【試題解析】.（步驟1）（1）函數(shù)的最小正周期.（步驟2）（2）當(dāng)時，（步驟3）當(dāng)時， ，當(dāng)時， .（步驟4）得：函數(shù)在上的解析式為（步驟5）13.（12T15）已知函數(shù).（1）求的定義域及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間. 【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的定義域、周期、單調(diào)性.【難易程度】容易【試題解析】=，(步驟1)(1) 原函數(shù)的定義域為，最小正周期為；（步驟2）(2) 由.解得又,原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. （步驟3）14.（12T15

9、）已知函數(shù).()求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的周期性、最值.【難易程度】中等【試題解析】() （步驟1） 函數(shù)的最小正周期為（步驟2）（）（步驟3） 當(dāng)時，當(dāng)時， （步驟4）15.(12新課標(biāo)T9)已知 >0,函數(shù)在單調(diào)遞減，則的取值圍是( ) 【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的單調(diào)性.【難易程度】中等【參考答案】A 【試題解析】由題意得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,則，(步驟1)所以，則，解得.(步驟2)故選A.16(11T9)對于函數(shù)(其中，)，選取的一組值計算和，所得出的正確結(jié)果一定不可能是 （）A和 B和 C和 D和【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的奇偶性【難易

10、程度】中等【參考答案】D【試題解析】，因為，則為偶數(shù)，四個選項中，只有D，不是偶數(shù)17.（11T8）函數(shù)的最大值為 【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的最值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】= =.18.（11T9）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ) A. B. C. D.【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的單調(diào)性、最值.【難易程度】較難【參考答案】C【試題解析】對時，恒成立，所以，可得，（步驟1）因為，故，所以，所以，（步驟2）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，所以,答案為C. （步驟3）19（11T15）已知函數(shù).（）求的最小正周期：（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【測量目標(biāo)】函數(shù)的圖像及其變

11、換，兩角和的正弦.【難易程度】中等【試題解析】（）因為(步驟1) （步驟2）所以的最小正周期為（步驟3）（）因為于是，當(dāng)時，取得最大值2；（步驟4）當(dāng)取得最小值.（步驟5）20.(11全國T5)設(shè)函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于 （ ）A. B. C. D.【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的周期性,三角函數(shù)圖象的平移變換.【參考答案】C【試題解析】由題意得,解得,又,令,得.21（11T6）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則 ( )A. B. C. D. 【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的單調(diào)性.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

12、上單調(diào)遞減，則，即，答案應(yīng)選C.另解1：令得函數(shù)在為增函數(shù)，同理可得函數(shù)在為減函數(shù)，則當(dāng)時符合題意，即，答案應(yīng)選C.另解2：由題意可知當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，則，即，即，結(jié)合選擇項即可得答案應(yīng)選C.另解3：由題意可知當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則，結(jié)合選擇項即可得答案應(yīng)選C.22（11T17） 已知函數(shù).( 1 )求的最小正周期和最小值；（2）已知，求證：【測量目標(biāo)】兩角和差的正余弦，三角函數(shù)的周期性、最值.【難易程度】中等.【試題解析】(1)（步驟1）(2)（步驟2）23.（11新課標(biāo)T11）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且，則 （ ） A.在單調(diào)遞減 B.在單調(diào)遞減 C.在單調(diào)遞增D.在單調(diào)遞增【測量目標(biāo)

13、】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性.【難易程度】中等【參考答案】A【試題解析】，所以，（步驟1）又為偶函數(shù)，選A（步驟2）24.（11新課標(biāo)T16）在中，則的最大值為 .【測量目標(biāo)】正弦定理、三角函數(shù)的最值.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】,（步驟1）；（步驟2），故最大值是.（步驟3）25（11T16）設(shè)滿足，求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值【測量目標(biāo)】由的部分圖象求解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,二倍角.【難易程度】中等【試題解析】=(步驟1)由得解得所以，(步驟2)所以時，是增函數(shù)，(步驟3)所以 時，是減函數(shù)，(步驟4)函數(shù)在上的最大值是：；(步驟5)又，；(步驟6)所以函數(shù)

14、f(x)在上的最小值為：；(步驟7)26（10T16）已知函數(shù)，（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）求函數(shù)的最大值，并求使取得最大值的的集合【測量目標(biāo)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的周期性、最值.【難易程度】容易【試題解析】（I） = 的最小正周期為.（步驟1） （II）當(dāng)時，取得最大值.（步驟2）取得最大值時，對應(yīng)的的集合為.（步驟3）27.（10T3）對于函數(shù)，下列選項中正確的是 （ ） A.在（，）上是遞增的 B.的圖象關(guān)于原點對稱 C.的最小正周期為2 D.的最大值為2【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性、最值.【難易程度】容易 【參考答案】B【試題解析】，易知在上是遞減的，

15、選項錯誤.，易知為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點對稱，選項正確.，選項錯誤.，的最大值為，選項錯誤.故綜上知，本題應(yīng)選.28（10T16）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最大值；（II）求函數(shù)的零點的集合.【測量目標(biāo)】誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的最值，函數(shù)的零點.【難易程度】中等【試題解析】（）因為（步驟1）所以，當(dāng)即時，函數(shù)取得最大值1（步驟2）（II）解法1 由（）及得（步驟3），所以或即或（步驟4）故函數(shù)的零點的集合為（步驟5） 解法2 由得，（步驟3）于是或即（步驟4）由可知；由可知（步驟5）故函數(shù)的零點的集合為（步驟6）29.（10T16）已知函數(shù)在時取得最大值為4.(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3

16、)若，求sin【測量目標(biāo)】函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性.【難易程度】中等【試題解析】（1）.（步驟1）（2）由最大值為4，,，即，（步驟2）.（步驟4）（3），即，（步驟5），.（步驟6）30.（10T22）若實數(shù)、滿足，則稱比遠離.（1）若比1遠離0，求的取值圍；（2）對任意兩個不相等的正數(shù)、，證明：比遠離；（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中遠離0的那個值.寫出函數(shù)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）.【測量目標(biāo)】解絕對值不等式，基本不等式證明不等式.【難易程度】較難【試題解析】（1），或（舍去）（步驟1）；（步驟2）（2）對任意兩個不相等的正數(shù)、，有，（步驟3），即比遠離；（

17、步驟4）（3），（步驟5）性質(zhì)：1° 是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；2° 是周期函數(shù)，最小正周期；3°函數(shù)在區(qū)間（）單調(diào)遞增，在區(qū)間（）單調(diào)遞減；4°函數(shù)的值域為（步驟6）31.（10T17）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（）若，求的值.【測量目標(biāo)】三角函數(shù)、二倍角公式和三角函數(shù)的周期、最值.【難易程度】中等【試題解析】 （1）由，得所以函數(shù)的最小正周期為(步驟1)因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為（步驟2）（）由（1）可知又因為，所以由，得從而所以（步驟3）32（10T11）函數(shù)的

18、最小正周期是_ 【測量目標(biāo)】二倍角，兩角和與差的正弦，三角函數(shù)的周期性 【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】 =（步驟1）=（步驟2），故最小正周期為,故答案為：.33. (10T9)動點在圓上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知定時時，點的坐標(biāo)是，則當(dāng)時，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）A. 0，1B. 1，7C. 7，12D. 0，1和7，12【測量目標(biāo)】平面解析幾何.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】由于12秒旋轉(zhuǎn)一周，則每秒轉(zhuǎn)過=，而時，=sin，那么動點的縱坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為=sin（+）（ 0，12），（步驟1）則對應(yīng)的單調(diào)

19、遞增區(qū)間為+， +，（步驟2）則有 125，12+1，由于 0，12，則當(dāng)時， 0，1，當(dāng)時， 7，12；（步驟3）34.（09T11）若則2tanx+tan(x)的最小值為 .【測量目標(biāo)】誘導(dǎo)公式，基本不等式求最值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】,（步驟1）（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.）（步驟2）故答案為：.35.（09全國 T16） 若，則函數(shù)的最大值為 .【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的最值.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】令, 36.（09T8）已知函數(shù)，的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）A. B.C. D.【測量目標(biāo)】兩角和的余弦，三角函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其變換.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】(步驟1)由題設(shè)的周期為，（步驟2）由得,故選C.（步驟3）37.（09T17）設(shè)函數(shù).(1) 求函數(shù)的最大值和最小正周期.(2) 設(shè)，為的三個角，若，且為銳角，求.【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的最值、周期性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和與差的余弦，二倍角.【難易程度】容易【試題解析】（1）函數(shù)的最大值為,最小正周期.（步驟1）（2）,（步驟2）為銳角,（步驟3）.（步驟4）38.（09T4）若函數(shù)，則的最大值為 （ ）A.1 B.2 C.