Chapter4-數(shù)字相關和數(shù)字卷積

1、第四章第四章 數(shù)字相關和數(shù)字卷積數(shù)字相關和數(shù)字卷積4.1 線性相關線性相關4.2 循環(huán)相關循環(huán)相關4.3 相干函數(shù)相干函數(shù)4.4 線性卷積線性卷積4.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積4.6 相關函數(shù)和功率譜的估計（自學）相關函數(shù)和功率譜的估計（自學）4.7 相關技術的應用相關技術的應用2022-3-161/584.1 線性相關線性相關 線性相關是討論線性相關是討論兩信號兩信號之間的之間的同步性同步性或或相似性相似性或或同相性同相性或兩信號的變化規(guī)律是否具有或兩信號的變化規(guī)律是否具有線性關系線性關系或或接近接近線性關系線性關系的的程度程度。 2022-3-16 設有離散信號設有離散信號x(n)和和y(n),

2、其線性相關函數(shù)為：其線性相關函數(shù)為： m0表示表示y(n)序列序列左移左移，m0表明有表明有同相成分同相成分存在，存在， rxy(m)3時，沒有公共部分，相乘必然為零；時，沒有公共部分，相乘必然為零；當位移當位移m0,表示表示y(-n)右移，右移， m0,表示表示y(-n)左移。左移。線性卷積運算的簡潔表達方式：線性卷積運算的簡潔表達方式：式中，式中，*表示線性卷積運算符。表示線性卷積運算符。31/584.4 線性卷積線性卷積令令k=m-n，則，則n=m-k 2022-3-16令令k=m+n，則，則n=k-m ( )() ( )()xyyxkrmx km y krm因此，卷積運算交換先后不影響

3、結果，但是相關運因此，卷積運算交換先后不影響結果，但是相關運算互為相反數(shù)。算互為相反數(shù)。 32/584.4 線性卷積線性卷積【例例4-9】設設x(n)和和y(n)是有限長的序列，序列是有限長的序列，序列x(n)長度長度為為N點，序列點，序列y(n)的長度為的長度為M點點, x(n)除區(qū)間除區(qū)間N1n N2之之外皆為外皆為0， y(n)除區(qū)間除區(qū)間N3n N4之外皆為之外皆為0，證明他們，證明他們的線性卷積函數(shù)的線性卷積函數(shù)cxy(m)的長度為的長度為M+N-1點，并且區(qū)間點，并且區(qū)間N3+N1m N4+N2之外皆為之外皆為0。2022-3-16證明：依題意，證明：依題意，x(n)的非的非0區(qū)間

4、：區(qū)間： N1n N2y(m-n)的非的非0區(qū)間：區(qū)間： N3m-n N4 因此：因此： N3+N1m N4+N233/584.4 線性卷積線性卷積2022-3-16【例例4-10】設設x(n)和和y(n)是有限長的序列，是有限長的序列，x(n)=1,0.1,-1,0.1, y(n)=0.1,1,0.1,-1, 求兩序列的線性卷積。求兩序列的線性卷積。解：線性卷積也可以采用直接計算法、表格法和圖形法解：線性卷積也可以采用直接計算法、表格法和圖形法求解。求解。 （1）直接計算法（）直接計算法（最直接最直接） x(n)和和y(n)都是都是4點長的序列，點長的序列，n從從0到到3有值，其余有值，其余

5、為零，當位移為零，當位移m6時，也沒有公共部分，相乘為零；因而我們時，也沒有公共部分，相乘為零；因而我們只要求只要求m0、1、2、3、4、5、6的的cxy(m)即可：即可： 34/584.4 線性卷積線性卷積2022-3-16綜上，綜上，35/584.4 線性卷積線性卷積 （2）圖形法（）圖形法（最復雜最復雜）2022-3-1636/584.4 線性卷積線性卷積2022-3-16 （3）表格法（）表格法（最直觀最直觀） 表格第一行表示表格第一行表示 x(n)，第二行開始把對應時刻，第二行開始把對應時刻m的的y(m-n)逐一填入，然后對同一逐一填入，然后對同一m值，取值，取x(n) y(m-n)

6、 的乘的乘積，再相加，得到積，再相加，得到cxy(m)。 x(0)x(1)x(2)x(3)y(0)y(-1)y(-2)y(-3)y(1)y(0)y(-1)y(-2)y(2)y(1)y(0)y(-1)y(3)y(2)y(1)y(0)y(4)y(3)y(2)y(1)y(5)y(4)y(3)y(2)y(6)y(5)y(4)y(3)37/584.4 線性卷積線性卷積 如果如果x(n)和和y(n)的序列點比較長，用上述的直接計算法、表的序列點比較長，用上述的直接計算法、表格法和圖形法就顯得不太方便，因此需要用矩陣形式來進行表格法和圖形法就顯得不太方便，因此需要用矩陣形式來進行表達。假設達。假設x(n)序

7、列長度為序列長度為N點，點， y(n)序列長度也為序列長度也為N點，兩序列點，兩序列N點之外皆為零，用矩陣的形式來表達線性卷積函數(shù)點之外皆為零，用矩陣的形式來表達線性卷積函數(shù)cxy(m) ： 2022-3-16 如果如果x(n)和和y(n)的長度不同，則將短的序列進行補的長度不同，則將短的序列進行補0，使得兩，使得兩序列點長相同，然后計算序列點長相同，然后計算cxy(m)。Matlab中有直接求線性卷積的中有直接求線性卷積的函數(shù)：函數(shù)：c=conv(x,y)。 cxy(0)cxy(1)cxy(N-1)cxy(2N-2)38/58課堂練習課堂練習2022-3-16用直接法和表格法做如下例題：用直

8、接法和表格法做如下例題：1、設、設x(n)和和y(n)是有限長的序列，是有限長的序列，x(n)=1,2,-2, y(n)=2,2,-2, 求兩序列的線性卷積函數(shù)。求兩序列的線性卷積函數(shù)。39/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積 循環(huán)卷積是針對序列的循環(huán)移位的一種相關運算。循環(huán)卷積是針對序列的循環(huán)移位的一種相關運算。 有限長序列的循環(huán)移位是指有限長序列的循環(huán)移位是指y(m-n)NRN(n),即讓序即讓序列列y(-n)以以N為周期進行周期延拓為周期進行周期延拓，然后再進行，然后再進行右移位右移位。 只朝一個方向進行移位的原因：對周期序列只朝一個方向進行移位的原因：對周期序列向右向右移動一個移動一個位置，

9、等效于位置，等效于向左移動向左移動N-1個位置個位置。2022-3-16 例如：將周期序列例如：將周期序列y(-n)N右移右移1個單位變?yōu)閭€單位變?yōu)閥(-n+1)N, 由于是周期序列，因此有如下關系：由于是周期序列，因此有如下關系： y(-n+1)N= y(-n+1-N)N = y(-(n+(N-1)N40/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積2022-3-16 設有離散信號設有離散信號x(n)和和y(n),其其N點循環(huán)卷積函數(shù)為：點循環(huán)卷積函數(shù)為： 由于循環(huán)移位的關系，最后得到的循環(huán)卷積序列由于循環(huán)移位的關系，最后得到的循環(huán)卷積序列的長度就是的長度就是N點，點，m取取0,1,2,N-1。 循環(huán)卷積運

10、算的簡潔表達式如下：循環(huán)卷積運算的簡潔表達式如下： 式中，式中， 表示循環(huán)卷積運算符表示循環(huán)卷積運算符41/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積【例例4-11】求例求例4-10中的兩個序列的中的兩個序列的4點循環(huán)卷積函數(shù)。點循環(huán)卷積函數(shù)。 2022-3-16解：同樣可以采用直接計算法、圖形法和表格法來進解：同樣可以采用直接計算法、圖形法和表格法來進行求解行求解 （1）直接計算法）直接計算法 x(n)和和y(n)都是都是4點長的序列，點長的序列，n從從0到到3有值，其有值，其余為余為0, 4點循環(huán)相關就只要運算點循環(huán)相關就只要運算m=0,1,2,3的的 cxy(m)。把。把y(-n)以以4為周期進行周期

11、延拓，得到：為周期進行周期延拓，得到： 42/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積2022-3-16因此，因此，43/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積 （2）表格法）表格法 第一行表示第一行表示x(n)，第二行并開始將對應時刻，第二行并開始將對應時刻m的的y(m-n)NRN(n)逐一填入，然后對同一逐一填入，然后對同一m值，取值，取x(n)與與y(m-n)NRN(n)對應項的乘積，再相加，得到循環(huán)相關對應項的乘積，再相加，得到循環(huán)相關函數(shù)函數(shù) cxy(m)。 2022-3-16x(0)x(1)x(2)x(3)y(0)y(-1+4)y(-2+4)y(-3+4)y(1)y(0)y(-1+4)y(-2+4)y(

12、2)y(1)y(0)y(-1+4)y(3)y(2)y(1)y(0)44/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積 （3）圖形法）圖形法 通過右移可以依次得到通過右移可以依次得到m=0,1,2,3的的y(m-n)NRN(n)。然后將得到的然后將得到的4點序列與點序列與x(n)對應相乘，再相加即可。對應相乘，再相加即可。如下圖，將第一幅圖與最后一幅圖相乘再相加即可得如下圖，將第一幅圖與最后一幅圖相乘再相加即可得到當?shù)疆攎=3時的時的cxy(3)=-1.98。2022-3-1645/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積2022-3-1646/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積 求循環(huán)卷積函數(shù)時，如果求循環(huán)卷積函數(shù)時，如果x(

13、n)的長度為的長度為N，y(n)的的長度為長度為M，若要求他們的，若要求他們的L點循環(huán)卷積，點循環(huán)卷積，L大于或等于大于或等于M、N，也是一樣把，也是一樣把y(-n)以以L為周期進行周期延拓，再為周期進行周期延拓，再右移位，取右移位，取L點主值與補點主值與補0到到L點長的點長的x(n)對應項相乘，對應項相乘，再相加。再相加。2022-3-16 如果如果x(n)和和y(n)的序列點比較長，同樣也可以用矩的序列點比較長，同樣也可以用矩陣的形式對陣的形式對cxy(m)進行求解：進行求解：cxy(0)cxy(1)cxy(N-1)47/584.5 循環(huán)卷積循環(huán)卷積 Matlab中的循環(huán)右移的函數(shù)中的循環(huán)

14、右移的函數(shù)circler() 2022-3-16function v=circler(y) N=length(y);v=zeros(N,N); for i=1:N for j=1:N v(i,j)=y(j); end L=y(N); for k=N:-1:2 y(k)=y(k-1); end y(1)=L; endV=V;生成矩陣生成矩陣給定給定x(n)與與y(n),計算過程：計算過程：V=circler(y);r=x*V，序列短就補，序列短就補0，使兩短序列長度相等，在進行上述計算。使兩短序列長度相等，在進行上述計算。48/58課堂練習課堂練習2022-3-16用直接法和表格法做如下例題：用

15、直接法和表格法做如下例題：1、設、設x(n)和和y(n)是有限長的序列，是有限長的序列，x(n)=1,2,-2, y(n)=2,2,-2, 求兩序列的求兩序列的3點循環(huán)卷積函數(shù)。點循環(huán)卷積函數(shù)。49/584.7 相關技術的應用相關技術的應用 相關技術分為自相關和互相關，分別用自相關函相關技術分為自相關和互相關，分別用自相關函數(shù)和互相關函數(shù)。數(shù)和互相關函數(shù)。 自相關函數(shù)研究信號本身：波形的同步性和周期自相關函數(shù)研究信號本身：波形的同步性和周期性等。性等。 互相關函數(shù)研究兩信號的同一性程度：測定兩信互相關函數(shù)研究兩信號的同一性程度：測定兩信號間的時間滯后或從噪聲中檢測信號。號間的時間滯后或從噪聲中

16、檢測信號。2022-3-16 對于確定信號對于確定信號x(n)的自相關函數(shù)：的自相關函數(shù)： 如果信號是隨機的或周期的，其自相關函數(shù)定義：如果信號是隨機的或周期的，其自相關函數(shù)定義：50/584.7 相關技術的應用相關技術的應用 幾種常用信號的自相關函數(shù)。幾種常用信號的自相關函數(shù)。 （1）信號為正弦波的自相關函數(shù)）信號為正弦波的自相關函數(shù)設設 ，周期為，周期為M，則自相關函數(shù)為：，則自相關函數(shù)為：2022-3-16cos()coscossinsincos()coscossinsincos()cos()sinsin251/584.7 相關技術的應用相關技術的應用 （2）信號為白噪聲的自相關函數(shù)）信

17、號為白噪聲的自相關函數(shù)設有一功率譜為設有一功率譜為 ，則自相關函數(shù)為：，則自相關函數(shù)為：2022-3-16 “白白”的含義指兩點之間沒有任何相關性，帶限白的含義指兩點之間沒有任何相關性，帶限白噪聲，功率譜為矩形波。噪聲，功率譜為矩形波。sinc函數(shù)性狀，就是函數(shù)性狀，就是m=0有最有最大值，大值，m足夠大時趨近足夠大時趨近0。 一個觀測信號一個觀測信號x(n)實際上是周期信號實際上是周期信號s(n)和隨機信和隨機信號號w(n)的疊加加過程，的疊加加過程，x(n)= s(n)+ w(n)。 如果信號和噪聲互不相關，則自相關函數(shù)：如果信號和噪聲互不相關，則自相關函數(shù)： rxx(m)= rss(m)

18、+ rww(m) m足夠大，足夠大， rxx(m)不為不為0，可以判定周期信號存在！，可以判定周期信號存在！52/584.7 相關技術的應用相關技術的應用【例例4-13】設周期信號設周期信號s(n)=0.8sin(n/5)，噪聲，噪聲w(n)為隨為隨機產(chǎn)生的白噪聲，觀測信號機產(chǎn)生的白噪聲，觀測信號x(n)= s(n)+ w(n)。2022-3-16%產(chǎn)生產(chǎn)生s信號信號clearm=1:300;for n=1:300 s(n)=0.8*sin(pi*n/5);end%產(chǎn)生隨機白噪聲產(chǎn)生隨機白噪聲w=randn(1,300);%生成觀測信號生成觀測信號x=s+w;%產(chǎn)生自相關函數(shù)產(chǎn)生自相關函數(shù)rw

19、w=xcorr(w);V=circlel(s);rss=s*V;%或者或者rss=xcorr(s);for k=301:599 rss(k)=rss(k-300+1);endrxx=xcorr(x);%生成原始信號圖生成原始信號圖figure,subplot(3,1,1),plot(m,w)subplot(3,1,2),plot(m,s)subplot(3,1,3),plot(m,x)%生成自相關函數(shù)圖生成自相關函數(shù)圖figure,subplot(3,1,1),plot(-299:299,rww)subplot(3,1,2),plot(-299:299,rss)subplot(3,1,3),p

20、lot(-299:299,rxx)%擴大觀測信號的自相關函數(shù)擴大觀測信號的自相關函數(shù)figure,plot(120:299,rxx(120:299)53/584.7 相關技術的應用相關技術的應用結果：結果：2022-3-16050100150200250300-505純 干 擾 w050100150200250300-101周 期 信 號 s050100150200250300-505觀 測 信 號 x-300-200-1000100200300-5000500純 干 擾 信 號 的 自 相 關 函 數(shù) rww-300-200-1000100200300-1000100周 期 信 號 的 自

21、相 關 函 數(shù) rss-300-200-1000100200300-5000500觀 測 信 號 的 自 相 關 函 數(shù) rxx120140160180200220240260280300-150-100-50050100150觀 測 信 號 的 自 相 關 函 數(shù) rxx截 取 片 段54/584.7 相關技術的應用相關技術的應用【例例4-14】設設x(n)= e-0.05ncos(n/6)，y(n)=1.2x(n-n0),它它們的波形如下圖所示，試估計延遲們的波形如下圖所示，試估計延遲n0。2022-3-16%生成信號生成信號x和和ym=0:23;for n=1:24 x(n)=exp(-

22、0.05*n)*cos(pi*n/6);endfor n=5:24 y(n)=1.2*x(n-4);endy(1:4)=0;figure,subplot(2,1,1),stem(m,x),title(信號信號x)subplot(2,1,2),stem(m,y),title(信號信號y)%求信號求信號x和和y的互相關函數(shù)的互相關函數(shù)rxy和和ryxrxy=xcorr(x,y);ryx=xcorr(y,x);figure,subplot(2,1,1),stem(-23:23,rxy),title(信號信號x和和y的互相關函數(shù)的互相關函數(shù)rxy)subplot(2,1,2),stem(-23:23,

23、ryx),title(信號信號x和和y的互相關函數(shù)的互相關函數(shù)ryx)55/584.7 相關技術的應用相關技術的應用結果：結果：2022-3-160510152025-1-0.500.51信 號 x0510152025-1-0.500.511.5信 號 y-25-20-15-10-50510152025-6-4-20246信 號 x和 y的 互 相 關 函 數(shù) rxy-25-20-15-10-50510152025-6-4-20246信 號 x和 y的 互 相 關 函 數(shù) ryx56/58本章小結本章小結2022-3-161、掌握：線性相關、線性卷積、相掌握：線性相關、線性卷積、相干干函數(shù)和相

24、干函數(shù)和相干系數(shù)；系數(shù)；2、熟悉：循環(huán)相關和循環(huán)卷積；熟悉：循環(huán)相關和循環(huán)卷積；3、了解：相關技術的應用。了解：相關技術的應用。57/58本章習題本章習題2022-3-16用直接法和表格法做如下例題：用直接法和表格法做如下例題：1、設、設x(n)和和y(n)是有限長的序列，是有限長的序列，x(n)=2,0.1,-2,0.1, y(n)=0.1,2,0.1,-2, 求兩序列的線性相關、循環(huán)相關、求兩序列的線性相關、循環(huán)相關、線性卷積和循環(huán)卷積函數(shù)。線性卷積和循環(huán)卷積函數(shù)。58/582022-3-16下集預告下集預告第五章第五章 維納濾波維納濾波59/582022-3-16實驗二詳解實驗二詳解%

25、選擇信號類型并設定參數(shù)，產(chǎn)生信號選擇信號類型并設定參數(shù)，產(chǎn)生信號x(n)clear; clc;disp(請選擇信號請選擇信號);disp(1 - 偽隨機序列偽隨機序列randn();disp(2 - 實際測量的心電信號實際測量的心電信號);disp(3 - 實際測量的腦電信號實際測量的腦電信號);b = input(信號：信號：);switch b % 輸入序號，產(chǎn)生相應信號，輸入序號，產(chǎn)生相應信號，L=128，N=8 case 1 L = input(每段數(shù)據(jù)長度每段數(shù)據(jù)長度 L n); N = input(數(shù)據(jù)共多少段數(shù)據(jù)共多少段 N n); x = randn(1, L*N); case

26、 2 load ecgdata; display(數(shù)據(jù)總長度數(shù)據(jù)總長度,num2str(length(ecgdata),點點); L = input(每段數(shù)據(jù)長度每段數(shù)據(jù)長度 L n); N = input(數(shù)據(jù)共多少段數(shù)據(jù)共多少段 N n); x = ecgdata (1:(N*L); case 3 load eegdata; display(數(shù)據(jù)總長度數(shù)據(jù)總長度,num2str(length(eegdata),點點); L = input(每段數(shù)據(jù)長度每段數(shù)據(jù)長度 L n); N = input(數(shù)據(jù)共多少段數(shù)據(jù)共多少段 N n); x = eegdata (1:(N*L);end% 估計

27、信號的統(tǒng)計特征量估計信號的統(tǒng)計特征量Xmean = zeros(1,N); % 每段數(shù)據(jù)均值每段數(shù)據(jù)均值Xms = zeros(1,N); % 每段數(shù)據(jù)均方值每段數(shù)據(jù)均方值Xvar = zeros(1,N); % 每段數(shù)據(jù)方差每段數(shù)據(jù)方差rxs=xcorr(x,x);pxs=abs(fft(rxs);for k = 1:N xs = x(k-1)*L+1):(k*L); Xmean(k) = mean(xs); Xms(k) = std(xs).2+ Xmean(k)2; Xvar(k) = var(xs);end% 顯示顯示n = 1:N;figure;subplot(2,3,1); stem(n,Xmean,.); title(mean);subplot(2,3,2); stem(n,Xms