高二數(shù)學(xué)歸納法例題

1、例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：請(qǐng)讀者分析下面的證法：證明：n=1時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即：那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有： 這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式亦成立由、可知，對(duì)一切自然數(shù)n等式成立評(píng)述：上面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的方法是錯(cuò)誤的，這是一種假證，假就假在沒有利用歸納假設(shè)n=k這一步，當(dāng)n=k+1時(shí)，而是用拆項(xiàng)法推出來的，這樣歸納假設(shè)起到作用，不符合數(shù)學(xué)歸納法的要求正確方法是：當(dāng)n=k+1時(shí)這就說明，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式亦成立，例2是否存在一個(gè)等差數(shù)列an，使得對(duì)任何自然數(shù)n，等式：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并證明你的結(jié)論分析：采用由

2、特殊到一般的思維方法，先令n=1，2，3時(shí)找出來an，然后再證明一般性 解：將n=1，2，3分別代入等式得方程組，解得a1=6，a2=9，a3=12，則d=3故存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3，當(dāng)n=1，2，3時(shí)，已知等式成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3，對(duì)大于3的自然數(shù)，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因?yàn)槠鹗贾狄炎C，可證第二步驟 假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么當(dāng)n=k+1時(shí)， a1+2a2+3a3+kak +(k+1)ak+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3=(k+

3、1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1(k+1)+2這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，也存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3使a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)成立綜合上述，可知存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3，對(duì)任何自然數(shù)n，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立例3證明不等式 (nN)證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=2左邊<右邊，不等式成立假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立由、可知，原不等式對(duì)任意自然數(shù)n都成立說明：這里要注意，當(dāng)n=k+1時(shí)，要證的目標(biāo)是，當(dāng)

4、代入歸納假設(shè)后，就是要證明：認(rèn)識(shí)了這個(gè)目標(biāo)，于是就可朝這個(gè)目標(biāo)證下去，并進(jìn)行有關(guān)的變形，達(dá)到這個(gè)目標(biāo)例4已知數(shù)列an滿足a1=0，a2=1，當(dāng)nN時(shí)，an+2=an+1+an求證：數(shù)列an的第4m+1項(xiàng)(mN)能被3整除分析：本題由an+1=an+1+an求出通項(xiàng)公式是比較困難的，因此可考慮用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)m=1時(shí)，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除當(dāng)m=k時(shí)，a4k+1能被3整除，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+

5、1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假設(shè)a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除因此，當(dāng)m=k+1時(shí)，a4(k+1)+1也能被3整除由、可知，對(duì)一切自然數(shù)mN，數(shù)列an中的第4m+1項(xiàng)都能被3整除例5n個(gè)半圓的圓心在同一條直線l上，這n個(gè)半圓每兩個(gè)都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓弧？分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f (n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證 當(dāng)n=2時(shí)，由圖(1)兩個(gè)半圓交于一點(diǎn)，則分成4段圓弧，故f (2)=4=22當(dāng)n=3時(shí)，由圖(2)三個(gè)半徑交于三點(diǎn)，

6、則分成9段圓弧，故f (3)=9=32由n=4時(shí)，由圖(3)三個(gè)半圓交于6點(diǎn)，則分成16段圓弧，故f (4)=16=42由此猜想滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有f (n)=n2用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n=2時(shí)，上面已證設(shè)n=k時(shí)，f (k)=k2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k+1個(gè)半圓把原k個(gè)半圓中的每一個(gè)半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓??；另外原k個(gè)半圓把第k+1個(gè)半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧 f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 滿足條件的k+1個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k+1)2段圓弧由、可知，滿足條件的n個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓