高中新課程數(shù)學史選講課的教學設(shè)計

1、高中新課程數(shù)學史選講的教學設(shè)計繼山東、廣東、海南、寧夏4?。▍^(qū)）的試驗之后，普通高中數(shù)學新課程即將在全國范圍內(nèi)開始實施。新課程的選修系列3-1“數(shù)學史選講”并不是高考的內(nèi)容，這部分內(nèi)容要不要教？教什么？怎么教？這已成為人們關(guān)注的問題。為此，我們對“畢達哥拉斯多邊形數(shù)”這一專題的教學作了設(shè)計，并利用高中數(shù)學新課程教師培訓的機會，就此對即將實施新課程的某地區(qū)的高中數(shù)學骨干教師進行了問卷調(diào)查，以了解高中數(shù)學教師對數(shù)學史專題教學設(shè)計的看法，為數(shù)學史選修課的教學提供參考。1 “畢達哥拉斯多邊形數(shù)”的教學設(shè)計普通高中數(shù)學課程標準強調(diào)，數(shù)學課程應(yīng)“倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式”

2、；使學生在解決問題時“不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程”。對于“數(shù)學史選講”的教學，強調(diào)“要講史實，更重要的是通過史實介紹數(shù)學的思想方法”?！爱呥_哥拉斯多邊形數(shù)”的教學設(shè)計就是基于以上理念和要求進行的。先展示有關(guān)畢達哥拉斯的圖片（如圖1），讓學生注意觀察畢達哥拉斯身后的三角形圖案，提出問題，引出知識點畢達哥拉斯多邊形數(shù)的概念。給出前幾個三角形點陣（圖2），讓學生觀察它們的規(guī)律，歸納出第10個點陣、第n個點陣共含幾個點？接著，引入三角形數(shù)概念，介紹歷史背景知識，并引導學生類比鋼管垛模型， 圖1 畢達哥拉斯推導第n個三角形數(shù)的一般公式（圖3），指出畢

3、氏學派已經(jīng)獲得前n個自然數(shù)求和公式。圖 2 三角形數(shù)1、3、6、10 圖3 三角形數(shù)公式的推導再給出前幾個正方形點陣（圖4），讓學生觀察它們的規(guī)律，歸納出第10個點陣、第n個點陣共含幾個點？引入正方形數(shù)概念，并引導學生觀察正方形數(shù)的構(gòu)造規(guī)律（圖5），推導第n個正方形數(shù)公式，指出畢氏學派已經(jīng)得到奇數(shù)和公式。圖 4 正方形數(shù)1、4、9、16 圖 5 正方形數(shù)的兩種構(gòu)造：連續(xù)奇數(shù)之和與兩個相鄰三角形數(shù)之和再給出前幾個長方形點陣（圖6），讓學生觀察它們的規(guī)律。進而讓學生歸納出第10個點陣、第n個點陣共含幾個點？接著，引入長方形數(shù)概念，并引導學生觀察長方形數(shù)的構(gòu)造規(guī)律（圖7），推導第n個長方形數(shù)公式，指

4、出畢氏學派已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這種形數(shù)。圖 6 長方形數(shù)2、6、12、20 圖 7 長方形數(shù)的三種構(gòu)造：連續(xù)偶數(shù)之和、兩個同樣的三角形數(shù)之和與一個正方形數(shù)及其一邊的和然后，引入五邊形數(shù)和六邊形數(shù)概念，并引導學生觀察構(gòu)造規(guī)律（圖8、9），推導第n個五邊形數(shù)和六邊形數(shù)公式： ，。并指出：晚期畢達哥拉斯學派成員尼可麥丘（Nicomachus, 60?120?）等討論了這兩種數(shù)以及邊數(shù)更多的數(shù)。圖 8 五邊形數(shù)1、5、12、22圖9 六邊形數(shù)1、6、15、28讓學生從構(gòu)成三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)的等差數(shù)列中歸納出構(gòu)成k邊形數(shù)（）的等差數(shù)列的公差與通項，進而讓學生運用等差數(shù)列求和公式求出第n個k邊形數(shù)

5、的公式在講完多邊形數(shù)概念后，讓學生探索下面有關(guān)多邊形數(shù)問題。如果課內(nèi)時間不允許，可以讓學生分組來完成后兩個問題，并于以后的選修課上交流各組的探究成果。問題1 觀察圖10，寫出正方形數(shù)與三角形數(shù)或長方形數(shù)之間的關(guān)系式。歷史上，早期畢達哥拉斯學派可能已經(jīng)知道，任何一個三角形數(shù)的8倍加1是一個平方數(shù)；后來普魯塔克（Plutarch, 1世紀）提到過這個定理，丟番圖（Diophantus, 3世紀）也曾運用過這個結(jié)果。 問題2 仔細觀察三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等構(gòu)成的數(shù)表，研究k邊形數(shù)與k-1邊形數(shù)之間的關(guān)系?？山Y(jié)合圖11進行。三角形數(shù)：1 3 6 10 15 21 28 36 45 5

6、5 正方形數(shù)：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 五邊形數(shù)：1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 六邊形數(shù)：1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 七邊形數(shù)：1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 圖10 正方形數(shù)與三角形數(shù) 圖 11 k邊形數(shù)與k-1邊形數(shù)歷史上，晚期的畢達哥拉斯學派成員尼可麥丘（Nicomachus, 60?120?）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：第n個k邊形數(shù)等于第n個k-1邊形數(shù)與第n-1個三角形數(shù)之和。問題3 能否從正方形數(shù)的構(gòu)造（圖12）規(guī)律中得出立方數(shù)與奇數(shù)之間的關(guān)系？并進一步探索三次冪和公式。圖

7、 12 正方形數(shù)與立方數(shù)之間的關(guān)系歷史上，尼可麥丘（Nicomachus, 60?120?）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第一個奇數(shù)1是立方數(shù)13，第二、三兩個奇數(shù)3、5之和是立方數(shù)23，第四、五、六三個奇數(shù)7、9、11之和是立方數(shù)33，等等，他在算術(shù)引論中介紹了上述規(guī)律。2 教師對本設(shè)計的看法本次調(diào)查共收回有效問卷56份，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下表（百分比）。關(guān)于多邊形數(shù)教學設(shè)計的觀點非常同意同意比較同意不太同意不同意完全不同意我對形數(shù)的教學設(shè)計很滿意8.948.241.11.800若開設(shè)數(shù)學史選講，我會采用該設(shè)計8.941.146.43.600該設(shè)計中的知識內(nèi)容我都能夠講授12.532.141.110.73.60該設(shè)計

8、符合學生的認知水平10.737.544.65.41.80該設(shè)計能使學生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、歸納推理的思維過程，體會數(shù)形結(jié)合思想的作用。19.658.921.4000該設(shè)計體現(xiàn)了數(shù)學的文化價值10.748.235.75.400該設(shè)計體現(xiàn)了自主探索、合作交流的學習方式17.944.626.810.700該設(shè)計的內(nèi)容偏難5.419.644.626.83.60關(guān)于形數(shù)應(yīng)用的例子應(yīng)該更多一些7.148.232.112.500關(guān)于形數(shù)的應(yīng)用，應(yīng)舉一些與高考題類似的例子10.744.630.412.51.80該設(shè)計有助于加深學生對數(shù)列有關(guān)內(nèi)容的理解16.144.630.45.400從教學內(nèi)容來

9、看，98.2%的教師對形數(shù)的教學設(shè)計感到滿意或比較滿意，96.4%的教師表示自己若開設(shè)數(shù)學史選修課，會采用該設(shè)計。85.7%的教師表示自己有能力講授該設(shè)計中的知識內(nèi)容。92.8%的人認為該設(shè)計基本符合學生的認知水平，7.2%的人表示不認可?？梢?，大部分教師認可本教學設(shè)計的內(nèi)容設(shè)置，認為是切實可行的方案，且基本符合學生認知水平。從教學理念來看，所有教師認為本設(shè)計能使學生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、歸納推理等思維過程，并使他們體會到數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。94.6%的教師認同本設(shè)計體現(xiàn)了數(shù)學的文化價值。89.3的教師認為本設(shè)計體現(xiàn)了自主探索、合作交流的學習方式?？梢姡龑W生自主探索的設(shè)計方

10、案獲得了多數(shù)教師的認同。從教學設(shè)計本身來看，超過半數(shù)的教師認為教學設(shè)計的內(nèi)容偏難，這表明，教學內(nèi)容的難度還有待于適當降低。87.5%的教師認為教學設(shè)計中關(guān)于形數(shù)應(yīng)用的例子應(yīng)該多一些；85.7%的教師贊同教學設(shè)計中應(yīng)該舉一些與高考題類似的形數(shù)應(yīng)用問題。94.6%的教師認為本教學設(shè)計有助于加深學生對必修課中的數(shù)列內(nèi)容的理解，這說明我們可以通過在必修課與選修課之間找到一個切合點，來解決選修課內(nèi)容形同虛設(shè)的問題。3 結(jié)論雖然“數(shù)學史選講”的教材已經(jīng)出版，但要真正在課堂上講授并不是一件容易的事，為歷史而歷史、堆砌史實、照本宣科，都無異于給數(shù)學史選修課“判死刑”，背負高考壓力的學生原來所抱有的興趣也將因此而消失殆盡?！爱呥_哥拉斯多邊形數(shù)”的教學設(shè)計將歷史知識與必修課中數(shù)列的有關(guān)內(nèi)容有機地結(jié)合起來，雖然講的是歷史專題，但并不是單純的、枯燥的歷史回溯，而是充分給予學生自主探索、合作交流的機會，讓學生親歷多邊形數(shù)知識的形成過程，再現(xiàn)古代數(shù)學家的思維方式，從而在不知不覺中再現(xiàn)了歷史，學生的學習過程也因此成了“再創(chuàng)造”的過程。本教學設(shè)計得到多數(shù)接受調(diào)查的中學教師的認同，表明它有一定的可操作性，有一定的參考價值。據(jù)此，我們在設(shè)計其他數(shù)學史專題的教學時，可以考慮四種原則。一是趣味性，即歷史的介紹應(yīng)圖文并茂、生動有趣，切忌照本宣