第7章信號與系統(tǒng)奧本海姆課件(采樣)

1、第第7章章 采樣采樣Sampling本章主要內容本章主要內容 如何用連續(xù)時間信號的離散時間樣本來表示連如何用連續(xù)時間信號的離散時間樣本來表示連續(xù)時間信號續(xù)時間信號采樣定理。采樣定理。 如何從采樣所得到的樣本重建連續(xù)時間信號。如何從采樣所得到的樣本重建連續(xù)時間信號。 欠采樣導致的后果欠采樣導致的后果頻譜混疊。頻譜混疊。 連續(xù)時間信號的離散時間處理。連續(xù)時間信號的離散時間處理。 離散時間信號的采樣、抽取及內插。離散時間信號的采樣、抽取及內插。 頻域采樣。頻域采樣。7.0 引言引言:( Introduction ) 在日常生活中，?？梢钥吹接秒x散時間信號表在日常生活中，?？梢钥吹接秒x散時間信號表示連

2、續(xù)時間信號的例子。如傳真的照片、電視屏幕示連續(xù)時間信號的例子。如傳真的照片、電視屏幕的畫面、電影膠片等等，這些都表明連續(xù)時間信號的畫面、電影膠片等等，這些都表明連續(xù)時間信號與離散時間信號之間存在著密切的聯(lián)系。在一定條與離散時間信號之間存在著密切的聯(lián)系。在一定條件下，可以用離散時間信號代替連續(xù)時間信號而并件下，可以用離散時間信號代替連續(xù)時間信號而并不丟失原來信號所包含的信息。不丟失原來信號所包含的信息。例例1. 一幅新聞照片一幅新聞照片局部放大后的圖片局部放大后的圖片例例2. 另一幅新聞照片另一幅新聞照片局部放大后的圖片局部放大后的圖片 在什么條件下，一個連續(xù)時間信號可以用它的離在什么條件下，一

3、個連續(xù)時間信號可以用它的離散時間樣本來代替而不致丟失原有的信息。散時間樣本來代替而不致丟失原有的信息。 如何從連續(xù)時間信號的離散時間樣本不失真地恢如何從連續(xù)時間信號的離散時間樣本不失真地恢復成原來的連續(xù)時間信號。復成原來的連續(xù)時間信號。 如何對一個連續(xù)時間信號進行離散時間處理。如何對一個連續(xù)時間信號進行離散時間處理。4. 對離散時間信號如何進行采樣、抽取，及內插。對離散時間信號如何進行采樣、抽取，及內插。 研究連續(xù)時間信號與離散時間信號之間的關系研究連續(xù)時間信號與離散時間信號之間的關系主要包括主要包括 :7.1 用樣本表示連續(xù)時間信號用樣本表示連續(xù)時間信號: 采樣定理采樣定理一一. 采樣采樣:

4、 Sampling Theorem of Sampling 在某些離散的時間點上提取連續(xù)時間信號值的在某些離散的時間點上提取連續(xù)時間信號值的過程稱為過程稱為采樣。采樣。 是否任何信號都可以由它的離散時間樣本是否任何信號都可以由它的離散時間樣本來表示？來表示？ 對一維連續(xù)時間信號采樣的例子：對一維連續(xù)時間信號采樣的例子： 在沒有任何條件限制的情況下，從連續(xù)時間在沒有任何條件限制的情況下，從連續(xù)時間信號采樣所得到的樣本序列不能唯一地代表原來信號采樣所得到的樣本序列不能唯一地代表原來的連續(xù)時間信號。的連續(xù)時間信號。 此外，對同一個連續(xù)時間信號，當采樣間隔此外，對同一個連續(xù)時間信號，當采樣間隔不同時也

5、會不同時也會 得到不同的樣本序列。得到不同的樣本序列。二二. .采樣的數(shù)學模型：采樣的數(shù)學模型：在時域：在時域：在頻域在頻域: :三三. .沖激串采樣沖激串采樣( (理想采樣理想采樣):):)()()(tstxtxsnssnTttxtstxtx)()()()()()()(nssnTtnTx)()()(jSjXjXs21nsnTtts)()( 可見，可見，在時域對連續(xù)時間信號進行沖激串采在時域對連續(xù)時間信號進行沖激串采樣，就相當于在頻域將連續(xù)時間信號的頻譜以樣，就相當于在頻域將連續(xù)時間信號的頻譜以 為周期進行延拓。為周期進行延拓。s在頻域由于在頻域由于)()()(kssTkTjSts22kssk

6、ssskjXTkTjXjSjXjX)()()()()()(122121說明：說明：采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜 由原信號的頻譜由原信號的頻譜 的無限個頻移組成，幅值為原頻譜的無限個頻移組成，幅值為原頻譜 的的 ，頻移角頻率為，頻移角頻率為 （n n0, 0, 1, 1, 2 2 ） if if ，各相鄰的頻譜不會重疊，這，各相鄰的頻譜不會重疊，這 時能從采樣信號的頻譜中得到原信號的頻譜，時能從采樣信號的頻譜中得到原信號的頻譜， 即從采樣信號即從采樣信號 中恢復原信號中恢復原信號 。 if ，頻移后的相鄰頻譜互相重疊，頻移后的相鄰頻譜互相重疊， 無法恢復原信號。無法恢復原信號。四四. Nyqui

7、st 采樣定理（時域）采樣定理（時域）: 一個截止頻率為一個截止頻率為 的連續(xù)時間帶限信號的連續(xù)時間帶限信號 , ,如果以如果以 的頻率進行理想采樣，則的頻率進行理想采樣，則 可以可以唯一的由其樣本唯一的由其樣本 來確定。來確定。 M( )x t( )x t2sM以沖激采樣為例，研究如何從采樣信號恢復原信號以沖激采樣為例，研究如何從采樣信號恢復原信號 在工程實際應用中，在工程實際應用中，理想濾波器是不可能實理想濾波器是不可能實現(xiàn)的。而非理想濾波器現(xiàn)的。而非理想濾波器一定有過渡帶，因此，一定有過渡帶，因此，實際采樣時實際采樣時, , 必須大必須大于于 。s2M為了從已采樣信號為了從已采樣信號 中

8、恢復原信號中恢復原信號 ，需滿足如下兩個條件需滿足如下兩個條件: 1. 必須是帶限的，最高頻率分量為必須是帶限的，最高頻率分量為 。 2. 采樣間隔采樣間隔(周期周期)不能是任意的，必須保證采樣不能是任意的，必須保證采樣頻率頻率 ；或采樣間隔；或采樣間隔 。其中其中 為采樣頻率。為采樣頻率。()X j( )x tM2sMMsTNyquistNyquist頻率：最低允許的采樣頻率頻率：最低允許的采樣頻率NyquistNyquist間隔：最大允許的采樣間隔間隔：最大允許的采樣間隔Ms2MsT 低通濾波器的截止頻率必須滿足低通濾波器的截止頻率必須滿足: :()McsM 為了補償采樣時頻譜幅度的減小，

9、濾波器應具為了補償采樣時頻譜幅度的減小，濾波器應具有有 倍的通帶增益。倍的通帶增益。T例：確定下列信號的例：確定下列信號的Nyquist率率1）2）3）)cos()cos()(tttx40002120001tttx)sin()(400024000tttx)sin()(五五. 零階保持采樣零階保持采樣:信號的樣本經零階保持后，所得到的信號是一個信號的樣本經零階保持后，所得到的信號是一個階梯形信號。階梯形信號。 在一個給定的瞬時對在一個給定的瞬時對 采樣，并保持這一樣采樣，并保持這一樣本值直到下一個樣本被采到為止。本值直到下一個樣本被采到為止。( )x t0( )x t 零階保持采樣在原理上可以用

10、沖激串采樣，零階保持采樣在原理上可以用沖激串采樣，再級聯(lián)一個零階保持系統(tǒng)來實現(xiàn)。再級聯(lián)一個零階保持系統(tǒng)來實現(xiàn)。 為了從為了從 能恢復能恢復 ，就要求零階保持后再級，就要求零階保持后再級聯(lián)一個系統(tǒng)聯(lián)一個系統(tǒng) 。0( )x t( )x t()rH j若若 則則12cs以以 表示理想低通濾波器的特性，則表示理想低通濾波器的特性，則:()H j內插內插：由樣本值重建某一函數(shù)的過程。由樣本值重建某一函數(shù)的過程。一一. 理想內插理想內插:（利用（利用LP的單位沖激響應的內插）的單位沖激響應的內插） 7.2 利用內插從樣本重建信號利用內插從樣本重建信號Reconstruction of a Signal f

11、rom Its Samples Using Interpolation 理想內插以理想低通濾波器的單位沖激響應作理想內插以理想低通濾波器的單位沖激響應作為內插函數(shù)為內插函數(shù)這種內插稱為這種內插稱為時域中的帶限內插。時域中的帶限內插。二二. 零階保持內插零階保持內插: 零階保持內插的內插函數(shù)是零階保持系統(tǒng)的單零階保持內插的內插函數(shù)是零階保持系統(tǒng)的單位沖激響應位沖激響應 。0( )h t三三. 一階保持內插一階保持內插(線性內插線性內插)：其內插函數(shù)是三其內插函數(shù)是三角形脈沖。角形脈沖。一階保持內插的結果（采樣間隔為一階保持內插的結果（采樣間隔為T/4） 對連續(xù)時間信號進行離散時間處理的系統(tǒng)可視對

12、連續(xù)時間信號進行離散時間處理的系統(tǒng)可視為三個環(huán)節(jié)的級連。為三個環(huán)節(jié)的級連。( )cx t( )cy t()H j7.4 連續(xù)時間信號的離散時間處理連續(xù)時間信號的離散時間處理Discrete-Time Processing of Continuous-Time Signals 將一個連續(xù)時間信號轉換為一個離散時間信號，以將一個連續(xù)時間信號轉換為一個離散時間信號，以及從信號的離散時間表示重建連續(xù)時間信號所依據的及從信號的離散時間表示重建連續(xù)時間信號所依據的理論基礎：理論基礎：采樣定理采樣定理用于實現(xiàn)用于實現(xiàn)C/D轉換的器件稱為模擬數(shù)字轉換的器件稱為模擬數(shù)字(A/D)轉換器轉換器 用于實現(xiàn)用于實現(xiàn)D

13、/C轉換的器件稱為數(shù)字模擬轉換的器件稱為數(shù)字模擬(D/A)轉換器轉換器 一一. C/D 轉換轉換: 時域分析時域分析：樣本的沖激串樣本的沖激串樣本的離散樣本的離散時間序列時間序列頻域分析頻域分析:用用 表示連續(xù)時間頻率變量，用表示連續(xù)時間頻率變量，用 表示離散時間頻率變量表示離散時間頻率變量即從即從 到到 的轉換過程中，在頻率軸上引入的轉換過程中，在頻率軸上引入了一個了一個 倍的變化！倍的變化！ 可見，可見，沖激串到序列的變換過程，在時域是一沖激串到序列的變換過程，在時域是一個對時間歸一化的過程；個對時間歸一化的過程；在頻域是一個頻率去歸一在頻域是一個頻率去歸一化的過程?；倪^程。 和和 的頻

14、域關系可表示為：的頻域關系可表示為： 以以 為周期重復線性頻域尺度變換為周期重復線性頻域尺度變換二二. D/C 轉換：轉換：三三. 連續(xù)時間信號的離散時間處理連續(xù)時間信號的離散時間處理:分析：分析： If 離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng) 是恒等系統(tǒng)；是恒等系統(tǒng)；Then 連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng) 也是恒等系統(tǒng)。也是恒等系統(tǒng)。圖（圖（a） 假定假定 ，有，有 ，在滿足采，在滿足采樣定理時有樣定理時有 ， ，整個系統(tǒng)，整個系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)，表明是恒等系統(tǒng)，表明D/C是是C/D的逆系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。 ()1jdHe( )( )ccy tx t等效的連續(xù)時間濾波器的頻率響應就是該離散時間濾等效的連續(xù)時間濾波器的頻

15、率響應就是該離散時間濾波器在一個周期內的特性，只是頻率軸有一個線性尺波器在一個周期內的特性，只是頻率軸有一個線性尺度變化（度變化（ ）。）。2s2s由上圖：由上圖：式（式（b） 對于帶限輸入信號，利用圖（對于帶限輸入信號，利用圖（a）和式（）和式（b）可實現(xiàn)利用離散時間濾波器處理連續(xù)信號?？蓪崿F(xiàn)利用離散時間濾波器處理連續(xù)信號。例：數(shù)字微分器例：數(shù)字微分器（連續(xù)時間帶限微分器的離散實現(xiàn)）（連續(xù)時間帶限微分器的離散實現(xiàn)） 帶限微分器帶限微分器()cHjj0,ccccc()cHj0 由由 可得：當可得：當 時有時有2sc 一、脈沖串采樣一、脈沖串采樣7.6離散時間信號采樣離散時間信號采樣Sampli

16、ng of Discrete-Time Signals kssskNnkNxnsnxnx10)/2(10)/2(10/2)(11)1()(sssssssNmNmjsNmnNmjnsnNmNnmjsnjnnNjsnnjsjseXNenxNeNenxenNxenxeX 在時域，對離散時間信號以在時域，對離散時間信號以 為間隔采樣，在為間隔采樣，在頻域，信號的頻譜就在一個周期內以頻域，信號的頻譜就在一個周期內以 為間隔周為間隔周期性延拓。期性延拓。 要使要使 能恢復成能恢復成 ，則頻譜在周期性延拓，則頻譜在周期性延拓時不能發(fā)生混疊。為此要求：時不能發(fā)生混疊。為此要求：1. 帶限于帶限于 。 2. 。

17、M22sMNsNMcsM 此時此時可以通過離散時間理想低通濾波器實現(xiàn)對可以通過離散時間理想低通濾波器實現(xiàn)對信號信號 的恢復。截止頻率滿足：的恢復。截止頻率滿足： 恢復恢復 的過程也是一種帶限內插過程。其的過程也是一種帶限內插過程。其內插函數(shù)為理想低通的單位脈沖響應內插函數(shù)為理想低通的單位脈沖響應 。例：有一序列例：有一序列 ，其傅立葉變換，其傅立葉變換 具有如下具有如下 特點：特點： 求對求對 采樣而不發(fā)生混疊的最低采樣率。采樣而不發(fā)生混疊的最低采樣率。)(jeX920，)(jeX二二. 離散時間抽取與內插：離散時間抽取與內插：Discrete-Time Decimation and Inte

18、rpolation在實際應用中，直接按圖傳輸已采樣序列在實際應用中，直接按圖傳輸已采樣序列 是很不經濟的。因為序列是很不經濟的。因為序列 在采樣點之間是在采樣點之間是0。因此，往往用一個新序列因此，往往用一個新序列 來代替，來代替， 是是由由 中每隔中每隔 點上的序列值構成，即點上的序列值構成，即sssbnNxnNxnx抽?。撼槿。禾崛∶康谔崛∶康?個點上的樣本的過程。個點上的樣本的過程。時域時域 、 、 、的關系如左圖的關系如左圖抽取過程在頻域的反映：抽取過程在頻域的反映：1010/ )2(/ )2(10/2/10/2)(111)1()(ssssssssssNmNmNmjsNmjkksNmN

19、kjkNkmjskNkjNmNkmjsnnjsnnjbjbeXNekxNeekxNeeNkxenNxenxeXn0,/其它為整數(shù)ppNnNnxnxssbs10)/2()()()(ssssNmNmjNjbnnNjbnnjsjseXeXenxenxeX增增采采樣樣的的頻頻譜譜 這表明，這表明，在在時域時域對帶限序列進行對帶限序列進行抽取抽取，相當于在，相當于在頻頻域域對采樣序列的頻譜進行對采樣序列的頻譜進行尺度變換尺度變換。由上圖，為了避免抽取過程中產生混疊，序列由上圖，為了避免抽取過程中產生混疊，序列 的頻譜的頻譜 不能占滿整個頻帶。不能占滿整個頻帶。抽取的過程也稱為抽取的過程也稱為減采樣；減采樣；增采樣：增采樣：減采樣的逆過程減采樣的逆過程由由 增采樣以得到增采樣以得到 mmNkNn