平面向量與三角形“四心”的應(yīng)用問(wèn)題

1、平面向量與三角形“四心”的應(yīng)用問(wèn)題湖南省箴言中學(xué) 劉光明三角形的外心，內(nèi)心，重心及垂心，在高考中的考查是比較棘手的問(wèn)題，先課程教材中所加的內(nèi)容，更加引起我們的重視，尤其與平面向量結(jié)合在一起，那就更加難于掌握了。本文擬對(duì)與三角形的“四心”相關(guān)的平面向量問(wèn)題加以歸納，供學(xué)習(xí)時(shí)參考1 課本原題例、已知向量滿(mǎn)足條件，求證：是正三角形分析對(duì)于本題中的條件，容易想到，點(diǎn)是的外心，而另一個(gè)條件表明，點(diǎn)是的重心故本題可描述為，若存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角形在1951年高考中有一道考題，原題是：若一三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實(shí)質(zhì)是相同的 顯然，本

2、題中的條件可改為2 高考原題例、O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足 則P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心分析已知等式即，設(shè)，顯然都是單位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，則結(jié)果為菱形，故為的平分線(xiàn)，選例、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = 分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利用向量知識(shí)推導(dǎo)則比較復(fù)雜，更加重要的一點(diǎn)是缺乏幾何直觀解法如下，由已知，有向量等式，將其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有，將已知代入，有，即，由是外心，得，由于是任意三角形，則不恒為，故只有恒成立或者，過(guò)點(diǎn)作與，則是的中點(diǎn)，有；是垂心，則，故

3、與共線(xiàn)，設(shè)，則，又，故可得，有，得根據(jù)已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐標(biāo)公式，設(shè)三角形的重心為，是平面內(nèi)任一點(diǎn)，均有，由題意，題目顯然敘述的是一個(gè)一般的結(jié)論，先作圖使問(wèn)題直觀化，如圖，由圖上觀察，很容易猜想到，至少有兩個(gè)產(chǎn)生猜想的誘因，其一是，均與三角形的邊垂直，則；其二，點(diǎn)是三角形的中線(xiàn)的三等分點(diǎn)此時(shí)，會(huì)先猜想，但現(xiàn)在缺少一個(gè)關(guān)鍵的條件，即，這樣由兩個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例，同時(shí)，夾角對(duì)應(yīng)相等可得相似當(dāng)然，在考試時(shí)，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行證明本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理，即設(shè)O、G、H分別是ABC的外心、重心和垂心，則O、G、H三點(diǎn)共線(xiàn)，且OGGH12，利用向量表示就是例、點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)O是的（）A三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)C三條中線(xiàn)的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)分析移項(xiàng)后不難得出，點(diǎn)O是的垂心，選3 推廣應(yīng)用題例在內(nèi)求一點(diǎn)，使最小分析如圖，構(gòu)造向量解決取為基向量，設(shè)，有于是，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即，則點(diǎn)為的重心例已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則為的心分析將，也類(lèi)似展開(kāi)代入，已知等式與例的條件一樣也可移項(xiàng)后，分解因式合并化簡(jiǎn)，為垂心例已知為的外心，求證：分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸的正半軸，在軸的上方，直線(xiàn)的方程是，由于點(diǎn)與