高一數(shù)學(xué)修三統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率主要知識點(diǎn)梳理

1、簡單隨機(jī)抽樣、簡單隨機(jī)抽樣的概念般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n<N）,如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機(jī)樣本?！菊f明】簡單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)：（1）簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的。（2）簡單隨機(jī)樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個數(shù)N。（3）簡單隨機(jī)樣本是從總體中逐個抽取的。（4）簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣。（5）簡單隨機(jī)抽樣的每個個體入樣的可能性均為n/N。、抽簽法和隨機(jī)數(shù)法1、抽簽法的定義。將號簽放在一個抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在

2、號簽上，容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本。抽簽法的一般步驟：1）將總體的個體編號。（2）連續(xù)抽簽獲取樣本號碼。（3）抽簽法優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：簡單易行，當(dāng)總體個數(shù)不多時，是總體處于“攪拌均勻”的狀態(tài)比較容易，這是每個個體有均等的機(jī)會被抽中，從而能夠保證樣本的代表性，但是總體中的個數(shù)較多時，將總體攪拌均勻就比較困難，用抽簽法產(chǎn)生的樣本代表性差的可能性大。2、隨機(jī)數(shù)法的定義：利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣，叫隨機(jī)數(shù)表法。隨機(jī)數(shù)表法的步驟：1）將總體的個體編號。2）在隨機(jī)數(shù)表中選擇開始數(shù)字。（3）讀數(shù)獲取樣本號碼。1、簡單隨機(jī)抽樣是一種最

3、簡單、最基本的抽樣方法，簡單隨機(jī)抽樣有兩種選取個體的方法：放回和不放回，我們在抽樣調(diào)查中用的是不放回抽樣，常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)法。2、抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行，缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量非常大時，費(fèi)時、費(fèi)力，又不方便，如果標(biāo)號的簽攪拌得不均勻，會導(dǎo)致抽樣不公平，隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)點(diǎn)與抽簽法相同，缺點(diǎn)上當(dāng)總體容量較大時，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較少的抽樣類型。3、簡單隨機(jī)抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為n/N，但是這里一定要將每個個體入樣的可能性、第n次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第n次被抽到的可能性這三種情況區(qū)分開業(yè)，避免在解題中出現(xiàn)錯誤。2

4、.1.2系統(tǒng)抽樣一、系統(tǒng)抽樣的定義：一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣?！菊f明】由系統(tǒng)抽樣的定義可知系統(tǒng)抽樣有以下特證：(1)當(dāng)總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣。(2)將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為k=；.(3)預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第1段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號。1、在抽樣過程中，當(dāng)總體中個體較多時，可采用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣

5、，系統(tǒng)抽樣的步驟為：(1)采用隨機(jī)的方法將總體中個體編號；(2)將整體編號進(jìn)行分段，確定分段間隔k(kCN);(3)在第一段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法確定起始個體編號L;(4)按照事先預(yù)定的規(guī)則抽取樣本。N2、在確定分段間隔k時應(yīng)注意：分段間隔k為整數(shù)，當(dāng)V不是整數(shù)時，應(yīng)采用等可能剔除的方剔除部分個體，以獲得整數(shù)間隔ko【說明】從系統(tǒng)抽樣的步驟可以看出，系統(tǒng)抽樣是把一個問題劃分成若干部分分塊解決，從而把復(fù)雜問題簡單化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。2.1.3分層抽樣一、分層抽樣的定義。一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為

6、樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣?！菊f明】分層抽樣又稱類型抽樣，應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求：(1)分層：將相似的個體歸人一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則。(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等。二、分層抽樣的步驟：(1)分層：按某種特征將總體分成若干部分。(2)按比例確定每層抽取個體的個數(shù)。(3)各層分別按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取。(4)綜合每層抽樣，組成樣本?！菊f明】(1)分層需遵循不重復(fù)、不遺漏的原則。(2)抽取比例由每層個體占總體的比例確定。(3)各層抽樣

7、按簡單隨機(jī)抽樣進(jìn)行。知識點(diǎn)2簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較類另I共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等(2)每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體個數(shù)較少將總體均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分樣時采用簡隨機(jī)抽樣總體個數(shù)較多系統(tǒng)抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取分層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成分層抽樣1、分層抽樣是當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法，進(jìn)行分層抽樣時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)、分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，面層

8、之間的樣本差異要大，且互不重疊。(2)為了保證每個個體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣。(3)在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣。2、分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)是：使樣本具有較強(qiáng)的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方法，因此分層抽樣是一種實(shí)用、操作性強(qiáng)、應(yīng)用比較廣泛的抽樣方法。2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布一頻率分布的概念：頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小。一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟為：(1) 計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差(2) 決定組距與組數(shù)(3) 將數(shù)據(jù)分組(4) 列頻率分布表(5) 畫頻率分布直

9、方圖頻率分布直方圖的特征：(1) 從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢。(2) 從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。二頻率分布折線圖、總體密度曲線1 .頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。2 .總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。它能夠精確地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息。(見課本)R思考1：1 .對于任何一個總體，它的密度曲線是不是一定存在？為什么？2 .對

10、于任何一個總體，它的密度曲線是否可以被非常準(zhǔn)確地畫出來？為什么？實(shí)際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但一般很難想函數(shù)圖象那樣準(zhǔn)確地畫出來，我們只能用樣本的頻率分布對它進(jìn)行估計(jì)，一般來說，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確.三莖葉圖1.莖葉圖的概念：當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。(見課本P61例子)2.莖葉圖的特征：(1)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的

11、數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示。(2)莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰。小結(jié)1. 總體分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布。2. 總體的分布分兩種情況：當(dāng)總體中的個體取值很少時，用莖葉圖估計(jì)總體的分布；當(dāng)總體中的個體取值較多時，將樣本數(shù)據(jù)恰當(dāng)分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征<一>、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1 .眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

12、的基本概念：眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列,把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；1z、平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x=-(x1+x2+x3十十xn+xn)n2 .利用頻率分布直方圖求樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征：(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)；(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相忍(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；3 .利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致，但他們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)小結(jié)3. 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體

13、的數(shù)字特征分兩類：a) 用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)。4.b) 用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。樣本容量越大，估計(jì)就越精確。平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。5.標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度。3.1 隨機(jī)事件的概率2、基本概念：(1)必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；(2)不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；(4)隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件；(5)頻數(shù)與頻率：在相同的

14、條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=2A為事件A出n現(xiàn)的概率：對于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率。(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值,它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，n這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個事件的概

15、率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件見課本P119;(2)若AnB為不可能事件，即AnB=6,那么稱事件A與事件B互斥；(3)若AnB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；(4)當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB尸P(A)+P(B);若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB尸P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1P(B).2、例題分析：例1一個射手進(jìn)行一次射擊，試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對立事件？事件A:命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B:命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C:命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D

16、:命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán).分析：要判斷所給事件是對立還是互斥，首先將兩個概念的聯(lián)系與區(qū)別弄清楚，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩事件，而對立事件是建立在互斥事件的基礎(chǔ)上，兩個事件中一個不發(fā)生，另一個必發(fā)生。解：A與C互斥(不可能同時發(fā)生)，B與C互斥，C與D互斥，C與D是對立事件(至少一個發(fā)生).例2拋擲一骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，已知P(A)=-,P(B尸-,求出“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)”.22分析：拋擲骰子，事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”和“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是彼此互斥的，可用運(yùn)用概率的加法公式求解.解：記“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)”為事件C,則C=AUB,因?yàn)锳、B

17、是互斥事件，所以P(C)=P(A)+P(B)=1+1=122答：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)的概率為1例3如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，那么取到紅心(事件A)的概率1-、-1、是一，取到萬塊(事件B)的概率是一，問：44(1)取到紅色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？分析：事件C是事件A與事件B的并，且A與B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C與事件D是對立事件，因此P(D)=1P(C).解：(1)P(C)=P(A)+P(B尸-(2)P(D)=1-P(C)=-22例4袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率1

18、 55為-,得到黑球或黃球的概率是,得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、得31212到黃球、得到綠球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、對立事件的概率公式求解.解：從袋中任取一球，記事件“摸到紅球”、“摸到黑球”、“摸到黃球”、“摸到綠球”為A、B、C、D,則有P(BUC)=P(B)+P(C尸衛(wèi)；P(CUD)=P(C)+P(D尸;P(BUCU1212D)=1-P(A)=1-1=2，解的P(B)=1,P(C)=1,P(D)=-33464111答：得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是、,、.4644、小結(jié)：概率的基本性質(zhì)：1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0WP(A

19、)&1；2)當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB尸P(A)+P(B);3)若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB尸P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1P(B);3.互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；(3)事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；(a)事件A發(fā)生B不發(fā)生；(b)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。5、練習(xí)：1 .從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品

20、都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件。(1)恰好有1件次品恰好有2件次品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品；2 .拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P(A)=1,P(B)=1,求出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和。2 63 .某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算該射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)少于7環(huán)的概率。4 .已知盒子中有散落的棋

21、子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知從中取出2粒都是35黑子的概率是1,從中取出2粒都是白子的概率是12,現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？6、評價標(biāo)準(zhǔn)：1 .解：依據(jù)互斥事件的定義，即事件A與事件B在一定試驗(yàn)中不會同時發(fā)生知：(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件，又因?yàn)樗鼈兊牟⒉皇潜厝皇录?，所以它們不是對立事件，同理可以判斷?2)中的2個事件不是互斥事件，也不是對立事件。(3)中的2個事件既是互斥事件也是對立事件。2 .解：“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”的概率是事件A,“出現(xiàn)2點(diǎn)”的概率是事件B,“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”的概率之和為P(C)=P(A)+P(B)=1+1=22633 .解：(1)該射手射中10環(huán)與射中9環(huán)的概率是射中10環(huán)的概率與射中9環(huán)的概率的和，即為0.21+0.23=0.44。(2)射中不少于7環(huán)的概率恰為射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率的和，即為0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7環(huán)的事件與射中不少于7環(huán)的事件為對立事件，所以射中少于7環(huán)的概率為10.97=0.03。4 .解：從盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰為取2粒白子的概率與2粒黑子的概