第五章晶體中電子能帶理論習(xí)題測1

1、第五章晶體中電子能帶理論習(xí)題測試1.    將布洛赫函數(shù)中的調(diào)制因子展成付里葉級數(shù), 對于近自由電子, 當(dāng)電子波矢遠(yuǎn)離和在布里淵區(qū)邊界上兩種情況下, 此級數(shù)有何特點? 在緊束縛模型下, 此級數(shù)又有什么特點?       解答       由布洛赫定理可知, 晶體中電子的波函數(shù), 對比本教科書(5.1)和(5.39)式可得=.對于近自由電子, 當(dāng)電子波矢遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界時, 它的行為與自由電子近似, 近似一常數(shù). 因此, 的展開式中, 除

2、了外, 其它項可忽略.        當(dāng)電子波矢落在與倒格矢Kn正交的布里淵區(qū)邊界時, 與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對布洛赫波產(chǎn)生了強烈的反射, 展開式中, 除了和兩項外, 其它項可忽略.在緊束縛模型下, 電子在格點Rn附近的幾率2大, 偏離格點Rn的幾率2小.  對于這樣的波函數(shù), 其付里葉級數(shù)的展式包含若干項. 也就是說, 緊束縛模型下的布洛赫波函數(shù)要由若干個平面波來構(gòu)造.2.    布洛赫函數(shù)滿足=,       

3、60;                                    何以見得上式中具有波矢的意義?       解答人們總可以把布洛赫函數(shù)展成付里葉級數(shù),其中k是電子的波矢. 將代

4、入=,得到=.其中利用了(是整數(shù)), 由上式可知, k=k, 即k具有波矢的意義.3.    波矢空間與倒格空間有何關(guān)系? 為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點是準(zhǔn)連續(xù)的?       解答波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間, 倒格空間的基矢分別為, 而波矢空間的基矢分別為, N1、N2、N3分別是沿正格子基矢方向晶體的原胞數(shù)目. 倒格空間中一個倒格點對應(yīng)的體積為,波矢空間中一個波矢點對應(yīng)的體積為, 即波矢空間中一個波矢點對應(yīng)的體積, 是倒格空間中一個倒格點對應(yīng)的體積的1/N. 由于N是晶體的原胞數(shù)目, 數(shù)目巨大, 所

5、以一個波矢點對應(yīng)的體積與一個倒格點對應(yīng)的體積相比是極其微小的. 也就是說, 波矢點在倒格空間看是極其稠密的. 因此, 在波矢空間內(nèi)作求和處理時, 可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點看成是準(zhǔn)連續(xù)的.4.    與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對什么狀態(tài)的電子具有強烈的散射作用？       解答當(dāng)電子的波矢k滿足關(guān)系式時, 與布里淵區(qū)邊界平行且垂直于的晶面族對波矢為k的電子具有強烈的散射作用. 此時, 電子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上, k垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的模等于.5.  

6、0; 一維周期勢函數(shù)的付里葉級數(shù)中, 指數(shù)函數(shù)的形式是由什么條件決定的?       解答周期勢函數(shù)V(x) 付里葉級數(shù)的通式為上式必須滿足勢場的周期性, 即.顯然.要滿足上式, 必為倒格矢.可見周期勢函數(shù)V(x)的付里葉級數(shù)中指數(shù)函數(shù)的形式是由其周期性決定的.6.    對近自由電子, 當(dāng)波矢k落在三個布里淵區(qū)交界上時, 問波函數(shù)可近似由幾個平面波來構(gòu)成? 能量久期方程中的行列式是幾階的?       解答設(shè)與三個布里淵區(qū)邊界正交的倒格矢分別為

7、, 則都滿足,且波函數(shù)展式中, 除了含有的項外, 其它項都可忽略, 波函數(shù)可近似為.由本教科書的(5.40)式, 可得,.由的系數(shù)行列式的值.可解出電子的能量. 可見能量久期方程中的行列式是四階的.7.    在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點?       解答電子的能帶依賴于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里淵區(qū)邊界上, 近自由電子的能帶一般會出現(xiàn)禁帶. 若電子所處的邊界與倒格矢正交, 則禁帶的寬度, 是周期勢場的付里葉級數(shù)的系數(shù).不論何種電子, 在布里淵區(qū)邊界上, 其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方

8、向上的斜率為零, 即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交.8.    當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時, 其有效質(zhì)量何以與真實質(zhì)量有顯著差別?       解答晶體中的電子除受外場力的作用外, 還和晶格相互作用. 設(shè)外場力為F, 晶格對電子的作用力為Fl, 電子的加速度為.但Fl的具體形式是難以得知的. 要使上式中不顯含F(xiàn)l, 又要保持上式左右恒等, 則只有.顯然, 晶格對電子的作用越弱, 有效質(zhì)量m*與真實質(zhì)量m的差別就越小. 相反, 晶格對電子的作用越強, 有效質(zhì)量m*與真實質(zhì)量m的差別就越大. 當(dāng)電子的波

9、矢落在布里淵區(qū)邊界上時, 與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子的散射作用最強烈. 在晶面族的反射方向上, 各格點的散射波相位相同, 迭加形成很強的反射波. 正因為在布里淵區(qū)邊界上的電子與晶格的作用很強, 所以其有效質(zhì)量與真實質(zhì)量有顯著差別.9.    帶頂和帶底的電子與晶格的作用各有什么特點?       解答由本教科書的(5.88)和(5.89)兩式得.將上式分子變成能量的增量形式，從能量的轉(zhuǎn)換角度看, 上式可表述為.由于能帶頂是能帶的極大值，<0，所以有效質(zhì)量<0.說明此時晶格對電子作負(fù)功,

10、即電子要供給晶格能量, 而且電子供給晶格的能量大于外場力對電子作的功. 而能帶底是該能帶的極小值，>0，所以電子的有效質(zhì)量>0.但比m小. 這說明晶格對電子作正功. m*<m的例證, 不難由(5.36)式求得<1.10. 電子的有效質(zhì)量變?yōu)榈奈锢硪饬x是什么?       解答仍然從能量的角度討論之. 電子能量的變化.從上式可以看出，當(dāng)電子從外場力獲得的能量又都輸送給了晶格時, 電子的有效質(zhì)量變?yōu)? 此時電子的加速度,即電子的平均速度是一常量. 或者說, 此時外場力與晶格作用力大小相等, 方向相反.11.萬尼爾函

11、數(shù)可用孤立原子波函數(shù)來近似的根據(jù)是什么?       解答由本教科書的（5.53）式可知, 萬尼爾函數(shù)可表示為.緊束縛模型適用于原子間距較大的晶體. 在這類晶體中的電子有兩大特點: (1) 電子被束縛在原子附近的幾率大, 在原子附近它的行為同在孤立原子的行為相近, 即當(dāng)rRn時, 電子波函數(shù)與孤立原子波函數(shù)相近. (2) 它遠(yuǎn)離原子的幾率很小, 即r偏離Rn較大時, 很小. 考慮到r偏離Rn較大時, 也很小, 所以用來描述是很合適的. 取=.將上式代入萬尼爾函數(shù)求和中, 再利用萬尼爾函數(shù)的正交性, 可得.也就是說, 萬尼爾函數(shù)可用孤立

12、原子波函數(shù)來近似是由緊束縛電子的性質(zhì)來決定的.12.緊束縛模型電子的能量是正值還是負(fù)值?       解答緊束縛模型電子在原子附近的幾率大, 遠(yuǎn)離原子的幾率很小, 在原子附近它的行為同在孤立原子的行為相近. 因此，緊束縛模型電子的能量與在孤立原子中的能量相近. 孤立原子中電子的能量是一負(fù)值, 所以緊束縛模型電子的能量是負(fù)值. s態(tài)電子能量(5.60)表達(dá)式即是例證. 其中孤立原子中電子的能量是主項, 是一負(fù)值, 是小量, 也是負(fù)值.13. 緊束縛模型下, 內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較, 哪一個寬? 為什么? 

13、0;     解答以s態(tài)電子為例. 由圖5.9可知, 緊束縛模型電子能帶的寬度取決于積分的大小, 而積分的大小又取決于與相鄰格點的的交迭程度. 緊束縛模型下, 內(nèi)層電子的與交疊程度小, 外層電子的與交迭程度大. 因此, 緊束縛模型下, 內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較, 外層電子的能帶寬.14.等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交的物理意義是什么？       解答將電子的波矢k分成平行于布里淵區(qū)邊界的分量和垂直于布里淵區(qū)邊界的分量k. 則由電子的平均速度得到,.等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面

14、垂直截交, 則在布里淵區(qū)邊界上恒有=0, 即垂直于界面的速度分量為零. 垂直于界面的速度分量為零, 是晶格對電子產(chǎn)生布拉格反射的結(jié)果. 在垂直于界面的方向上, 電子的入射分波與晶格的反射分波干涉形成了駐波.15.在磁場作用下, 電子的能態(tài)密度出現(xiàn)峰值, 電子系統(tǒng)的總能量會出現(xiàn)峰值嗎?       解答由（5.111）式可求出電子系統(tǒng)的總能量其中.對系統(tǒng)的總能量求微商, 其中有一項.可見, 每當(dāng)時, 總能量的斜率將趨于, 也即出現(xiàn)峰值.16.在磁場作用下, 電子能態(tài)密度的峰值的周期是什么? 簡并度Q變小, 峰值的周期變大還是變小?

15、60;      解答由（5.111）式可知, 在磁場作用下, 電子的能態(tài)密度.從上式不難看出, 能量E分別等于時, 能態(tài)密度都出現(xiàn)峰值. 相鄰峰值間的能量差, 即峰值的周期為.       由(5.109)式可知, 簡并度.其中分別是晶體在x方向和y方向的尺寸. 因為峰值的周期正比于, 所以簡并度Q變小, 峰值的周期也變小.17. 當(dāng)有電場后, 滿帶中的電子能永遠(yuǎn)漂移下去嗎?       解答當(dāng)有電場后, 滿帶中的電子在波矢空間內(nèi)將永遠(yuǎn)循環(huán)漂移下去, 即當(dāng)電子漂移到布里淵區(qū)邊界時, 它會立即跳到相對的布里淵區(qū)邊界, 始終保持整體能態(tài)分布不變. 具體理由可參見圖5.18及其上邊的說明.18.一維簡單晶格中一個能級包含幾個電子?       解答設(shè)晶格是由N個格點組成, 則一個能帶有N個不同的波矢狀態(tài), 能容納2N個電子. 由于電子的能帶是波矢的偶函數(shù), 所以能級有(N/2)個. 可見一個能級上包含4個電子.19. 本征半導(dǎo)體的能帶與絕緣體的能帶有何異同?