第3章導數(shù)與微分

1、第3章 導數(shù)與微分3.1 導數(shù)的概念3.1.1 實例1變速直線運動的速度已知變速直線運動的路程函數(shù)，當時間從變到時，物體所經(jīng)過的路程為，于是物體在這一段時間內(nèi)的平均速度是運動是變速的，但在一段很短的時間內(nèi)，速度變化不大，即當很小時，平均速度可作為物體在時刻的瞬時速度的近似值；無限小時，平均速度就無限接近于時刻的瞬時速度，即這就是說，物體在時刻的瞬時速度是平均速度當時的極限值，時刻路程對時間的變化率是時路程增量和時間增量之比的極限2總產(chǎn)量的變化率設某產(chǎn)品在時間段內(nèi)的總產(chǎn)量是時間的函數(shù)，當時間由變到時，總產(chǎn)量的改變量是，它在這段時間內(nèi)的平均產(chǎn)量（即平均變化率）是如果極限存在，則稱此極限是時刻的總產(chǎn)

2、量的變化率，又稱生產(chǎn)率3曲線的切線斜率如圖4-1所示，割線的斜率是因為當點M沿著曲線無限趨于點時，割線的極限位置稱為曲線在點的切線，所以時割線斜率的極限就是曲線在點的切線斜率3.1.2 導數(shù)的定義定義 設函數(shù)在點及其左右近旁有定義，當自變量從變化到時，函數(shù)有相應的改變量若當時，之比的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為或，即若極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點都可導，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導這時對任意給定的值，都有一個確定的導數(shù)值與之對應，從而確定了一個新的函數(shù)，稱此函數(shù)為函數(shù)的導函數(shù)（簡稱導數(shù)），記為，即顯然，函數(shù)在點處的導數(shù)值等于導函數(shù)在處的函

3、數(shù)值，即通常，表示函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率，導數(shù)（平均變化率的極限）叫做函數(shù)在點處的瞬時變化率（簡稱變化率）函數(shù)的瞬時變化率即函數(shù)的導數(shù)在實際問題中有著非常廣泛的應用，一些經(jīng)濟量可利用導數(shù)描述例如，若生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)，則在產(chǎn)量為時總成本對產(chǎn)量的變化率為，也叫產(chǎn)量為時的邊際成本，表示在產(chǎn)量為時每增加（或減少）單位產(chǎn)品所需增加（或減少）的成本；根據(jù)導數(shù)的定義，前述三個實例可重述為：（1）變速直線運動的物體在時刻的速度，就是路程函數(shù)在處對時間的導數(shù)，即（2）某產(chǎn)品在時刻的總產(chǎn)量的變化率，就是該產(chǎn)品的總產(chǎn)量函數(shù)在處對時間的導數(shù)，即（3）曲線在點處切線的斜率是函數(shù)在點處的導數(shù)，即例1已知函數(shù)，求，

4、.可以證明冪函數(shù)的導數(shù)公式：（是實數(shù)）.例2 求曲線在點（-1，1）處的切線的方程.3.1.3 高階導數(shù)既然導函數(shù)本身也是函數(shù)，所以可以計算它的導數(shù)對于函數(shù)，如果其導數(shù)仍可導，則稱的導數(shù)為的二階導數(shù)，記為或或類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，一般地，導數(shù)的導數(shù)叫做階導數(shù)，記為或，并把二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).例如，如果，則由公式知，.3.2 導數(shù)的計算3.2.1 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（1）（為常量） （2）（為實數(shù)）（3）() （4）（5）() （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）3.2.2 導數(shù)的四則運算法則定理 設函數(shù)在點

5、處可導，則，,在點處也可導，且有：（1）；（2）；特別地，（為常量）（3）.例1 求函數(shù)的導數(shù).例2 求函數(shù)的導數(shù). 例3 求函數(shù)的導數(shù).例4 求函數(shù)在點處的導數(shù).例5 已知函數(shù)，求.3.2.3復合函數(shù)的求導法則定理 設函數(shù)由與復合而成，若函數(shù)在點x處可導，函數(shù)在對應點處可導，則復合函數(shù)在點x處也可導，且簡記作即：復合函數(shù)的導數(shù)，等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).此法則可以推廣到多次復合的情形例如，若，且它們都可導，則例6 求函數(shù)的導數(shù)例7 求函數(shù)的導數(shù)例8 求函數(shù)的二階導數(shù).3.2.4偏導數(shù) 在生產(chǎn)中，產(chǎn)量與投入的勞動力和資金之間有關系式其中、都是正常數(shù)，叫做柯布-道格

6、拉斯生產(chǎn)函數(shù),描述了產(chǎn)量（因變量）與投入的兩種生產(chǎn)要素（資金）和（勞動力）之間的確定關系，這是一個以和為自變量的二元函數(shù)假設資金保持不變，則產(chǎn)量可以看作是勞動力的一元函數(shù)，表示在一定技術條件下，勞動力的微小變動所引起的總產(chǎn)量的變動；類似地，假設勞動力保持不變，則產(chǎn)量可以看作是資金的一元函數(shù)，表示在一定技術條件下，資金的微小變動所引起的總產(chǎn)量的變動這種由一個變量變化、其余變量保持不變所得到的導數(shù)，稱為多元函數(shù)的偏導數(shù)二元函數(shù)有兩個自變量，若把其中的自變量視為常量，只把自變量作為變量，對求導數(shù)，則是二元函數(shù)對求偏導數(shù)，記為或，若把其中的自變量視為常量，只把自變量作為變量，對求導數(shù)，則是二元函數(shù)對求偏導數(shù)，記為或，因此，求二元函數(shù)的偏導數(shù)時，只需將一個自變量暫時看作常量，直接利用一元函數(shù)的求導方法，對另一個自變量進行求導即可求某點處的偏導數(shù)值時，可先求偏導函數(shù)，然后代入點坐標即得例9 求函數(shù)的偏導數(shù)和例10 已知函數(shù)，求一般地，函數(shù)的偏導數(shù)還是和的函數(shù)，仍可繼續(xù)求或的偏導數(shù)，這些偏導數(shù)（如果存在）則稱為函數(shù)的二階偏導數(shù)，分別記為，類似地，有更高階的偏導數(shù)3.3 微分定義設函數(shù)在可導，則稱為函數(shù)在點處的微分，記為或，即此時，稱函數(shù)在點處可微當且很小時，有，即這表明函數(shù)當自變量在點處取得微小改變量時，可以用近似代替由于函數(shù)的微分是，所以有.由此可知，函數(shù)的導數(shù)可看成函數(shù)的微