第二節(jié)平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程

1、第二節(jié)平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程機(jī)械波機(jī)械波電磁波電磁波機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播. .交變電磁場(chǎng)在空間的傳播交變電磁場(chǎng)在空間的傳播. .兩類(lèi)波的不同之處兩類(lèi)波的不同之處v機(jī)械波的傳播需有傳機(jī)械波的傳播需有傳播振動(dòng)的彈性介質(zhì)播振動(dòng)的彈性介質(zhì); ;v電磁波的傳播可磁波的傳播可不需介質(zhì)不需介質(zhì). .2反射反射2折射折射2疊加性疊加性2衍射衍射兩類(lèi)波的共同特征兩類(lèi)波的共同特征彈性介質(zhì)和波源彈性介質(zhì)和波源（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）縱波和橫波：縱波和橫波：(1) 質(zhì)元并未質(zhì)元并未“隨波逐流隨波逐流” 波的傳播不是媒波的傳播不是媒 質(zhì)質(zhì)元的傳播質(zhì)質(zhì)元的傳播(2) “上游上

2、游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游下游”的質(zhì)元振動(dòng)的質(zhì)元振動(dòng)(3) 某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻 于于“下游下游”某處出現(xiàn)某處出現(xiàn)-波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播數(shù)學(xué)函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化數(shù)學(xué)函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的關(guān)系的關(guān)系.平面簡(jiǎn)諧波：平面簡(jiǎn)諧波：波面為平面的簡(jiǎn)諧波波面為平面的簡(jiǎn)諧波.簡(jiǎn)諧波：簡(jiǎn)諧波：在均勻、無(wú)吸收的介質(zhì)中，波源作簡(jiǎn)諧在均勻、無(wú)吸收的介質(zhì)中，波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，在介質(zhì)中形成的波動(dòng)振動(dòng)時(shí)，在介質(zhì)中形成的波動(dòng).xy 平面簡(jiǎn)諧波傳播時(shí)，平面簡(jiǎn)諧波傳播時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同一頻介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同一頻

3、率的振動(dòng)，在任一時(shí)刻，率的振動(dòng)，在任一時(shí)刻，各點(diǎn)的振動(dòng)相位一般不同各點(diǎn)的振動(dòng)相位一般不同，它們的位移也不相同。，它們的位移也不相同。據(jù)波陣面的定義可知，任據(jù)波陣面的定義可知，任一時(shí)刻在同一波陣面上的一時(shí)刻在同一波陣面上的各點(diǎn)有相同的相位，它們各點(diǎn)有相同的相位，它們離開(kāi)各自的平衡位置有相離開(kāi)各自的平衡位置有相同的位移。同的位移。yxxPtypO點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：P處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t t 的位移為：的位移為： 波動(dòng)表達(dá)式：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化波動(dòng)表達(dá)式：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系關(guān)系. .P處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t 的位移為的位移為

4、： 因此，波線上任一點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移都能由因此，波線上任一點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移都能由上式給出。此即所求的沿上式給出。此即所求的沿x x 軸正方向前進(jìn)的平軸正方向前進(jìn)的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。 波函數(shù)波函數(shù)沿沿x x軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：沿沿x軸正方向軸正方向傳播傳播沿沿x軸負(fù)方向傳播軸負(fù)方向傳播P P點(diǎn)落后點(diǎn)落后o o點(diǎn)點(diǎn)xuP P點(diǎn)超前點(diǎn)超前o o點(diǎn)點(diǎn)xyPxyP時(shí)間時(shí)間時(shí)間時(shí)間波函數(shù)為：波函數(shù)為： 上述過(guò)程給出了一個(gè)寫(xiě)出簡(jiǎn)諧波方程的步驟：上述過(guò)程給出了一個(gè)寫(xiě)出簡(jiǎn)諧波方程的步驟： 已知某點(diǎn)的振動(dòng)方程（不一定是波源）已知某點(diǎn)的振動(dòng)方程

5、（不一定是波源） 根據(jù)波的傳播方向，判斷各點(diǎn)振動(dòng)的先后次序根據(jù)波的傳播方向，判斷各點(diǎn)振動(dòng)的先后次序, , 找出時(shí)間差找出時(shí)間差 ( 0 0) 將時(shí)間差將時(shí)間差 代入已知振動(dòng)方程，即可得波方程：代入已知振動(dòng)方程，即可得波方程：( (P先振先振) )0( , )cos ()xy x tAtu0( , )cos ()xy x tAtu( (P后振后振) )波函數(shù)其它形式波函數(shù)其它形式角波數(shù)角波數(shù)：表示單表示單位長(zhǎng)度上位長(zhǎng)度上波的相位波的相位變化變化 利用關(guān)系式利用關(guān)系式22TuT，得，得和和0( , )cos ()xy x tAtu波動(dòng)表達(dá)式的意義：波動(dòng)表達(dá)式的意義： 上式代表上式代表x1處質(zhì)點(diǎn)在其

6、平衡位置附近以角頻率處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率 作作振動(dòng)。振動(dòng)。即即x 一定：令一定：令x=x1，則質(zhì)點(diǎn)位移則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是時(shí)間僅是時(shí)間t 的函數(shù)。的函數(shù)。tyOAT即即 以以y為縱坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、x 為橫坐標(biāo)，得到一條余弦曲線，它是為橫坐標(biāo)，得到一條余弦曲線，它是t1時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線曲線( (波形圖波形圖) )。xyt 一定一定: :令令t=t1，則質(zhì)點(diǎn)位移，則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是僅是x 的函數(shù)。的函數(shù)。沿波線方向，任意兩點(diǎn)沿波線方向，任意兩點(diǎn)x1、x2的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相位差為：的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相位差為：x、t

7、 都變化都變化: :實(shí)線：實(shí)線：t1 時(shí)刻波形時(shí)刻波形；虛線：虛線：t2 時(shí)刻波形時(shí)刻波形uxyo12cosxyAt當(dāng)當(dāng)t=t1時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)t2= t1+t時(shí)，時(shí)， 在在t1和和t1+t時(shí)刻時(shí)刻，對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)平衡位置用對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)平衡位置用x1和和x2表示，則表示，則uxyo 令令 ，得得21xxt 在在t 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi), ,整個(gè)波形向波的傳播方向移動(dòng)整個(gè)波形向波的傳播方向移動(dòng)了了 ，波速波速u(mài) 是整個(gè)波形向前傳是整個(gè)波形向前傳播的速度。播的速度。21xxxu t uxyo1x例例1 頻率為頻率為12.5kHz的平面余弦波沿細(xì)長(zhǎng)的的平面余弦波沿細(xì)長(zhǎng)的金屬棒傳播，波速為金屬棒傳播，波速為35.0 10

8、 m/s.如以棒上某點(diǎn)取為如以棒上某點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為0.1mmA，試求試求：（：（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2） 波函數(shù)（向右傳播）；波函數(shù)（向右傳播）；（3）離原點(diǎn)）離原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（4）離原點(diǎn)）離原點(diǎn)20cm和和30cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差；處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差；（5）在原點(diǎn)振動(dòng)）在原點(diǎn)振動(dòng)0.0021s時(shí)的波形；時(shí)的波形；解：解：由題意由題意波長(zhǎng)波長(zhǎng)周期周期（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（設(shè)其初相位為零）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（設(shè)其初相位為零）（2）波函數(shù)）波函數(shù)（

9、3）原點(diǎn)）原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間距離相位差相位差y（4）離原點(diǎn)）離原點(diǎn)20cm和和30cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差；處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差；（5）時(shí)的波形時(shí)的波形0.0021st xyOy 例例2一橫波沿一弦線傳播。設(shè)已知一橫波沿一弦線傳播。設(shè)已知t =0時(shí)的波形曲時(shí)的波形曲線如下圖中的虛線所示。波速線如下圖中的虛線所示。波速u(mài)為為12m/s，求，求(1)振幅；振幅；(2)波長(zhǎng)；波長(zhǎng)；(3)波的周期；波的周期；(4)弦上任一質(zhì)點(diǎn)的最大速率；弦上任一質(zhì)點(diǎn)的最大速率；(5)圖中圖中a、b兩點(diǎn)的相位差；兩點(diǎn)的相位差；(6)3T/4時(shí)的波形曲線時(shí)的波形曲線.（a、b兩兩

10、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為15和和35cm）/cmx/cmy4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab t =0解解: : 由波形曲線圖可看出：由波形曲線圖可看出：(2) (2) 波長(zhǎng)波長(zhǎng) =40cm；(1)(1)振幅振幅 A=0.5cm；(3)(3)波的周期波的周期 /cmx/cmy4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab t =0(4)(4)質(zhì)點(diǎn)的最大速率質(zhì)點(diǎn)的最大速率 (5)(5)a、b兩點(diǎn)相隔半個(gè)波長(zhǎng)，兩點(diǎn)相隔半個(gè)波長(zhǎng)，b點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)比點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)比a點(diǎn)處

11、質(zhì)點(diǎn)的相位點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的相位落后落后 。 (6)(6)3T/4時(shí)的波形如下圖中實(shí)線所示，波峰時(shí)的波形如下圖中實(shí)線所示，波峰M1和和M2已已分別右移分別右移 而到達(dá)而到達(dá) 和和 處。處。 431M2M/cmx/cmy4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab1M2Mt=3T/4例例3 ：如圖是一平面余弦橫波在時(shí)刻：如圖是一平面余弦橫波在時(shí)刻t=0的波形。此波形以的波形。此波形以 v=0.08m/s 的速度沿的速度沿ox軸正向傳播。軸正向傳播。 求：求：(1) a、b兩點(diǎn)振動(dòng)方向兩點(diǎn)振動(dòng)方向; (2) O點(diǎn)振動(dòng)方程點(diǎn)振動(dòng)方程; (3) 波動(dòng)表

12、達(dá)式波動(dòng)表達(dá)式解：解： 由于波沿由于波沿x正向傳播，因此任意正向傳播，因此任意時(shí)刻任意點(diǎn)都將重復(fù)其前的點(diǎn)（圖中左時(shí)刻任意點(diǎn)都將重復(fù)其前的點(diǎn)（圖中左側(cè)點(diǎn)）的振動(dòng)，由此可知：側(cè)點(diǎn)）的振動(dòng)，由此可知： 這個(gè)問(wèn)題也可以由下一時(shí)刻這個(gè)問(wèn)題也可以由下一時(shí)刻的波形曲線得到，如左圖黃線示的波形曲線得到，如左圖黃線示，而且比較直觀。，而且比較直觀。 此外此外： a點(diǎn)將向下振動(dòng)；點(diǎn)將向下振動(dòng)； b點(diǎn)將向上振動(dòng)。點(diǎn)將向上振動(dòng)。 由已知圖可得：由已知圖可得： 至此可寫(xiě)出波動(dòng)表達(dá)式為：至此可寫(xiě)出波動(dòng)表達(dá)式為： 例例4：一列沿：一列沿ox正向傳播的簡(jiǎn)諧波，在時(shí)刻正向傳播的簡(jiǎn)諧波，在時(shí)刻t1=0,t2=0.25s的兩個(gè)的兩個(gè) 波形如圖所示。求：波形如圖所示。求：(1)P的振動(dòng)表達(dá)式，的振動(dòng)表達(dá)式，(2)此波的波動(dòng)表式，此波的波動(dòng)表式，(3)畫(huà)畫(huà)出出O點(diǎn)的振動(dòng)曲線。點(diǎn)的振動(dòng)曲線。解：解： 由已知圖分析可得：由已知圖分析可得：當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí),對(duì)對(duì)P點(diǎn)有：點(diǎn)有： 任意位置任意位置x與與P點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為(x-OP) 由圖可知：由圖可知： 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，時(shí)，O點(diǎn)有：點(diǎn)有：（或不判斷初相而直接由原圖分析）（或不判斷初相而直接由原圖分析）則有則有O點(diǎn)振動(dòng)曲線如下點(diǎn)振動(dòng)曲線如下:例例5：平面簡(jiǎn)諧波某時(shí)刻波形如圖。求：平