矩陣的特征值和特征向量

1、4.1矩陣的特征值和特征向量秩是反應(yīng)矩陣特征的一個(gè)量線性方程組迭代解法的收斂性： (1)AXB設(shè)(2)AECXCXB令則010XXCXB任取211nnXCXBXCXB(2)?nX 是否收斂于的解一個(gè)方程的情形：01022101100(3),(1)1(1)111,(3).11,nnnnnnnxcxbxxcxbxcxbc xcbcxcxbc xccbc xbccxbcc任取當(dāng)時(shí)確是的解當(dāng)時(shí) 不收斂.XCXB乘冪運(yùn)算的簡化：AAAAkn001knkk001PPA1)()(21112PPPPPPAPPAkk1定義4.1特征值和特征向量0000,nAnRAAA 設(shè) 是 階方陣 如果對于數(shù)存在非零列向量使

2、得則稱 為 的一個(gè)特征值為 屬于特征值 的特征向量.例122212 ,221101 ,011AA 設(shè)問:是不是 的特征向量?若是,它對應(yīng)于哪個(gè)特征值?151155 1151A 解11,1 是特征向量是對應(yīng)于特征值5的特征向量。0012202002120201221111A 001A 不是 的特征向量.從幾何上看，AAA把 看成是變換xy0A0A 特征向量在這變換下，改變大小，不改變方向，向量大小的放大率就是特征值。 討論特征值和特征向量的計(jì)算方法0000()0(0)()000AEAEA XEAEA 定義4.2特征多項(xiàng)式,.0.EAAEAAEAA為 的多項(xiàng)式 稱為 的特征多項(xiàng)式稱為 的特征方程稱

3、為 的特征矩陣.A的特征值等價(jià)于A的特征多項(xiàng)式的根。 定理4.10000,0()0.AAEAEA X是 的特征值是 的屬于 的特征向量為特征方程的根,是齊次線性方程組的非零解推論1、2nP158n結(jié)論：00AA的屬于特征值 的特征向量的任一非零線性組合仍是 的屬于 的特征向量.求A的全部特征值和特征向量的步驟：nP158例234.52A求矩陣的特征值和特征向量1234(7)(2)0522,7.EA 解112122,540()5405454, 54,5400 xEA Xxxx 當(dāng)時(shí)2114545xx 令，1111,2(0,)Acc 于是的屬于的全部特征向量為常數(shù)212127,440()55044

4、44,5500 xEA Xxxx 當(dāng)時(shí)212111xx 令，2222,7(0,)Acc于是的屬于的全部特征向量為常數(shù)例4、求矩陣A的特征值和特征向量。其中212332420242332422(1) (8)04231,8.AEA 解12123123,4240()21204240424212212000 ,22,424000 xEA Xxxxxx 當(dāng)=-1時(shí)21231120,2,00101xx 令分別取12112212,( ,)Accc c于是的屬于=-1的全部特征向量為不全為零 常數(shù)312313238,5240()28204250524101282021 ,2425000 xEA Xxxxxxx

5、 當(dāng)時(shí)33221 ,2x 令3333,8(0,)Acc于是的屬于的全部特征向量為常數(shù)例60220020,(0),(0)AAAAAAAA 202020設(shè)是 的一個(gè)特征值,證明是的一個(gè)特征值證要證設(shè) 是 的屬于 的特征向量 則兩邊左乘得例110011.001A求的特征值和特征向量312311213110011(1)000111,0100()0010000010 ,00001(0)EAxxEA Xxxxxxxcc 解當(dāng)時(shí)令對應(yīng)于特征向值的特征向量為例12.31A求的特征值和特征向量212(1)6031.EAA解無實(shí)根無特征值小結(jié)：nA的特征值可有可無；nA對應(yīng)于一個(gè)特征值的特征向量必有無窮多個(gè)，且加

6、上零向量后構(gòu)成向量空間（A的對應(yīng)特征值的特征子空間）；n特征子空間的維數(shù)不會超過 作為特征多項(xiàng)式根的重?cái)?shù)。例23452A12:2,7. 特征值1111222242,517,1cc 當(dāng)時(shí) 特征向量當(dāng)時(shí) 特征向量例4、123121211221233333242024231,8.1112,0,01( ,)28,1 ,2Accc cc 特征根當(dāng)時(shí),特征向量為不全為零 常數(shù)當(dāng)時(shí) 特征向量例11001100111,00Ac 特征值特征向量二、特征值和特征向量的性質(zhì)n定理4.2,.TAnAA設(shè) 是 階矩陣 則 與有相同的特征值:0TEAAEAEA分析 滿足的 叫 的特征值.只需證:()TTTEAEAEAAA

7、證即 與有相同的特征多項(xiàng)式,故有相同的特征值.定理4.3、n階矩陣可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零。0,000( 1)00nAEAEAAAAA 證明必要性,要證, 可逆不是特征值即即 不是 的特征值,即 的任一特征值不等于零.,0,0( 1)00,.nAAAAEAAAAA 充分性,要證, 的任一特征值不等于零可逆假設(shè) 不可逆 則于是即 是 的特征值 矛盾 故 必可逆定理4.41111,.mmmmAnAmA設(shè) 為 階矩陣是 的 個(gè)不同的特征值分別是 的屬于的特征向量 則線性無關(guān)1111,0,.1,.,mmAmsms證明對特征值個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)的屬于特征值 的特征向量而單個(gè)的非零向

8、量線性無關(guān)設(shè)時(shí) 結(jié)論成立要證時(shí)線性無關(guān).1211220(1)sssk kkkkk設(shè)有數(shù) , , , ,使(1,2, ),iiAis1122111222,0(3)(3)(1),()()()0sssssssssssskkkkkk (1)式乘得式式 得11221 11222,00(2)sssssAk Ak Ak Akkk (1)式左乘得,111222111111212()()()0,()0 (1,2,1),(1,2,1),0(1),0(0),0,.,sssssssisisisssssskkkkisiskkkkkm 由假設(shè)線性無關(guān),所以但所以必有代入式 得于是因此線性無關(guān)由數(shù)學(xué)歸納法可知 對任意正整數(shù)結(jié)論成立.定理4.512112111212122112,.immiiiisssmmmsAnAmA設(shè) 為 階矩陣是 的 個(gè)不同的特征值的