精品專題資料（2022-2023年收藏）國家政策對淺談高考中的數(shù)學(xué)建模問題

1、2012年全國高考模擬參考部分淺談高考中的數(shù)學(xué)建模問題 寧波鄞州正始中學(xué)數(shù)學(xué)組王伍成 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，涉及函數(shù)的應(yīng)用問題，題源豐富，背景深刻，題型新穎，解法靈活，是歷年高考命題的熱點(diǎn)之一，同時(shí)也是考生失分較多的一種題型。應(yīng)用題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切，它不僅能培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力，還能提高學(xué)生的思維素質(zhì)。一般來說，高考中的函數(shù)應(yīng)用題往往是以現(xiàn)實(shí)生活為原型設(shè)計(jì)的，其目的在于考查學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的閱讀、理解、表達(dá)與轉(zhuǎn)化能力，求解時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：（1）閱讀理解、認(rèn)真審題；（2）利用數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的相關(guān)方法將得到的常見數(shù)學(xué)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得

2、結(jié)果。而解答這類問題的要害就在于理解題意，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。下面略舉數(shù)例談?wù)労瘮?shù)建模在生活和高考中的應(yīng)用。1、 優(yōu)化問題 實(shí)際問題中的“優(yōu)選”“控制”等問題，常需建立“不等式模型”或“線性規(guī)劃”問題解決 例1、(1996年全國高考題)某地現(xiàn)有耕地10000 公頃，規(guī)劃l0年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10，如果人口年增長率為1，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃(精確到1公頃)?(糧食單產(chǎn)=總產(chǎn)量/總面積，人均糧食占有量=總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù))。（平均增長率問題：如果原來人口的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時(shí)間x的人口量為y=N(1+p)x.）分析

3、：人口是以年增長率計(jì)算，土地是以每年減少的畝數(shù)計(jì)算，因此可以這樣理解：人口是以幾何級數(shù)(等比數(shù)列)增長，土地是以算術(shù)級數(shù)(等差數(shù)列)減少。本題的解答關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)現(xiàn)在總?cè)丝跒閜人時(shí)，10年后總?cè)丝跒閜(1+001)10；現(xiàn)在人均糧食占有量為bt(噸)時(shí)，10年后則為6(1+10)t；現(xiàn)在耕地共104公頃，設(shè)每年允許減少xha時(shí)，10年后耕地將共有(104一l0x) 公頃；現(xiàn)有單產(chǎn)為Mt噸公頃，10年后單產(chǎn)為M×(1+22)t公頃。設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為p人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。解：依題意得不等式 答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃

4、。本題也可屬于預(yù)測問題，通過建立數(shù)列模型和不等式模型來解決問題。2、最（極）值問題 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實(shí)際生活中的極限問題常設(shè)計(jì)成“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。例2、（2007年福建高考）某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷售量為萬件（）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值分析：總利潤=每一件的利潤×銷售量=（每一件的售價(jià)-成本-管理費(fèi)）×銷售量解：（）分公司一年的利潤（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系

5、式為：（）令得或（不合題意，舍去），在兩側(cè)的值由正變負(fù)所以（1）當(dāng)即時(shí)，（2）當(dāng)即時(shí)，所以答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）本題利用導(dǎo)數(shù)來求三次函數(shù)的最值。3、 預(yù)測問題 經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、市場預(yù)測這類問題通常設(shè)計(jì)成“數(shù)列模型”來解決例3、（2002年全國理科）某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？解：設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量

6、依次為萬輛，萬輛，每年新增汽車萬輛，則，對于，有所以當(dāng)，即時(shí)。當(dāng)，即時(shí)數(shù)列逐項(xiàng)增加，可以任意靠近因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即（）則，即萬輛綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過萬輛。4、 等量關(guān)系問題 建立“方程模型”解決，通過題目中的等量關(guān)系建立方程，再通過方程整理出函數(shù)關(guān)系式或解方程來解決問題。例4、(1995年全國高考題)某地為促進(jìn)淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼，設(shè)淡水魚的市場價(jià)格為x元kg，政府補(bǔ)貼為t元kg，根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)8x14時(shí)，淡水魚的市場日供應(yīng)量Pkg與市場日需求量Qkg近似地滿足關(guān)系P=1000(x+t-8)，(x8，t0) 當(dāng)

7、P=Q時(shí)的市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格。(1)將市場平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域；(2)為使市場平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元?分析：從數(shù)學(xué)的角度理解政府補(bǔ)貼t的含義，可與稅收聯(lián)系起來，當(dāng)t>0時(shí)，則是補(bǔ)貼，意在扶植促進(jìn)某個(gè)行業(yè)的發(fā)展，如果t<0時(shí)，則是課稅，為政府積累資金。解：(1)依題設(shè)，有解得t1或t-5，由于t0,知t1，從而政府補(bǔ)貼至少為每千克1元。5、測量問題 可設(shè)計(jì)成“圖形模型”利用幾何知識解決。建立坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用幾何知識或者解析幾何知識來解決問題。例5、（2003年全國理科）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？解：如圖建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向. 在時(shí)刻：t（h）臺(tái)風(fēng)