高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第61講)簡單多面體與球

1、題目 第九章(B)直線、平面、簡單幾何體簡單的多面體與球高考要求 1了解多面體、凸多面體的概念 了解正多面體的概念，知道歐拉公式和五種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)及棱數(shù) 2要使學(xué)生理解兩點的球面距離，掌握球的表面積及球的體積公式、求球面面積、球的體積及兩點的球面距離3球是最常見的幾何體高考對球的考查主要在以下四個方面：（1）球的截面的性質(zhì)；（2）球的表面積和體積；（3）球面上兩點間的球面距離；（4）球與其他幾何體的組合體而且多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)第（4）方面有時用綜合題進(jìn)行考查 知識點歸納 1簡單多面體：考慮一個多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會連續(xù)（

2、不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€球面如圖：象這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡單多面體說明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體2五種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：正多面體頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體1220303歐拉定理（歐拉公式）：簡單多面體的頂點數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)系式： 計算棱數(shù)E常見方法：(1)EV+F-2；(2)E各面多邊形邊數(shù)和的一半；(3)E頂點數(shù)與共頂點棱數(shù)積的一半4歐拉示性數(shù)：在歐拉公式中令，叫歐拉示性數(shù)說明：（1）簡單多面體的歐拉示性數(shù)（2）帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)例如：長方體挖去一個

3、洞連結(jié)底面相應(yīng)頂點得到的多面體5 球的概念： 與定點距離等于或小于定長的點的集合，叫做球體，簡稱球定點叫球心，定長叫球的半徑與定點距離等于定長的點的集合叫做球面一個球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球2球的截面：用一平面去截一個球，設(shè)是平面的垂線段，為垂足，且，所得的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以為半徑的一個圓，截面是一個圓面球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓7經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)緯度：某

4、地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)8兩點的球面距離：球面上兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離 (為球心角的弧度數(shù))9 半球的底面： 已知半徑為的球，用過球心的平面去截球，球被截面分成大小相等的兩個半球，截面圓（包含它內(nèi)部的點），叫做所得半球的底面10球的體積公式：11其它：在應(yīng)用球體積公式時要注意公式中給出的是球半徑R，而在實際問題中常給出球的外徑（直徑）球與其它幾何體的切接問題，要仔細(xì)觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化題型講解 例1 一個正多面體各個面的內(nèi)角和為

5、，求它的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)解：由題意設(shè)每一個面的邊數(shù)為,則，,將其代入歐拉公式,得,設(shè)過每一個頂點的棱數(shù)為,則，得 , 即 （1）,，,又，的可能取值為，,當(dāng)或時（1）中無整數(shù)解；當(dāng),由（1）得, , ，綜上可知:，例2 球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3個點的小圓的周長為4，那么這個球的半徑為A4B2C2D 解法一：過O作OO平面ABC，O是垂足，則O是ABC的中心，則OA=r=2，又因為AOC=，OA=OC知OA=AC<2OA其次，OA是RtOOA的斜邊，故OA>OA所以O(shè)A<OA<2OA因為OA=R，所以2<R<4因此，排

6、除A、C、D，得B解法二：在正三角形ABC中，應(yīng)用正弦定理，得AB=2rsin60°=2因為AOB=，所以側(cè)面AOB是正三角形，得球半徑R=OA=AB=2解法三：因為正三角形ABC的外徑r=2，故高AD=r=3，D是BC的中點在OBC中，BO=CO=R，BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R在RtABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2點評：1本題以球為載體考查了直線的關(guān)系、解三角形等知識，將空間圖形的計算轉(zhuǎn)化為平面圖形中求正三角形外接圓半徑及勾股定理的使用，并運用方程的思想2正確區(qū)別球面上兩點之間的直線距離與球面距離；計算A、B兩點

7、間的球面距離關(guān)鍵是搞清緯度、經(jīng)度、經(jīng)度差、緯度差等概念，具體步驟是：（1）計算線段AB的長度；（2）計算A、B到球心O的張角；（3）計算球大圓在A、B兩點間所夾的劣弧長例3 將半徑都為的個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為A B2+ C4+ D解析一：由題意，四個半徑為1的小球的球心,恰好構(gòu)成一個棱長為2的正四面體，并且各面與正四面體的容器的各對應(yīng)面的距離都為1如圖一所示顯然設(shè)分別為的中點，圖一在棱長為2的正四面體中，, ，且作，則，由于, 故選C解析二：由題意，四個半徑為1的小球的球心,恰好構(gòu)成一個棱長為2的正四面體，并且各面與正四面體的容器的各對應(yīng)面的距離都為1

8、如圖二所示,正四面體與有共同的外接球球心的相似正四面體，其相似比為：,所以所以圖二解析三：由題意，四個半徑為1的小球的球心,恰好構(gòu)成一個棱長為2的正四面體，并且各面與正四面體的容器的各對應(yīng)面的距離都為1如圖二所示,正四面體與有共同的外接球球心的相似正四面體，從而有,又, 所以由于,所以例4 如圖，一個廣告氣球被一束入射角為的平行光線照射，其投影是一個長半軸為5 m的橢圓，則制作這個廣告氣球至少需要的面料是_解析：長半軸為OA=5，AOB=，設(shè)氣球半徑為r，則r=5cos，S=4r2=100cos2 m2答案：100cos2 m2例5 已知球的兩個平行截面的面積分別為49、400，且兩個截面之間

9、的距離為9，求球的表面積分析：先畫出過球心且垂直于已知截面的球的大圓截面，再根據(jù)球的性質(zhì)和已知條件列方程求出球的半徑注意：由于球的對稱性，應(yīng)考慮兩截面與球心的位置關(guān)系分別在球心的同側(cè)或異側(cè)的情形，加以分類討論解：下圖為球的一個大圓截面 ·O1A2=49，則O1A=7又·O2B2=400，O2B=20（1）當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時，OO1OO2=9=，解得R2=625，S球=4R2=2500（2）當(dāng)兩截面在球心異側(cè)時，OO1+OO2=9=+，無解綜上，所求球的表面積為2500點評：球的截面的性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問題的重要一環(huán)，特別是有關(guān)球的計算問題中，R2=d2+r2（R、r、d

10、分別表示球的半徑、截面圓的半徑、球心到截面的距離）起著重要的作用例6 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側(cè)面積最大?側(cè)面積的最大值是多少?解：下圖為軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則（）2r2=R2，即h=2S=2rh=4r·=44=2R2，取等號時，內(nèi)接圓柱底面半徑為R，高為R例7 三棱錐ABCD的兩條棱AB=CD=6，其余各棱長均為5，求三棱錐的內(nèi)切球半徑 解法一：易知內(nèi)切球球心O到各面的距離相等設(shè)E、F為CD、AB的中點，則O在EF上且O為EF的中點在ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=解法二：設(shè)球心O到各面的距離

11、為R4×S×R=VABCD，S=×6×4=12，VABCD=2VCABE=64××12R=6R=點評：正多面體與球的切接問題常借助體積求解例8 求棱長為的正四面體的外接球和內(nèi)切球的體積分析：本題關(guān)鍵是求球的半徑解：如圖，作設(shè)內(nèi)切球的球心為O,則四面體被分成四個錐體，設(shè)四面體每個面的面積為，設(shè)外接球的半徑為，過作球的直徑交底面，則的圓心， 在過的大圓中，由相交弦定理得： 例9 設(shè)地球的半徑為R，點A和點B分別在北緯45°西經(jīng)40°和北緯45°東經(jīng)50°處，求A，B兩點間緯線的長度；求A，B兩點的球

12、面距離分析：要求緯線的長，先求出緯線圈的半徑及兩點的經(jīng)度差求A、B的球面距離，關(guān)鍵是計算球心角AOB，可先求弦長，再通過解求得解：設(shè)北緯45°圈的中心為O1，地球球心為O，由經(jīng)度的意義知 因此：在北緯45°圈上AB弧長為在球面上A、B兩點的球面距離為【小結(jié)】1球的面積、體積及基本性質(zhì)是解決有關(guān)問題的重要依據(jù)，它的軸截面圖形、球半徑、截面圓半徑、圓心距所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要切入點2要正確地區(qū)別球面上兩點間的直線距離與球面距離計算A、B兩點間的球面距離的關(guān)鍵是搞清緯度、經(jīng)度、緯度差、經(jīng)度差等概念 求A、B兩點的球面距離的步驟是：計算弦長，計算A、B與

13、球心連線所成的角的大?。ㄓ没《戎票硎荆?，計算夾在A，B兩點間的大圓的劣弧長學(xué)生練習(xí) 1下列四個命題中錯誤的個數(shù)是經(jīng)過球面上任意兩點，可以作且只可以作一個球的大圓 球面積是它大圓面積的四倍 球面上兩點的球面距離，是這兩點所在截面圓上以這兩點為端點的劣弧的長A0 B1 C2 D3解析：錯誤 答案：C2一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個平面的距離是4 cm，則該球的體積是A cm3 B cm3C cm3 D cm3答案：C3若三球的半徑之比是123，那么半徑最大的球體積是其余兩球體積和的_倍A4B3C2D1解析：三球體積之比為1827 答案：B4（2004年北京，理11）某地球儀上北緯

14、30°緯線的長度為12 cm，該地球儀的半徑是_cm，表面積是_cm2解析：如圖所示，2r=12，r=6（cm）設(shè)地球儀半徑為R，則=sin60°R=4（cm），表面積S=4R2=192（cm2）答案：4 1925長方體的一個頂點上三條棱長為3、4、5，且它的八個頂點都在一個球面上，這個球的表面積是A20B25C50D200解析：設(shè)球的半徑為R，則（2R）2=32+42+52=50，R=S球=4×R2=50 答案：C6一個簡單多面體的各個頂點處都有三條棱，則頂點數(shù)V和面數(shù)F滿足的關(guān)系式應(yīng)是（ ） A, 2F+V=4 B, 2FV=4 C, 2F+V=2 D, 2F

15、V=27設(shè)集合A正四面體，B正多面體，C簡單多面體，則A、B、C之間的關(guān)系為( A )AABCBACB CCBADCAB8集合A正方體，B長方體，C正四棱柱，則A、B、C之間的關(guān)系為( B ) AABC BACB CCAB DBAC9一個簡單多面體的各個面都是三角形，且有6個頂點，則這個多面體的面數(shù)為( C ) A4 B6 C8 D1010正八面體的相鄰兩個面所成二面角的大小為( B )AarccosBarccosCarccosDarccos11正方體的全面積為a2，它的頂點都在一個球面上，這個球的表面積為( B )A B C2a2 D3a212一個長方體的長、寬、高分別為3、4、5，且它的頂

16、點都在一個球面上，這個球的表面積為( C ) A20 B25 C50 D20013在球面上有四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PAPBPCa，那么這個球面的面積是(B ) A2a2 B3a2C4a2 D6a214北緯30º的圓把北半球面積分為兩部分，這兩部分面積的比為( A )A11 B21 C1 D115地球半徑為R，在北緯30º的圓上有兩點A、B，A點的經(jīng)度為東經(jīng)120º，B點的經(jīng)度為西經(jīng)60º，則A、B兩點的球面距離為( D ) AR BR CR DR16球面上有三個點，其中任意兩個點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這三個點

17、的小圓周長為4，那么這個球的半徑為( B ) A4B2 C2 D 17球面上有三個點A、B、C，其中AB18,BC24,AC30，且球心到平面ABC的距離為球半徑的一半，那么這個球的半徑為(A ) A10B10 C2 D30 18在北緯60º圈上有甲、乙兩地，它們在緯度線上的弧長等于R，R為地球半徑，則這兩地的球面距離為( B )ARBRCR DR19已知十二面體共有8個頂點，其中2個頂點處各有6條棱，其他各頂點處都有相同數(shù)目的棱，則其余各頂點處的棱數(shù)為_；（提示：設(shè)其余各頂點的棱數(shù)為，則總棱數(shù)為條，代入歐拉公式可算得）20已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是ABC4D解析：因為AB=BC=CA=2，所以ABC的外接圓半徑為r=設(shè)球半徑為R，則R2（R）2=，所以R2=，S=4R2=答案：D21有兩個半徑都是r的球，其中一個球的球心在另一個球的球面上，則這兩個球的交