第18講信號與系統(tǒng)課件

1、2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講1n11周周日上午（周周日上午（5月月9日）日）n12周周日上午（周周日上午（5月月16日）日）n東校區(qū)計算中心。東校區(qū)計算中心。n朱正濤朱正濤Tel實驗軟件（實驗軟件（matlab版）版）n實驗指導書（電子版）實驗指導書（電子版）第第7 7章章 離散時間系統(tǒng)的時域分析離散時間系統(tǒng)的時域分析 7.3-7.3-7.47.4離散時間系統(tǒng)的描述與模擬、離散離散時間系統(tǒng)的描述與模擬、離散時間系統(tǒng)的零輸入響應時間系統(tǒng)的零輸入響應2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講3n離散時間信號離散時間信號n離散時間信號的運算離散時間信號的運算n常見

2、離散時間信號常見離散時間信號n線性移不變離散時間系統(tǒng)線性移不變離散時間系統(tǒng)n信號的取樣信號的取樣n理想取樣信號及其頻譜分析理想取樣信號及其頻譜分析n信號的重建與取樣定理信號的重建與取樣定理n信號取樣的工程考慮信號取樣的工程考慮2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講4n建立時域方程求解零輸入響應、零狀態(tài)響應建立時域方程求解零輸入響應、零狀態(tài)響應n基于物理意義的微分方程基于物理意義的微分方程n引入微分算子對系統(tǒng)特性進行描述引入微分算子對系統(tǒng)特性進行描述）n根據(jù)系統(tǒng)自然特性的零輸入響應求解根據(jù)系統(tǒng)自然特性的零輸入響應求解n沖擊響應和零狀態(tài)響應的卷積求解沖擊響應和零狀態(tài)響應的卷積求解n尋求簡便、物理

3、意義明確的變換域分析法尋求簡便、物理意義明確的變換域分析法n傅立葉變換拉普拉斯變換傅立葉變換拉普拉斯變換n分析系統(tǒng)的時域性質(zhì)和頻域性質(zhì)分析系統(tǒng)的時域性質(zhì)和頻域性質(zhì)n系統(tǒng)的頻域特性頻譜函數(shù)系統(tǒng)的頻域特性頻譜函數(shù)n系統(tǒng)的時域特性穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的時域特性穩(wěn)定性分析2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講5n差分方程概念差分方程概念n對于線性移不變系統(tǒng)對于線性移不變系統(tǒng)n e(k)r(k) 則有則有 e(kN)r(kN) n激勵與響應之間的這種關系用差分方程描述激勵與響應之間的這種關系用差分方程描述n差分方程建立離散時間系統(tǒng)相鄰幾個時間序列之間的差分方程建立離散時間系統(tǒng)相鄰幾個時間序列之間的數(shù)學關系。

4、數(shù)學關系。n即即 f (k)，（，（k = 0, 1, 2, ,） 及及 f (k+1)、 f (k-1) 等序列之間等序列之間的關系。的關系。2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講6n經(jīng)典差分問題描述斐波那契數(shù)列問題經(jīng)典差分問題描述斐波那契數(shù)列問題n每對大兔子每月生產(chǎn)一對小兔子每對大兔子每月生產(chǎn)一對小兔子n小兔子一個月長大成為大兔子小兔子一個月長大成為大兔子n最初一對大兔子，問最初一對大兔子，問n月后共幾對兔子？月后共幾對兔子？分析：分析：n第第k月兔子總數(shù)月兔子總數(shù) y(k)n第第k+1月兔子數(shù)月兔子數(shù) y(k+1)=y(k)+當月新增兔子當月新增兔子n第第k+2月兔子數(shù)月兔子數(shù) y(k

5、+2)=y(k+1)+當月新增兔子當月新增兔子n第第k月兔子月兔子y(k)在在K+1月全部成為大兔子，月全部成為大兔子，n在在k+2月產(chǎn)生小兔子月產(chǎn)生小兔子y(k),成為當月新增兔子成為當月新增兔子n這樣就得到差分方程這樣就得到差分方程 y(k+2)=y(k+1)+y(k)2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講7n電路響應問題電路響應問題RC 電路如圖，電路如圖，輸入為離散抽樣信號輸入為離散抽樣信號e(t)。用差。用差分方程描寫每隔時間分方程描寫每隔時間 T， 輸出輸出電壓電壓u(k) 與輸入信號間的關系。與輸入信號間的關系。n分析：分析：n當當 t kT，輸出為，輸出為 u (k)。電。電

6、容電壓零輸入分量容電壓零輸入分量+-e(t)u(t)RC(a) RC 電路電路e (t)t0T2T 3T 4T 5T (b) 抽樣脈沖激勵信號抽樣脈沖激勵信號0)()()(kkTtkTeteRCkTtziekutu)()()(2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講8RCsRCsRCsCRsCsH111111)(RCteRCth1)(n則當則當 t=kT 第第 k 個沖激個沖激 e(kT) (t-kT) 加于電路后，加于電路后，n在在t kT 時電容電壓的零狀態(tài)分量為時電容電壓的零狀態(tài)分量為n于是得到于是得到得得 t kT 后總輸出電壓后總輸出電壓RCkTtRCtkTRCtRCtzseRCkT

7、eeRCkTedkTeRCkTedkTkTeeRCkTtkTethtu)(0)()()()()()(1)()()()(RCkTtzszieRCkTekutututu)()()()()(2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講9n當當 t = (k+1)T ，上式為，上式為n經(jīng)過整理，并將經(jīng)過整理，并將 e (kT) 記為記為一般形式一般形式 e (k)，即，即n這是前向差分這是前向差分n若輸入為圖示分段常數(shù)的函數(shù)若輸入為圖示分段常數(shù)的函數(shù) e (t) = E k ，RCTeRCkTekuku)()()1()()()1(keRCekuekuRCTRCTte (t)E0E1E2E3E40T2T 3

8、T 4T 分段常數(shù)激勵信號分段常數(shù)激勵信號RCkTtziekutu)()()(RCteRCth1)(2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講10111)()1()1(RCTRCkTtkRCTRCkTRCtkRCkTRCTkRCtkTkkTRCRCtkkRCtkzseeEeeeEeeeEdeeRCEdEeRCEthu)1()()(RCTRCkTtkRCkTtzszieeEekuuutu當當 t = (k+1)T 時，上式成為時，上式成為kRCTRCTRCTRCTkRCTEeekueeEekuku)1 ()()1()()1(kRCTRCTEekueku)1()()1( (1)()()TTRCRCe

9、u keu ke kRC對 比 采 用 離 散抽 樣 的 情 況2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講11n非時間變量的差分方程非時間變量的差分方程n電阻電阻T形網(wǎng)絡，求各個節(jié)點對公共地電壓，差分方程形式表示。形網(wǎng)絡，求各個節(jié)點對公共地電壓，差分方程形式表示。n解：解：第第 k+1 個節(jié)點中的電流關系個節(jié)點中的電流關系 ia= ib + icn故故n整理后整理后na1 有有+-Eu(0)u(1)u(2)u(k)u(k+1)u(k+2)u(n-1)u(n)RRRRRRRiaibicaRaRaRaRaRkuRkukuRkuku)1()2()1()1()(0)()1(12)2(kukuaaku(2

10、 )3(1)()0u ku ku k2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講12n漢諾塔問題漢諾塔問題n解答解答()2(1 )1()21nynynyn2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講13n一質(zhì)點沿水平方向作直線運動，它在某一秒內(nèi)所走一質(zhì)點沿水平方向作直線運動，它在某一秒內(nèi)所走的距離等于前一秒內(nèi)所走的距離的的距離等于前一秒內(nèi)所走的距離的2倍，列出該質(zhì)倍，列出該質(zhì)點行程的方程。點行程的方程。n解答解答( )(1)2( (1)(2)( )3 (1)(2)0y ky ky ky ky ky ky k2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講14n每月向銀行存款每月向銀行存款X(n)元，月利息元，

11、月利息a，每月利息不取，每月利息不取出，寫出第出，寫出第n月的本利和月的本利和y(n).n這是一個含有輸入的差分方程。這是一個含有輸入的差分方程。n解答解答( )(1) (1)( )y na y nx n2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講15n差分方程說明差分方程說明n前向差分前向差分n后向差分后向差分n函數(shù)序號的增減稱為函數(shù)序號的增減稱為移序移序。n差分方程中差分方程中稱為方程的稱為方程的階數(shù)階數(shù)。y (k+1) + ay (k) = be (k)y (k) + ay (k-1) = be (k)2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講16n差分方程與微分方程差分方程與微分方程n比較可

12、見，若比較可見，若 y(k) 與與 y(t) 相當，則相當，則 y(k+1) 與與 y(t) 相當。對于相當。對于 y(t), 在在t = nT 各點取樣有各點取樣有 y(kT)；n設設 T 足夠小，則足夠小，則 y(t) 微分式可近似表示為微分式可近似表示為n整理后整理后n微分方程近似為差分方程的條件：微分方程近似為差分方程的條件：)()()(tBetAydttdy)()() 1(kbekayky與與TkTyTkydttdy)(1)()()()() 1(kBekAyTkyky)()()1( ),()()1()1(kbekaykykBTekyATky形式同2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18

13、講17n運算單元運算單元n加法器、標量乘法器與連續(xù)時間相同的模擬一樣加法器、標量乘法器與連續(xù)時間相同的模擬一樣n延時器延時器D（類比連續(xù)的積分情況）（類比連續(xù)的積分情況）初始條件為零初始條件為零 初始條件不為零初始條件不為零n移序算子移序算子 S，（類比連續(xù)的微分情況），（類比連續(xù)的微分情況）nSf(k)=f(k+1)Dx (k)y (k)y (k) = x (k-1)Dx (k)y (k)y (k) = x (k-1) + y(0)y (0)2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講18n模擬作圖模擬作圖n一階差分方程一階差分方程n前向前向ny (k+1) + ay (k) = e (k) n

14、或 y (k+1) = - ay (k) + e (k)n后向后向ny (k) + ay (k-1) = e (k) n 或 y (k) = - ay (k-1) + e (k)n高階差分方程高階差分方程n分析作圖方法與連續(xù)時間系統(tǒng)一致分析作圖方法與連續(xù)時間系統(tǒng)一致n特別提示：對于系統(tǒng)方程中激勵也包含移序處理的情況，需特別提示：對于系統(tǒng)方程中激勵也包含移序處理的情況，需要借助輔助函數(shù)來分析，類比連續(xù)時間系統(tǒng)的分析。要借助輔助函數(shù)來分析，類比連續(xù)時間系統(tǒng)的分析。De (k)y (k)y(k+1)-aaSSH1)(De (k)y (k-1)y(k)-aaSSSaSH11)(2022-3-20信號與

15、線性系統(tǒng)第18講19n因果系統(tǒng)問題因果系統(tǒng)問題n連續(xù)時間系統(tǒng)中激勵函數(shù)的導數(shù)階數(shù)連續(xù)時間系統(tǒng)中激勵函數(shù)的導數(shù)階數(shù)m一般低于響應一般低于響應函數(shù)的導數(shù)階數(shù)函數(shù)的導數(shù)階數(shù)n。但是。但是 mn還是可以的，例如：還是可以的，例如：n在激勵電壓作用于無耗電容器，響應電流為在激勵電壓作用于無耗電容器，響應電流為n對于離散時間系統(tǒng)，則不能允許激勵函數(shù)的最高序號對于離散時間系統(tǒng)，則不能允許激勵函數(shù)的最高序號大于響應函數(shù)的最高序號。否則違背因果系統(tǒng)的原則。大于響應函數(shù)的最高序號。否則違背因果系統(tǒng)的原則。ni(k)=e(k+1)+e(k) n=0,m=1n此差分方程表示此差分方程表示 某時刻電流某時刻電流i(k)

16、不僅與該時刻激勵不僅與該時刻激勵e(k)有有關，還與未來的激勵關，還與未來的激勵e(k+1)有關有關,違反因果相同的原則違反因果相同的原則( )( )de ti tCdt2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講20n解：設中間變量解：設中間變量g(k)如圖，得到兩個差分方程如圖，得到兩個差分方程ng(k) = f(k)+2g(k-1) 即即 (1-2D)g(k) = f(k) 或或n和和y(k) = 3g(k)+4g(k-1)即即y(k) = (3+4D)g(k)n前式代入后式得到前式代入后式得到n有有 (1-2D)y(k) = (3+4D)f(k)n整理得到差分方程整理得到差分方程 y(k)

17、 2y(k-1) = 3f(k) + 4f(k-1) 234DDf(k)y(k)g(k)(211)(kfDkg)(211)43()(kfDDky2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講21n設設 y (k+1)+a 0y (k) = b0e (k)n其響應的一次齊次差分方程其響應的一次齊次差分方程 y (k+1)= -a 0y (k)n假設假設y(0)已知，于是已知，于是ny (1)= -a 0y (0)ny (2)= -a 0y (1)（ -a 0）2y (0)ny (3)= -a 0y (2)（ -a 0）3y (0)n.n歸納后得到：歸納后得到： 當當k0nyzi(k) = y (0)

18、(-a 0) k2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講22n移序算子采用移序算子采用 S表示表示nSf(k)=f(k+1)nS2f(k)=f(k+2)nnSnf(k)=f(k+n)n差分方程的移序算子表示差分方程的移序算子表示n有差分方程有差分方程 ：y(k+1)+a0y(k)=b0e(k)n采用移序算子表示：采用移序算子表示：Sy(k)+ a0y(k)=b0e(k) (S+a0)y(k)= b0e(k)2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講23n齊次差分方程的表達式齊次差分方程的表達式ny(k+n)+an-1y(k+n-1)+a0y(k)=0n算子形式算子形式nSny(k)+an-1Sn

19、-1y(k)+a0y(k)=0 (Sn+an-1Sn-1+a0)y(k)=0n(Sn+an-1Sn-1+a0)=0稱為特征方程稱為特征方程n因式分解得到：因式分解得到： (S- 1)(S- 2) (S- n)=0n 1、 2、 、 n稱為特征根稱為特征根2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講24n方程求解方程求解n考慮一階方程考慮一階方程 y(k+1)-vy(k)=0n則則 Sy(k)-vy(k)=0 或或 (S-v)y(k)=0n特征方程特征方程 S-v=0 特征根特征根 Svn求此一階齊次差分方程解，可整理成求此一階齊次差分方程解，可整理成n可見，可見，y(k) 是以是以 為公比的等比序

20、列為公比的等比序列n其通式為其通式為 y(k) = c ( ) k n也就是零輸入響應的解也就是零輸入響應的解 yzi(k) = c ( ) k n結(jié)論：結(jié)論：n一階齊次差分方程算符表示式可整理成一階齊次差分方程算符表示式可整理成 (S- )y(k) = 0 形式形式n此方程描述的系統(tǒng)的零輸入響應必具有此方程描述的系統(tǒng)的零輸入響應必具有 yzi(k)=c( )k 形式形式n其中常數(shù)其中常數(shù) c 由初始條件確定。由初始條件確定。)() 1(kyky2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講25n推廣到推廣到n階，因式分解的特征方程為階，因式分解的特征方程為n(S- 1) (S- 2)(S- n)=

21、0n(S- 1) (S- 2)(S- n) y(k)= 0n當當(S- r)y(k)=0, r=1、2、n并且并且vr l (無重根無重根)成立成立n有有 yzi(k) = c1 1k+ c2 2k+ cn nkn常數(shù)常數(shù) c1、c2、 cn 由初始條件由初始條件y(0)、y(1)、 y(n-1) 確定。把初始值代入上式，則有確定。把初始值代入上式，則有 y(0) = c1 + c2 + cn y(1) = c1v1+ c2v2 + cnvn y(2) = c1v12+ c2v22 + cnvn2 y(n-1) = c1v1n-1+ c2v2n-1 + cnvnn-1n寫成矩陣形式寫成矩陣形式2022-3-20信號與線性系統(tǒng)第18講26n解方程求得全部系數(shù)解方程求得全部系數(shù)n如果特征方程有一如果特征方程有一m階重根，因式分解的差分方程為階重根，因式分解的差分方程為n(S- 1)m (S- m+1) (S- n)y(k) = 0n零輸入響應的形式為零輸入