《絕對值的三角不等式》課件（新人教選修）

1、書 山 有 路 勤 為 徑，學 海 無 崖 苦 作 舟少 小 不 學 習，老 來 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！2022-3-20（一）絕對值的定義：絕對值的定義： 對任意實數(shù)對任意實數(shù)a， 時）（當時）（當時當000)0(aaaaaa復習問題問題我們已學過積商絕對值的性質(zhì)，我們已學過積商絕對值的性質(zhì)，哪位同學能回答哪位同學能回答？.0bbababaab，或.當時，有：當時，有：0aaxaxax22ax （二）絕對值的幾何意義：絕對值的幾何意義： 實數(shù)實數(shù)a的絕對值的絕對值 |a|，

2、表示數(shù)軸上坐標為，表示數(shù)軸上坐標為a的點的點A到原點的距離（圖到原點的距離（圖1）。）。 如：如：|-3|或或|3|在數(shù)軸上分別等于點在數(shù)軸上分別等于點A或點或點B到坐標原點的距離。到坐標原點的距離。|a|OAx 由絕對值的幾何意義可知，由絕對值的幾何意義可知，A、B之間的點之間的點與坐標原點的距離小于與坐標原點的距離小于3，可表示為：，可表示為： 3x即實數(shù)即實數(shù)x對應的點到坐標原點的距離小于對應的點到坐標原點的距離小于3 同理，與原點距離大于同理，與原點距離大于3的點對應的實數(shù)的點對應的實數(shù)可表示為：可表示為： 如圖如圖3x 設設a,b是任意兩個實數(shù)，那么是任意兩個實數(shù)，那么|a-b| 的

3、幾的幾何意義是什么？何意義是什么？x|a-b|abAB探究探究 用恰當?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把用恰當?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出來，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有何關系？表示出來，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有何關系？ 定理定理1 如果如果a,b是實數(shù)，則是實數(shù)，則 |a+b| |a| +|b| ，當且僅當當且僅當ab0時，等號成立。時，等號成立。絕對值三角絕對值三角不等式不等式 如果把定理如果把定理1中的實數(shù)中的實數(shù)a,b分別換為向量分別換為向量 ，能得出什么結論？你能解釋其幾何意，能得出什么結論？你能解釋其幾何意義嗎？義嗎？,a b 探究？探究？abab(1) 當當 不共線時有不共線時有,a b

4、 (2) 當當 共線且同向時有共線且同向時有abab,a b 絕對值三角絕對值三角不等式不等式如何證明定理如何證明定理1?探究探究 你能根據(jù)定理你能根據(jù)定理1的研究思路的研究思路,探究一下探究一下|a| ， |b| ，|a+b|, |a-b|之間的其它關系嗎之間的其它關系嗎?|a|-|b| |a|a|-|b| |ab|a|+|b|b|a|+|b|結論結論:注意：注意：1 左邊可以左邊可以“加強加強”同樣成立，即同樣成立，即 |bababa 2 這個不等式俗稱這個不等式俗稱“三角不等式三角不等式”三角形中三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊 3 同

5、號時右邊取同號時右邊取“=”， 異號時左邊取異號時左邊取“=”, a b, a b推論推論1： 123123| |aaaaaa推論推論2：|bababa 證明：在定理中以 ,bb 代得：| |() | |ababab 即： |bababannaaaaaa2121 Nnn定理探索定理探索當時，顯然成立，0 ba當時，要證0 ba.baba只要證，222222bababbaa.abab 即證而顯然成立 abab 從而證得. bababa定理探索定理探索還有別的證法嗎？還有別的證法嗎？ 由與，aaabbb得.bababa.baba用可得什么結論？當我們把看作一個整體時，當我們把看作一個整體時，ba

6、axaax上式逆上式逆定理探索定理探索證明嗎？babababa能用已學過得的可以表示為 a. bbaa.bbabbaa.baba即即 .就是含有絕對值不等式的重要定理， bababa例題例題求證.例2 已知，MyabyMax, 0,20 ,2abxy證明：byaaxyabyayaxyabxy.22aaMMbyaaxy,5yb例1 已知0,x-a求 2x+3y-2a-3b例題例題例3 求證. bbaababa111證明：在時，顯然成立.0ba當時，左邊 0ba111bababbababa11111.11bbaa練習練習已知求證. 1已知，求證. 0, 0arxraax11, 1lan1 lan.

7、；2已知 ，求證：2,2bBaA baBA baBA.|,|,|369例2已知 xyz|23 |xyz求證：|23 | | 2| 3 |xyzxyz 證明：| 2| 3|xyz | 2| 3|xyz|,|,|369xyz23| 2 | 3|369xyz|23 |xyz.3.| 1,| 1,11ababab例 已知求證22()111(1)abababab證明：2222212aabbaba b 222210aba b 22(1)(1)0ab| 1,|1,ab由可知22(1)(1)0ab成立，11abab所以., ,04a b c dabcdbcda例 4 設都 是 不 等 于的 實 數(shù) ， 求 證0,0,0,0abcdbcda證 明 ：22abababbcbcbc2ac2cdcddada22cdcdaa由，得，22abcdacbcdaca2acca42acaccaca又422acca課堂練習：1.(1),|(0),|khk 已知|h|求證(2)|,|(0,0),hhcxc cx已知求證0 |,0 |,hk解：0| |hk|hk即110|0|cxxc解