32簡單的三角恒等變換（二）

1、3.2 簡單的三角恒等變換（二）結(jié)合右圖體會公式的推導(dǎo)過程結(jié)合右圖體會公式的推導(dǎo)過程22tantan2 =1tan你能把下列各式化為一個角的三角函數(shù)形式嗎你能把下列各式化為一個角的三角函數(shù)形式嗎? ?31sincos ;22(1)sincos ;(2)cossinsincossin().666 222(sincos )2(cossinsincos )22442sin().4 sincos =axbx那么 ？1.1.通過三角恒等變換，把形如通過三角恒等變換，把形如 的的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如 的函數(shù)的函數(shù). .( (重點）重點）y= sincosaxbxsin()yAx2.2.靈活利用公式

2、，通過三角恒等變換，解決函數(shù)靈活利用公式，通過三角恒等變換，解決函數(shù)的最值、周期、單調(diào)性等問題的最值、周期、單調(diào)性等問題. .( (重點、難點重點、難點) )3.3.靈活運用三角公式解決一些實際問題靈活運用三角公式解決一些實際問題 2222222222222222cos,sinsincos(sincos )cossinsincossincoscos sinsin.令abababaxbxababxxabababxxabxxabx1. sincosaxbx的變形及應(yīng)用sincosaxbx能化成一個角的三角函數(shù)值嗎？例例1 1 求函數(shù)求函數(shù) 的周期，最大值和最的周期，最大值和最小值小值. .sin3

3、cos yxx分析：分析：利用三角恒等變換，先把函數(shù)式利用三角恒等變換，先把函數(shù)式化簡，再求相應(yīng)的值化簡，再求相應(yīng)的值. .sin3cos132( sincos )22解解：yxxxx2(sinxcoscosxsin)332sin(x).3所所以以周周期期T = 2T = 2，最最大大值值為為2 2，最最小小值值為為-2.-2. 通過三角恒等變換，我們把形如通過三角恒等變換，我們把形如 的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如 的函數(shù)，從而的函數(shù)，從而使問題得到簡化使問題得到簡化. .sincosyaxbxyAsin( x) 22( )cos2sin,( ).例例 已已知知函函數(shù)數(shù)求求的的單單調(diào)調(diào) 增

4、增區(qū)區(qū)間間f xxxf x1 cos211( )cos2cos2.222解解：xf xxx+2k2x2k ,kZf(x)kxk ,kZ.2 當(dāng)時，為增函數(shù)，即f(x)k,k(kZ).2所所以以函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)增增區(qū)區(qū)間間為為2.2.三角變換在化簡，證明中的應(yīng)用三角變換在化簡，證明中的應(yīng)用. .cos10tan103.sin50例例3 3 化化簡簡sin10cos103cos10sin50sin103cos10cos10cos10sin50解解：原原式式 （）（）ooooo ooooooooooo1313sin10 -cos10sin10 -cos102222= 2= 2sin50sin50

5、sin(10 -60 )sin(-50 )sin(10 -60 )sin(-50 )= 2= 2= -2.= 2= 2= -2.sin50sin50sin50sin50【提升總結(jié)提升總結(jié)】常見的三角變形技巧有常見的三角變形技巧有 切割化弦；切割化弦； “ “1”1”的變用；的變用； 統(tǒng)一角度，統(tǒng)一函數(shù)，統(tǒng)一角度，統(tǒng)一函數(shù)， 統(tǒng)一形式等等統(tǒng)一形式等等3.3.三角變換在實際問題中的應(yīng)用三角變換在實際問題中的應(yīng)用例例4 4 如圖，已知如圖，已知OPQOPQ是半徑為是半徑為1 1，圓心角為，圓心角為 的扇形，的扇形，C C是扇形弧上的動點，是扇形弧上的動點，ABCDABCD是扇形的內(nèi)接矩形，是扇形的內(nèi)

6、接矩形，記記 ，問當(dāng)角，問當(dāng)角 取何值時，矩形取何值時，矩形ABCDABCD的面積的面積最大？并求出這個最大面積最大？并求出這個最大面積. .3COP 分析：分析：（1 1）找出）找出 與與 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系. .S（2 2）由得出的函數(shù)關(guān)系，求）由得出的函數(shù)關(guān)系，求S S的最大值的最大值. .OABPCDQRt OBCOBcos ,BCsin .DARt OADtan603.OA在在中中，解解：在在中中o333OADABCsin ,3333ABOBOAcossin .3所所以以所所以以2ABCDS,3SAB BC(cossin)sin33sincossin3設(shè)設(shè)矩矩形形的的面面積

7、積為為則則13sin2(1 cos2 )26131313(sin2cos2 )sin(2).226663350236662626133S6633ABCD66 最最大大由由得得所所以以當(dāng)當(dāng)，即即時時，因因此此,當(dāng),當(dāng)時時，矩矩形形的的面面積積最最大大，最最大大面面積積為為+=+= =.=.,.221.f(x)cos x2 3sinxcosxsin x 2函數(shù)的最小正周期是（ ）. A. B.C.2 D.4f(x)3sin2xcos2x2sin(2x).62T.2 所所以以解解：B B22ysin x2 3sinxcosx3cos x2(,).6 32.2.求求函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的值值域域

8、 1 cos2x1 cos2xy3sin2x32223sin2xcos2x42sin(2x)4.6 =解解：5x,2x.636661sin(2x)1.3y6263 6因因為為所所以以所所以以所所以以所所以以值值域域為為 ，. . .2cos10sin20.sin703.3.求求值值：2cos(3020 )sin20cos202(cos30 cos20sin30 sin20 )sin20cos203cos203 .cos20 解解 原原式式 = =：4.4.已知半徑為已知半徑為1 1的半圓，的半圓，PQRMPQRM是半圓的內(nèi)接矩形，是半圓的內(nèi)接矩形，如圖，如圖，P P點在什么位置時，矩形的面積最大，并求點在什么位置時，矩形的面積最大，并求最大面積的值最大面積的值PQRMO分析：分析：連接連接OP,OP,設(shè)設(shè) 用角用角 表示面積表示面積. .POM, PQRMOPOM,OMOPcoscos ,PMO sinsin ,接接O OP P, ,設(shè)設(shè)則則P P連連 解解 : :PQRM2OM PM2cos sinsin2 .14所所以以矩矩形形的的面面積積S S當(dāng)當(dāng) = =時時，S S最最大大，最最大大值值為為 . . 1yasinxbcosxyAsin( x). . . 形形如如的的函函數(shù)數(shù)化化成成形形如如 的的函函數(shù)數(shù)求求解解, ,體體現(xiàn)現(xiàn)化化歸歸思思想想2. . 用用函函數(shù)數(shù)法法求求