有限單元法課件第一章 緒論

1、機械工程有限元法基礎(chǔ)機械工程有限元法基礎(chǔ)周培周培機電工程系機電工程系有限元法現(xiàn)已成為計算機有限元法現(xiàn)已成為計算機數(shù)值模擬數(shù)值模擬中的一種主要手段中的一種主要手段. .現(xiàn)廣泛應(yīng)用于機械、電子、航空航天、汽車、船舶、現(xiàn)廣泛應(yīng)用于機械、電子、航空航天、汽車、船舶、建筑以及石油化工等領(lǐng)域建筑以及石油化工等領(lǐng)域. .拓展到了拓展到了電磁學電磁學,流體力學流體力學,傳熱學傳熱學,聲學等領(lǐng)域聲學等領(lǐng)域從簡單的靜力分析從簡單的靜力分析發(fā)展到了發(fā)展到了動態(tài)分析動態(tài)分析,非線性分析非線性分析,多物理場耦合分析等復多物理場耦合分析等復雜問題的計算雜問題的計算它從最初的固體力學領(lǐng)域它從最初的固體力學領(lǐng)域有限元法是根據(jù)

2、有限元法是根據(jù)變分原理變分原理求解數(shù)學物理問題的一求解數(shù)學物理問題的一種種數(shù)值方法數(shù)值方法.第二章第二章 有限元法的基本原理有限元法的基本原理21第一章第一章 緒論緒論 第三章第三章 軸對稱問題的有限元解法軸對稱問題的有限元解法第四章第四章 桿件系統(tǒng)的有限元法桿件系統(tǒng)的有限元法345第五章第五章 空間問題的有限元法空間問題的有限元法第六章第六章 動態(tài)分析有限元法動態(tài)分析有限元法6第七章第七章 熱分析有限元法熱分析有限元法第八章第八章 有限元建模方法有限元建模方法789第九章第九章 ANSYSANSYS分析實例分析實例船體在彎扭聯(lián)合作用下的結(jié)構(gòu)船體在彎扭聯(lián)合作用下的結(jié)構(gòu)“應(yīng)力應(yīng)力-變形變形”有限

3、元分析有限元分析風洞風洞 強度與振動強度與振動增壓風洞的第一階模態(tài)增壓風洞的第一階模態(tài) f=10.36Hz電機諧響應(yīng)分析電機諧響應(yīng)分析電機諧響應(yīng)分析電機諧響應(yīng)分析第一節(jié)第一節(jié) 有限元法的產(chǎn)生與基本思想有限元法的產(chǎn)生與基本思想2200d()d0d0dxxyFlxxEIyyx邊界條件邊界條件數(shù)學問題數(shù)學問題求解求解解析法解析法數(shù)值法數(shù)值法差分法差分法變分法變分法有限元法有限元法微分方程的邊值問題微分方程的邊值問題差分法差分法基本思想基本思想:用用均勻的網(wǎng)格離散均勻的網(wǎng)格離散求解域求解域,用離散點的用離散點的差分差分代替微分代替微分,從而將連續(xù)的微分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化為從而將連續(xù)的微分方程和邊界條件

4、轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格節(jié)點處的網(wǎng)格節(jié)點處的差分方程差分方程,并用差分方程的解作為邊值并用差分方程的解作為邊值問題的問題的近似解近似解.邊值問題為邊值問題為12( )( )( )( )( )( )y xy xy xf xaxby ady bd(1-3)對每個內(nèi)節(jié)點對每個內(nèi)節(jié)點 xi ,若用差分近似若用差分近似代替微分代替微分,有有1()( )( )iiiy xy xy xh1iiiyyyh 11112112()( )( )()( )()2 ( )()2iiiiiiiiiiiy xy xy xy xhhy xhy xy xy xhyyyh同樣同樣(1 4)(1 5)11122(1,2,1)iiiiiiiyyy

5、yyyfinhh211(1)(2)(1,2,1)iiiih yhhyyfin012,nydyd將將(1-4)(1-5)代入代入(1-3),得得即即(1 6)再由再由(1-3)中的邊界條件中的邊界條件,有有(1 7)線性方程組線性方程組變分法變分法變分原理變分原理:微分方程邊值問題的解等價于相應(yīng)泛函極值微分方程邊值問題的解等價于相應(yīng)泛函極值問題的解問題的解.邊值問題的求解邊值問題的求解泛函極值的求解泛函極值的求解泛函泛函:給定滿足一定條件的函數(shù)集合給定滿足一定條件的函數(shù)集合A:y(x),和實數(shù)和實數(shù)集合集合R。設(shè)。設(shè)y(x)是是A中的函數(shù)中的函數(shù),V是是R中的變量中的變量,若若A和和V之間存在一

6、個對應(yīng)關(guān)系之間存在一個對應(yīng)關(guān)系,就是就是A中的每個函數(shù)中的每個函數(shù)y(x),R中都有唯一的中都有唯一的V值與之對應(yīng)值與之對應(yīng),則稱則稱V是函數(shù)是函數(shù)y(x)的泛函的泛函,記為記為V=V(y(x)。A稱為泛函的定義域稱為泛函的定義域,可變函數(shù)可變函數(shù)y(x)稱為自變函數(shù)稱為自變函數(shù),依賴依賴自變函數(shù)而變的量自變函數(shù)而變的量V,稱為自變函數(shù)的泛函。稱為自變函數(shù)的泛函。里茲法里茲法: :選擇一個定義于整個求解域選擇一個定義于整個求解域并滿足邊界條件的試探函數(shù)并滿足邊界條件的試探函數(shù)將試探函數(shù)代入泛函表將試探函數(shù)代入泛函表達式達式,建立線性方程建立線性方程求解方程求解方程計算系數(shù)計算系數(shù)式中，式中，

7、為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。設(shè)有邊值問題設(shè)有邊值問題22d10d(0)0, (1)0yyxyy 122011( )()d22I y xyyyx234112311( )()()()()()nnniiixxxxxxxxxxx(1-8)通過數(shù)學推導，求得其泛函為通過數(shù)學推導，求得其泛函為現(xiàn)用一試探函數(shù)近似原邊值問題的解，試探函數(shù)設(shè)為現(xiàn)用一試探函數(shù)近似原邊值問題的解，試探函數(shù)設(shè)為以下多項式形式以下多項式形式12,n (1-9)(1-10)因此有因此有( )( )y xx試探函數(shù)中所取的項數(shù)越多，逼近的精度越高。試探函數(shù)中所取的項數(shù)越多，逼近的精度越高。將試探函數(shù)代入式將試探函數(shù)代入式(1-9)，可以得到關(guān)

8、于，可以得到關(guān)于n個待定系數(shù)個待定系數(shù)的泛函表達式，簡記為的泛函表達式，簡記為123( )(,)nI y xI 根據(jù)多元函數(shù)有極值的必要條件，有根據(jù)多元函數(shù)有極值的必要條件，有12311232123(,)0(,)0(,)0nnnnIII (1-11)將求出的系數(shù)代入將求出的系數(shù)代入(1-10)，就可得到試探函數(shù)的表達，就可得到試探函數(shù)的表達式，即原邊值問題的近似解。式，即原邊值問題的近似解。有限元法有限元法有限元法是在差分法和變分法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一有限元法是在差分法和變分法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種數(shù)值方法種數(shù)值方法,它吸取了差分法對求解域進行離散處理它吸取了差分法對求解域進行離散處理的啟示的

9、啟示,又繼承了里茲法選擇試探函數(shù)的合理方法又繼承了里茲法選擇試探函數(shù)的合理方法.基本思想基本思想:離散離散,分片插值分片插值單元單元（網(wǎng)格）（網(wǎng)格）節(jié)點節(jié)點單元間的互相作用只能通單元間的互相作用只能通過節(jié)點傳遞過節(jié)點傳遞1.離散離散:2.分片插值分片插值變分法一般用于求解函數(shù)較規(guī)則和邊界條件較簡單變分法一般用于求解函數(shù)較規(guī)則和邊界條件較簡單的問題的問題.分片插值的思想分片插值的思想: 針對每一個單元選擇試探函數(shù)針對每一個單元選擇試探函數(shù)(插值函數(shù)插值函數(shù)),積分計算在單元內(nèi)完成積分計算在單元內(nèi)完成.一維函數(shù)的整體插值與分片插值一維函數(shù)的整體插值與分片插值第二節(jié)第二節(jié) 有限元法的應(yīng)用有限元法的應(yīng)用有限元法的優(yōu)越性有限元法的優(yōu)越性能夠分析形狀復雜的結(jié)構(gòu)能夠分析形狀復雜的結(jié)構(gòu)能夠處理復雜的邊界條件能夠處理復雜的邊界條件能夠保證規(guī)定的工程精度能夠保證規(guī)定的工程精度能夠處理不同類型的材