第六章參數(shù)估計(jì)(zuizhong)

1、 第一節(jié)第一節(jié) 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題 第二節(jié)第二節(jié) 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 第三節(jié)第三節(jié) 樣本容量的確定樣本容量的確定2022-3-201參參數(shù)數(shù)估估計(jì)計(jì)在在統(tǒng)統(tǒng)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)2022-3-202統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)推推總體均值、比總體均值、比率、方差等率、方差等2022-3-203參參數(shù)數(shù) 抽樣估計(jì)就是根據(jù)樣本提供的信息對(duì)抽樣估計(jì)就是根據(jù)樣本提供的信息對(duì)總體的某些特征進(jìn)行估計(jì)或推斷。用總體的某些特征進(jìn)行估計(jì)或推斷。用來(lái)估計(jì)總體特征的樣本指標(biāo)也叫估計(jì)來(lái)估計(jì)總體特征的樣本指標(biāo)也叫估計(jì)量或統(tǒng)計(jì)量，待估計(jì)的

2、總體指標(biāo)也叫量或統(tǒng)計(jì)量，待估計(jì)的總體指標(biāo)也叫總體參數(shù)，所以抽樣估計(jì)又稱參數(shù)估總體參數(shù)，所以抽樣估計(jì)又稱參數(shù)估計(jì)。計(jì)。2022-3-204 估計(jì)廢品率估計(jì)廢品率估計(jì)新生兒的體重估計(jì)新生兒的體重估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)估計(jì)湖中魚(yú)數(shù) 估計(jì)降雨量估計(jì)降雨量2022-3-205 一、估計(jì)量與估計(jì)值一、估計(jì)量與估計(jì)值 二、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)二、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì) 三、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)三、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)2022-3-206估計(jì)量與估計(jì)值估估計(jì)計(jì)量量1. 估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比率、樣本方差等如樣本均值，樣本比率、樣本方差等如樣本均值就是總體均值如樣本均值就是總

3、體均值 的一個(gè)估計(jì)的一個(gè)估計(jì)量量2. 參數(shù)用參數(shù)用 表示，估計(jì)量表示，估計(jì)量用用 表示表示3. 估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值體值如果樣本均值如果樣本均值 x =80，則，則80就是就是的估計(jì)的估計(jì)值值2022-3-208點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)參參數(shù)數(shù)估估估估 計(jì)計(jì) 方方 法法點(diǎn)點(diǎn) 估估 計(jì)計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)2022-3-2010用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值值如用樣本均值直接如用樣本均值直接作為作為總體均值的估計(jì)總體均值的估計(jì)如用兩個(gè)樣本均值之差直接如用兩個(gè)樣本均值之差直接作為作為總體均總體均值之差的估計(jì)

4、值之差的估計(jì) 沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息 點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等最大似然法、最小二乘法等2022-3-20111222nXXsPpX2022-3-2012區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)(inter在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間是由樣本計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間是由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)痈鶕?jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)

5、的接近程度給出一個(gè)概率度量一個(gè)概率度量2022-3-2013 3.3.設(shè)總體參數(shù)為設(shè)總體參數(shù)為 ， 為樣本確定的為樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于給定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于給定的 ，有，有P( )=1- ，稱（，稱（ ， ）為參數(shù)）為參數(shù) 的置信度為的置信度為 1- 的置信區(qū)間，的置信區(qū)間， 、 分分別稱為置信下限、上限，通稱置信限，別稱為置信下限、上限，通稱置信限，為顯著性水平，為顯著性水平， 1- 為置信度。為置信度。 常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應(yīng)的相應(yīng)的為為0.01，0.05，0.10LU) 10(ULLUUL2022-3-2014 注意對(duì)上式的理解：注意

6、對(duì)上式的理解： 例如抽取了例如抽取了1000個(gè)樣本，根據(jù)每一個(gè)樣本均值個(gè)樣本，根據(jù)每一個(gè)樣本均值構(gòu)造了一個(gè)置信區(qū)間，這樣，由構(gòu)造了一個(gè)置信區(qū)間，這樣，由1000個(gè)樣本構(gòu)個(gè)樣本構(gòu)造的總體參數(shù)的造的總體參數(shù)的1000個(gè)置信區(qū)間中，有個(gè)置信區(qū)間中，有95%的的區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，而區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，而5%的置信區(qū)間的置信區(qū)間則沒(méi)有包含。這里，則沒(méi)有包含。這里，95%這個(gè)值被稱為置信水這個(gè)值被稱為置信水平（或置信度）。平（或置信度）。 一般地，將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，一般地，將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占

7、的比例稱為置信水平。稱為置信水平。2022-3-2015區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)(inter比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在7585之間，之間，置信水平是置信水平是95% 2022-3-2016置置信信區(qū)區(qū)間間( (c co on nf fi id d由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們

8、無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)2022-3-2017置置信信區(qū)區(qū)間間( (c co on nf fi id d我們用我們用95%的置信水平得到某班學(xué)生考試成的置信水平得到某班學(xué)生考試成績(jī)的置信區(qū)間為績(jī)的置信區(qū)間為60-80分，如何理解？分，如何理解？錯(cuò)誤的理解：錯(cuò)誤的理解：60-80區(qū)間以區(qū)間以95%的

9、概率包含的概率包含全班同學(xué)平均成績(jī)的真值；或以全班同學(xué)平均成績(jī)的真值；或以95%的概率的概率保證全班同學(xué)平均成績(jī)的真值落在保證全班同學(xué)平均成績(jī)的真值落在60-80分分之間。之間。正確的理解：如果做了多次抽樣（如正確的理解：如果做了多次抽樣（如100次），大概有次），大概有95次找到的區(qū)間包含真值，有次找到的區(qū)間包含真值，有5次找到的區(qū)間不包括真值。次找到的區(qū)間不包括真值。2022-3-2018置置信信區(qū)區(qū)間間( (c co on nf fi id d真值只有一個(gè)，一個(gè)特定的區(qū)間真值只有一個(gè)，一個(gè)特定的區(qū)間“總是包含總是包含”或或“絕對(duì)不包含絕對(duì)不包含”該真值。但是，用概率可以該真值。但是，用概

10、率可以知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個(gè)區(qū)知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個(gè)區(qū)間包含了參數(shù)的真值。間包含了參數(shù)的真值。如果大家還是不能理解，那最好這樣回答有如果大家還是不能理解，那最好這樣回答有關(guān)區(qū)間估計(jì)的結(jié)果：關(guān)區(qū)間估計(jì)的結(jié)果：該班同學(xué)平均成績(jī)的置信區(qū)間是該班同學(xué)平均成績(jī)的置信區(qū)間是60-80分，分，置信度為置信度為95%。2022-3-2019置置信信區(qū)區(qū)間間xxx2022-3-2020 xxzx22022-3-2021評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無(wú)無(wú)偏偏性性(unbi 無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)被估計(jì)的總體參數(shù)2022-3-202

11、3無(wú)無(wú)偏偏性性(unbis 設(shè)為總體未知參數(shù)的估計(jì)量設(shè)為總體未知參數(shù)的估計(jì)量 若若 則稱是的無(wú)偏估計(jì)量，稱具有無(wú)則稱是的無(wú)偏估計(jì)量，稱具有無(wú)偏性。如果偏性。如果 是有偏估計(jì)量，則它的是有偏估計(jì)量，則它的偏差量為偏差量為)(E偏差偏差= = ）（E2022-3-2024u注注:)(xEx具有無(wú)偏性。具有無(wú)偏性。 ，對(duì)于對(duì)于 22)(11xxnsi22)(sE，2s具有無(wú)偏性具有無(wú)偏性無(wú)無(wú)偏偏性性(unbi2022-3-2025一一致致性性(con 一致性：隨著樣本容量一致性：隨著樣本容量n的增大，估計(jì)量的的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)2022-3-202

12、6一一致致性性(conu如果對(duì)任意小的正數(shù)，有如果對(duì)任意小的正數(shù)，有u則稱，則稱， 是是 的一致估計(jì)量，稱的一致估計(jì)量，稱 具有具有一致性，可證明一致性，可證明 均具有一致性均具有一致性1limPn2Sx與2022-3-2027有有效效性性(eff點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)量，量，有有更更小小標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差的的估估計(jì)計(jì)量量更更有有效效122022-3-2028有有效效性性(eff 如果如果 和和 都是總體參數(shù)都是總體參數(shù) 的無(wú)偏估的無(wú)偏估計(jì)量，計(jì)量， 如果如果 ，則說(shuō)明估計(jì)量，則說(shuō)明估計(jì)量 比比 更有效的估計(jì)量。更有效的估計(jì)量。122212122022-3-2029 一一、總體均值的區(qū)間估計(jì)、總體均值的區(qū)間估

13、計(jì) 二、總體比率的區(qū)間估計(jì)二、總體比率的區(qū)間估計(jì) 三、總體方差的區(qū)間估計(jì)三、總體方差的區(qū)間估計(jì)2022-3-2030一一個(gè)個(gè)總總體體參參2xp2s2022-3-2031總體均值的區(qū)間估計(jì)(大樣本)總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布,2 2已知時(shí)，或總體不是正態(tài)分已知時(shí)，或總體不是正態(tài)分布但為大樣本時(shí)，樣本均值的抽樣分布均為正態(tài)分布但為大樣本時(shí)，樣本均值的抽樣分布均為正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為，方差為2 2 /n /n。而。而樣本經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化以后的隨機(jī)變量則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分樣本經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化以后的隨機(jī)變量則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：布，即：根據(jù)區(qū)間估計(jì)的定義，在根據(jù)區(qū)間估計(jì)

14、的定義，在1置信度下，總置信度下，總體均值體均值的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：122zzzP)1 ,0( Nnxz總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)2022-3-2033 即：即： 從而有從而有 即在即在1置信度下，置信度下， 的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：),(22nzXnzX總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)122znXzP122nzXnzXP2022-3-20342022-3-20352022-3-2036=1028.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x2022-3-2037總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)總體服從正態(tài)分布但總體服從正態(tài)分布但2 2未知，或總體不未知

15、，或總體不服從正態(tài)分布，只要是在大樣本條件下，服從正態(tài)分布，只要是在大樣本條件下，只需用樣本方差只需用樣本方差s s2 2代替總體方差代替總體方差2 2 ，這時(shí)總體均值這時(shí)總體均值 在在1-a1-a置信水平下的置信置信水平下的置信區(qū)間可以寫(xiě)為：區(qū)間可以寫(xiě)為：),(22nszXnszX2022-3-20382022-3-203963.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx5 .39x77. 7s例例題題2022-3-2040某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工人有某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工人有1000人，某日采用不人，某日采用不重復(fù)抽樣從中隨機(jī)抽取重復(fù)抽樣從中隨機(jī)抽取100人調(diào)查

16、他們的當(dāng)日產(chǎn)人調(diào)查他們的當(dāng)日產(chǎn)量，樣本人均產(chǎn)量為量，樣本人均產(chǎn)量為35件，產(chǎn)量的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為件，產(chǎn)量的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4.5件，試以件，試以95.45%的置信度估計(jì)平均產(chǎn)量的抽的置信度估計(jì)平均產(chǎn)量的抽樣極限誤差和樣極限誤差和置信區(qū)間。置信區(qū)間。解：解：x=35，S=4.5，n=100，屬于大樣本，所以，屬于大樣本，所以已知已知1- =0.9545,查查Z 1-/2=Z0.97725=2,則則件）(43.0)10001001(1005.4)1()(22_NnnSx件）(86. 043. 02)(_2_xZx2022-3-2041置信區(qū)間為置信區(qū)間為 ，即在，即在34.14至至35.86件之間件之間.

17、86. 03586. 035 即（即（34.14，35.86）2022-3-2042總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)u總體服從正態(tài)分布，若總體服從正態(tài)分布，若2未知，且未知，且n30時(shí)時(shí) ,則需要用樣本方差則需要用樣本方差s2代替總體方差代替總體方差2 ，這時(shí)，這時(shí)樣本均值經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量服從自由度樣本均值經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量服從自由度為（為（n-1）的）的t分布，即分布，即u所以所以u(píng)即即12/ttP12/2/tnSXtP)1(ntnsxt2022-3-2043總總體體均均值值的的區(qū)區(qū) 即在即在1置信度下，置信度下，的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為nstx212/2/nStXnStXP2022-3-20

18、442022-3-20452022-3-20462 .1503, 8 .14762 .1314901677.24131.214902nstx2022-3-2047總體比率的區(qū)間估計(jì)假定條件假定條件總體服從二項(xiàng)分布總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似可以由正態(tài)分布來(lái)近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z) 1 , 0()1 (Nnpz)()-1 ()1 (22未知時(shí)或nppzpnzp2022-3-2049%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp2022-3-2050總體方差的區(qū)間估計(jì)1.估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布假設(shè)總體服從正態(tài)分布3.總體方差總體方差 2 的點(diǎn)估計(jì)量為的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且且11222nsn111122122222nsnnsn2