現(xiàn)代控制理論-第三章 傳遞矩陣的實現(xiàn)問題

1、1首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-203.8 傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)問題一、實現(xiàn)問題的 基本概念給定傳遞函數(shù)陣給定傳遞函數(shù)陣W（s），若有狀態(tài)空間表達式），若有狀態(tài)空間表達式使之成立使之成立則稱該狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)陣則稱該狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)陣W（s）的一個實現(xiàn)。）的一個實現(xiàn)?？蓪崿F(xiàn)條件可實現(xiàn)條件： （1） 中每個元中每個元 的分子分母多項式系數(shù)均為實常數(shù)。的分子分母多項式系數(shù)均為實常數(shù)。（2） 的元的元 是真有理分式。是真有理分式。說明說明：真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于或等于分母的階數(shù)。真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于或等于分母的階數(shù)。嚴格真有理分式：分子多項式的階數(shù)

2、低于分母的階數(shù)。嚴格真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于分母的階數(shù)。( )W s1( )()W sC sIABD: XAXBUYCXDU( )W s( )ijw s( )ijw s2首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20q 當傳遞函數(shù)陣當傳遞函數(shù)陣 中所有元的分子多項式階數(shù)低于分母多項式的階中所有元的分子多項式階數(shù)低于分母多項式的階數(shù)時，則必有數(shù)時，則必有q 當傳遞函數(shù)陣當傳遞函數(shù)陣 中哪怕只有一個元的分子多項式階數(shù)等于分母多中哪怕只有一個元的分子多項式階數(shù)等于分母多項式的階數(shù)時，則項式的階數(shù)時，則 ，且，且q 此時，應先由此時，應先由 得到得到 再實現(xiàn)再實現(xiàn)【例例3-83-8】( )

3、W s0D 0D lim( )sDW s1()( )C sIABW sD1()C sIAB:( , ,)A B C1111( )11211sssW ssss 01lim( )102sDW s11112011111()( )1111 2102211211sssssC sIABW sDsssss( )W s3首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20二、能控標準型實現(xiàn)和能觀標準型實現(xiàn)先把嚴格真有理分式的傳遞函數(shù)寫成如下形式：先把嚴格真有理分式的傳遞函數(shù)寫成如下形式：這里，這里，則其能控標準型實現(xiàn)為：則其能控標準型實現(xiàn)為：11101110( )nnnnnssW ssss(0,1,1)iin該

4、傳遞函數(shù)陣的特征多項式系數(shù)(0,1,1)iinmr維常數(shù)陣4首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-2001120000000000rrrrrrrrcrrrrrrnrrrnr nrIIAIIIII000rrcrrnr rBI011cnn mrCrIrr維單位陣0rrr維零陣5首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20其能觀標準型實現(xiàn)為：其能觀標準型實現(xiàn)為：01210000000000mmmmmmmmommmmmmmmnmmn mnIIIAIIII0121onnmn rB00ommmm mrCImImm維單位陣0mmm維零陣6首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20【例例

5、3-93-9】求求 的能控標準型實現(xiàn)和能觀標準型實現(xiàn)。的能控標準型實現(xiàn)和能觀標準型實現(xiàn)。解解：( )W s2113( )112sssW sssss 10lim( )11sDW s12232222322111101313()( )11111121256321611656431153621154636116sssssC sIABW sDssssssssssssssssssssss7首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20所以：所以：直接寫出其能控標準型如下：直接寫出其能控標準型如下：012012625311,6354116,11,6,012000001000001000000010000

6、000160060110600611rrrcrrrrrrIAIIII00000000000101rcrrBI012653211635411cC 8首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20能觀標準型如下：能觀標準型如下：012000060000006000000111000001110000601000061mmmommmmmmIAIIII012626353541111oB 00000001000001ommmCI9首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20三、最小實現(xiàn)1、最小實現(xiàn)的定義、最小實現(xiàn)的定義傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)W（s）的一個實現(xiàn)：）的一個實現(xiàn)：如果不存在其它實現(xiàn)如果不存

7、在其它實現(xiàn)使得使得 的維數(shù)小于的維數(shù)小于X的維數(shù)，則稱的維數(shù)，則稱X實現(xiàn)為最小實現(xiàn)。實現(xiàn)為最小實現(xiàn)。即無窮多個實現(xiàn)中維數(shù)最小的那個實現(xiàn)。即無窮多個實現(xiàn)中維數(shù)最小的那個實現(xiàn)。2、尋求最小實現(xiàn)的步驟、尋求最小實現(xiàn)的步驟傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)W（s）的一個實現(xiàn)）的一個實現(xiàn)為最小實現(xiàn)的充要條件是：為最小實現(xiàn)的充要條件是： 既是能控的又是能觀既是能控的又是能觀的。的。（1）對于給定的）對于給定的W（s），初選一種實現(xiàn)），初選一種實現(xiàn) ，一般選取能控標準型或能觀標準型。一般選取能控標準型或能觀標準型。（2）對）對 ，找出其能控且能觀的部分，找出其能控且能觀的部分: XAXBUYCX: XAXBUYCXX: XA

8、XBUYCX:( , ,)A B C:( , ,)A B C:( , ,)A B C:( , ,)A B C10首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20那么此實現(xiàn)就是最小實現(xiàn)。那么此實現(xiàn)就是最小實現(xiàn)?！纠?-103-10】試求傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)。試求傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)。解：將解：將W W（s s）寫成標準形式：）寫成標準形式：由于由于m m1 1，r r2 2，n n3 3（為傳遞函數(shù)陣特征多項式的階數(shù)）（為傳遞函數(shù)陣特征多項式的階數(shù)）能控型實現(xiàn)為能控型實現(xiàn)為nrnr6 6維，能觀型實現(xiàn)維維，能觀型實現(xiàn)維mnmn3 3維，故宜采維，故宜采用能觀標準型實現(xiàn)。用能觀標準型實現(xiàn)。11

9、( )(1)(2)(2)(3)m rW sssss321 13 1(3)(1)( )(1)(2)(3)(1)(2)(3)6116sssW ssssssssss0120126,11,6,3 1 ,1 1 ,0011首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20判斷判斷 的能控性（因為是能觀標準型，所以的能控性（因為是能觀標準型，所以肯定能觀，只需檢驗能控性）?？隙苡^，只需檢驗能控性）。 能控！能控！所以所以 為其最小實現(xiàn)。為其最小實現(xiàn)。01200600001110601mmmommmmmmIAIIII012311100oB00001ommmCI:(,)ooooA B C3006613111

10、11113003511rankn:(,)ooooA B C12首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-203.9 零極點對消與能控性和能觀性之間的關系q對于SISO系統(tǒng)，系統(tǒng)能控能觀的充要條件是傳遞函數(shù)的分子分母間沒有零極點對消。對MIMO系統(tǒng)，沒有零極點對消只是最小實現(xiàn)的充分條件，而非必要條件，及時出現(xiàn)零極點對消，系統(tǒng)仍然可能是能控能觀的。q證明見教材p136q如果傳遞函數(shù)中出現(xiàn)了零極點對消，系統(tǒng)肯定不是能控且能觀的，但是到底是不能控，還是不能觀，或者是既不能控也不能觀的，仍然不能確定。q比如，對于傳遞函數(shù)它可以有以下三種實現(xiàn)：（1）(2.5)( )(2.5)(1)sW sss101,1002.51XXuyX 13首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20該實現(xiàn)是能控但不能觀的。其結構圖如下圖a）：（2）該實現(xiàn)是能觀但不能控的，結構圖如b）所示。101,1 102.50XXuyX 14首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20（3）該實現(xiàn)是既不能控也不能觀的，結構圖如c）所示。101,1002.50XXuyX