2016年黑龍江省哈爾濱師大附中高考數(shù)學四模試卷理科解析版1

1、2016年黑龍江省哈爾濱師大附中高考數(shù)學四模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知全集U=R，M=x|y=ln（1x），N=x|2x（x2）1，則（UM）N=（）Ax|x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|0x12若，是第三象限的角，則=（）ABCD3復數(shù)=（）A0B2C2iD2i4已知xR，命題“若x20，則x0”的逆命題、否命題和逆否命題中，正確命題的個數(shù)是（）A0B1C2D35由直線x=0，y=0與y=cos2x（x0，）所圍成的封閉圖形的面積是（）AB1CD6某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等腰梯形，則

2、該幾何體的表面積是（）AB9+3C18D12+37設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC，若（1，2為實數(shù)），則1+2的值為（）A1B2CD8已知等比數(shù)列an中，各項都是正數(shù)，且a1，2a2成等差數(shù)列，則=（）A1+B1C3+2D329已知函數(shù)y=f（x）在R上為偶函數(shù)，當x0時，f（x）=log3（x+1），若f（t）f（2t），則實數(shù)t的取值范圍是（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）10已知雙曲線mx2ny2=1（m0，n0）的離心率為2，則橢圓mx2+ny2=1的離心率為（）ABCD11函數(shù)y=，x（，0）（0，）的圖象可能是下列圖象中的（）ABCD

3、12在平行四邊形ABCD中， =0，沿BD將四邊形折起成直二面角ABDC，且2|2+|2=4，則三棱錐ABCD的外接球的半徑為（）A1BCD二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13根據(jù)如圖所示的程序語句，若輸入的值為3，則輸出的y值為_14觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，則a11+b11=_15九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著的，書中有如下問題：“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺問積幾何？答曰：二千一百一十二尺術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十

4、二而一”就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積V=×（底面的圓周長的平方×高），則該問題中圓周率的取值為_16ABC中，點D是邊BC上的一點，B=DAC=，BD=2，AD=2，則CD的長為_三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=（nN+）（）求數(shù)列an的通項公式；（）設bn=an3an（nN+），求數(shù)列bn的前n項和Tn18調查某公司的五名推銷員，某工作年限與年推銷金額如表：推銷員ABCDE工作年限x（萬元）23578年推銷金額y（萬元）33.546.58（）畫出年推銷金額y關于工作年限x的散點圖，并

5、從散點圖中發(fā)現(xiàn)工作年限與年推銷金額之間關系的一般規(guī)律；（）利用最小二乘法求年推銷金額y關于工作年限x的回歸直線方程；（）利用（）中的回歸方程，預測工作年限是10年的推銷員的年推銷金額附： =， =19長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，BC=2，P為A1B1中點，M，N，Q分別為棱AB，AA1，CC1上的點，且AB=4MB，AA1=3AN，CC1=3CQ（）求證：PQ平面PD1N；（）求二面角PD1MN的余弦值20平面直角坐標系xOy中，橢圓C1： +y2=1（a1）的長軸長為2，拋物線C2：y2=2px（p0）的焦點F是橢圓C1的右焦點（）求橢圓C1與拋物線C2的方程；（

6、）過點F作直線l交拋物線C2于A，B兩點，射線OA，OB與橢圓C1的交點分別為C，D，若=2，求直線l的方程21已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x1）（aR）（）求f（x）的單調區(qū)間；（）若f（x）g（x）對任意的x1，+）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（）求證：ln2ln3lnn（n2，nN+）請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-1：幾何證明選講22如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，其中AB=AC，ABD=CBD，AC與BD交于點F，直線BC與AD交于點E（）證明：AC=CE；（）若DF=2，BF=4，求AD的長選修4-4

7、：坐標系與參數(shù)方程23在直角坐標系xOy中，將曲線C1：（為參數(shù)）上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線C2，將曲線C1向上平移一個單位得到曲線C3，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系（）求曲線C2的普通方程及曲線C3的極坐標方程；（）若點P是曲線C2上任意一點，點Q是曲線C3上任意一點，求|PQ|的最大值選修4-5：不等式選講24已知a，b為實數(shù)（）若a0，b0，求證：（a+b+）（a2+）9；（）若|a|1，|b|1，求證：|1ab|ab|2016年黑龍江省哈爾濱師大附中高考數(shù)學四模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出

8、的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知全集U=R，M=x|y=ln（1x），N=x|2x（x2）1，則（UM）N=（）Ax|x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|0x1【考點】指數(shù)函數(shù)單調性的應用；交、并、補集的混合運算；函數(shù)的定義域及其求法【分析】先化簡集合A、B，再求出CUM，從而可求交集【解答】解：M=x|y=ln（1x）=（，1），N=x|2x（x2）1=（0，2），全集U=R，CUM=1，+）（CUM）N=1，+）（0，2）=1，2）故選B2若，是第三象限的角，則=（）ABCD【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關系【分析】根據(jù)的所在的象限以及同角三角函數(shù)的基本關系

9、求得sin的值，進而利用兩角和與差的正弦函數(shù)求得答案【解答】解：是第三象限的角sin=，所以sin（+）=sincos+cossin=故選A3復數(shù)=（）A0B2C2iD2i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算【分析】直接通分，然后化簡為a+bi（a、bR）的形式即可【解答】解：=i+i=2i故選D4已知xR，命題“若x20，則x0”的逆命題、否命題和逆否命題中，正確命題的個數(shù)是（）A0B1C2D3【考點】四種命題間的逆否關系【分析】根據(jù)四種命題之間的關系，寫出該命題的逆命題、否命題和逆否命題并判斷真假【解答】解：命題“若x20，則x0”的逆命題是“若x0，則x20”，是真命題；否命題是“若x20，則

10、x0”，是真命題；逆否命題是“若x0，則x20”，是假命題；綜上，以上3個命題中真命題的個數(shù)是2故選：C5由直線x=0，y=0與y=cos2x（x0，）所圍成的封閉圖形的面積是（）AB1CD【考點】定積分【分析】先確定積分區(qū)間，再利用定積分表示面積，即可求出結論【解答】解：由直線x=0，y=0與y=cos2x（x0，）所圍成的封閉圖形的面積S=cos2xdx=sin2x|=，故選：D6某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等腰梯形，則該幾何體的表面積是（）AB9+3C18D12+3【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由三視圖知該幾何體是直四棱柱，由梯形、矩形的面積公式求出各個面的面積求出幾何體的表

11、面積【解答】解：根據(jù)三視圖可知幾何體是直四棱柱，其中底面是等腰梯形，上底、下底分別是1、2，高是1，則梯形的腰是=，側棱與底面垂直，側棱長是3，該幾何體的表面積S=+=12+3，故選：D7設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC，若（1，2為實數(shù)），則1+2的值為（）A1B2CD【考點】平面向量的基本定理及其意義【分析】作出圖形，根據(jù)向量的線性運算規(guī)則，得，再由分解的唯一性得出1與2的值即可【解答】解：由題意，如圖，因為AD=AB，BE=BC，又（1，2為實數(shù)），1+2=故選C8已知等比數(shù)列an中，各項都是正數(shù)，且a1，2a2成等差數(shù)列，則=（）A1+B1C3+2D32

12、【考點】等差數(shù)列的性質；等比數(shù)列的性質【分析】先根據(jù)等差中項的性質可知得2×（）=a1+2a2，進而利用通項公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案【解答】解：依題意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，各項都是正數(shù)q0，q=1+=3+2故選C9已知函數(shù)y=f（x）在R上為偶函數(shù)，當x0時，f（x）=log3（x+1），若f（t）f（2t），則實數(shù)t的取值范圍是（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）【考點】函數(shù)奇偶性的性質【分析】利用f（x）的奇偶性及在x0上的單調性，由f（x）的性質可把f（

13、t）f（2t），轉化為具體不等式，解出即可【解答】解：當x0時，f（x）=log3（x+1），函數(shù)在x0上為增函數(shù)，函數(shù)y=f（x）在R上為偶函數(shù)，f（t）f（2t），|t|2t|，t1，實數(shù)t的取值范圍是（1，+）故選：B10已知雙曲線mx2ny2=1（m0，n0）的離心率為2，則橢圓mx2+ny2=1的離心率為（）ABCD【考點】橢圓的簡單性質；雙曲線的簡單性質【分析】雙曲線、橢圓方程分別化為標準方程，利用雙曲線mx2ny2=1（m0，n0）的離心率為2，可得m=3n，從而可求橢圓mx2+ny2=1的離心率【解答】解：雙曲線mx2ny2=1化為標準方程為：雙曲線mx2ny2=1（m0，n0

14、）的離心率為2，m=3n橢圓mx2+ny2=1化為標準方程為：橢圓mx2+ny2=1的離心率的平方為=橢圓mx2+ny2=1的離心率為故選C11函數(shù)y=，x（，0）（0，）的圖象可能是下列圖象中的（）ABCD【考點】函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象及其性質，利用排除法即可【解答】解：是偶函數(shù)，排除A，當x=2時，排除C，當時，排除B、C，故選D12在平行四邊形ABCD中， =0，沿BD將四邊形折起成直二面角ABDC，且2|2+|2=4，則三棱錐ABCD的外接球的半徑為（）A1BCD【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】由已知中=0，可得ABBD，沿BD折起后，由平面ABD平面BDC，可得三棱錐

15、ABCD的外接球的直徑為AC，進而根據(jù)2|2+|2=4，求出三棱錐ABCD的外接球的半徑【解答】解：平行四邊形ABCD中，=0，ABBD，沿BD折成直二面角ABDC，平面ABD平面BDC三棱錐ABCD的外接球的直徑為AC，AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4外接球的半徑為1，故選：A二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13根據(jù)如圖所示的程序語句，若輸入的值為3，則輸出的y值為2【考點】偽代碼【分析】根據(jù)已知中的程序框圖可得：該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù)y=的函數(shù)值，由x=3，滿足條件1x4，從而計算可得y的值【解答】解：根據(jù)已知中的程序框圖可得：該程序的功

16、能是計算并輸出分段函數(shù)y=的函數(shù)值，由于：x=3，滿足條件1x4，可得：y=31=2故答案為：214觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，則a11+b11=199【考點】歸納推理【分析】觀察1，3，4，7，11，的規(guī)律，利用歸納推理即可得到第11個數(shù)的數(shù)值【解答】解：等式的右邊對應的數(shù)為1，3，4，7，11，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數(shù)列中的第11項對應的數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，第11項為199，故答案為：19915九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著的，書中有如下

17、問題：“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺問積幾何？答曰：二千一百一十二尺術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積V=×（底面的圓周長的平方×高），則該問題中圓周率的取值為3【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）【分析】由題意，圓柱體底面的圓周長20尺，高4尺，利用圓堡瑽（圓柱體）的體積V=×（底面的圓周長的平方×高），求出V，再建立方程組，即可求出圓周率的取值【解答】解：由題意，圓柱體底面的圓周長20尺，高4尺，圓堡瑽（圓柱體）的體積V=×（底面的圓周

18、長的平方×高），V=×=，=3，R=，故答案為：316ABC中，點D是邊BC上的一點，B=DAC=，BD=2，AD=2，則CD的長為7【考點】三角形中的幾何計算【分析】設AB=x，在ABD中由條件和余弦定理求出AB和cosBDA，由ADB+ADC=和誘導公式求出cosCDA，由平方關系求出sinADC，根據(jù)內角和定理、DAC=和兩角和的正弦公式求出sinC，在ADC中由正弦定理求出CD的長【解答】解：如圖所示：設AB=x， 在ABD中，B=，BD=2，AD=2，則由余弦定理得，AD2=AB2+BD22ABBDcosB28=，則x22x24=0，解得x=6或x=4（舍去），c

19、osBDA=ADB+ADC=，cosCDA=cosBDA=，則sinADC=，DAC=，sinC=sin（DAC+ADC）=sinDACcosADC+cosDACsinADC=在ADC中，由正弦定理得，CD=7，故答案為：7三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=（nN+）（）求數(shù)列an的通項公式；（）設bn=an3an（nN+），求數(shù)列bn的前n項和Tn【考點】數(shù)列的求和【分析】（）當n=1時，a1=S1=1，當n2時，an=SnSn1，即可得出數(shù)列an的通項公式；（）把（）中求出的數(shù)列an的通項公式代入bn=a

20、n3an，求出數(shù)列bn的通項公式，再利用錯位相減法求數(shù)列bn的前n項和Tn【解答】解：（）當n2時，Sn1=，an=SnSn1=n；當n=1時，a1=S1=1，符合上式綜上，an=n（）bn=an3a=n3n（nN+），則數(shù)列bn的前n項和Tn，Tn=13+232+333+n3n，3Tn=132+233+334+n3n+1，2Tn=3+32+33+3nn3n+1，2Tn=n3n+1，Tn=+（）3n+1，數(shù)列bn的前n項和Tn，Tn=+（）3n+118調查某公司的五名推銷員，某工作年限與年推銷金額如表：推銷員ABCDE工作年限x（萬元）23578年推銷金額y（萬元）33.546.58（）畫出年

21、推銷金額y關于工作年限x的散點圖，并從散點圖中發(fā)現(xiàn)工作年限與年推銷金額之間關系的一般規(guī)律；（）利用最小二乘法求年推銷金額y關于工作年限x的回歸直線方程；（）利用（）中的回歸方程，預測工作年限是10年的推銷員的年推銷金額附： =， =【考點】線性回歸方程【分析】（）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，畫出散點圖，利用散點圖估計月推銷金額y與工作時間x有線性相關關系；（）利用公式求出線性回歸方程即可；（）根據(jù)線性回歸方程計算x=10時y的值，即可得到預報值【解答】解：（）年推銷金額y關于工作年限x的散點圖：從散點圖可以看出，各點散布在從左下角到右上角的區(qū)域里，因此，工作年限與年推銷金額之間成正相關，即工作年限越多，年推

22、銷金額越大（）=5， =5，b=，a=5=，年推銷金額y關于工作年限x的回歸直線方程為y=x+（）當x=10時，y=×10+=，預測工作年限是10年的推銷員的年推銷金額為萬元19長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，BC=2，P為A1B1中點，M，N，Q分別為棱AB，AA1，CC1上的點，且AB=4MB，AA1=3AN，CC1=3CQ（）求證：PQ平面PD1N；（）求二面角PD1MN的余弦值【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【分析】（）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PQ平面PD1N（）求出平面P

23、D1M的法向量和平面D1MN的法向量，利用向量法能求出二面角PD1MN的余弦值【解答】證明：（）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，如圖建立空間直角坐標系，則P（2，2，3），Q（0，4，1），D1（0，0，3），M（2，3，0），N（2，0，1），=（2，2，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=0， =0，PQD1P，PQD1N，D1PD1N=D1，PQ平面PD1N解：（） =（2，3，3），=（2，2，0），=（2，0，2），設平面PD1M的法向量為=（x，y，z），則，取x=3，得平面PD1M的一個法向量為=（3，3，1），設平面D1MN的法向量為=（a，b，c），

24、則，取a=3，得=（3，1，3），cos=，由圖知二面角PD1MN的平面角為鈍角，二面角PD1MN的余弦值為20平面直角坐標系xOy中，橢圓C1： +y2=1（a1）的長軸長為2，拋物線C2：y2=2px（p0）的焦點F是橢圓C1的右焦點（）求橢圓C1與拋物線C2的方程；（）過點F作直線l交拋物線C2于A，B兩點，射線OA，OB與橢圓C1的交點分別為C，D，若=2，求直線l的方程【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質；拋物線的簡單性質【分析】（）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解出即可得出橢圓C1的方程利用=c，解得p，即可得出拋物線C2的方程（）設直線l的方程為：x=my+1，

25、A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得：y2my4=0，利用斜率計算公式可得kOA，進而定點直線OA的方程，與橢圓方程聯(lián)立可得=2，進而得到，利用向量數(shù)量積運算性質可得：，利用=2，及其根與系數(shù)的關系解出m，即可得出【解答】解：（）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解得a=，b=c=1橢圓C1的方程為： =1又F（1，0），=1，解得p=2拋物線C2的方程為y2=4x（）設直線l的方程為：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）聯(lián)立，化為：y2my4=0，y1+y2=4m，y1y2=4=16m2+160，kOA=，直線OA的方程為：x=y，得=

26、2， =，同理=，=×+y1y2=3，=x3x4+y3y4=+y3y4=y3y4，=2，y3y4=，=，m2=，m=，直線l的方程為：x=±y+121已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x1）（aR）（）求f（x）的單調區(qū)間；（）若f（x）g（x）對任意的x1，+）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（）求證：ln2ln3lnn（n2，nN+）【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用【分析】（）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（）求出h（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性確定a的具體范圍即可；（）得到

27、lnx，令x=n（n2，nN*），得lnn，x取不同的值，相乘即可【解答】解：（）f（x）的定義域為（0，+），f（x）=lnx+1，設g（x）=f（x），g（x）=，令g（x）0，得x1，g（x）0，得0x1，g（x）在（0，1）遞減，在（1，+）遞增，g（x）min=g（1）=2，f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+），無遞減區(qū)間（）設h（x）=（x1）lnxax+a，由（）知：h（x）=lnx+=1a=g（x）a，g（x）在（1，+）遞增，g（x）g（1）=2，（1）當a2時，h（x）0，h（x）在1，+）遞增，h（x）h（1）=0，滿足題意（2）當a2時，設（x

28、）=h（x），（x）=，當x1時，（x）0，（x）在1，+）遞增，（1）=2a0，（ea）=1+ea0，x0（1，ea），使（x0）=0，（x）在1，+）遞增，x（1，x0），（x）0，即h（x）0，當x（1，x0時，h（x）h（1）=0，不滿足題意綜上，a的取值范圍為（，2（）由（）知，令a=2，（x+1）lnx2（x1），x1，lnx（當且僅當x=1取“=”），令x=n（n2，nN*）得lnn，即ln2，ln3，ln4，ln（n2），ln（n1），lnn，將上述n1個式子相乘得：ln2ln3lnn=，原命題得證請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-1：幾何證明選講22如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，其中AB=AC，ABD=CBD，AC與BD交于點F，直線BC與AD交于點E（）證明：AC=CE；（）若DF=2，BF=4，求AD的長【考點】與圓有關的比例線段【分析】（）利用等腰三角形的性質，證明CAE=E，即可證明：AC=CE；（）證明ADFBDA，即可求AD的長【解答】證明：