10建模作業(yè)水塔供水

1、數(shù)學建模課程作業(yè)題-10第二章算法模型-水塔供水將水塔供水的兩個供水時段、兩個用水時段的水流量、用水量程序?qū)崿F(xiàn)，給出相關(guān)數(shù)據(jù)表。將所有程序和計算結(jié)果呈現(xiàn)在此文檔中。一、問題提出某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計其流量。但面臨的困難是，當水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約2h（小時）。水塔是一個高為12.2m,直徑為17.4m是正圓柱。按照設(shè)計，水塔水位降至約8.2m時，水泵自動啟動，水位升到約為10.8m時水泵停止工作。表1是某一天的水位測量記

2、錄（符號”表示水泵啟動），試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量及一天的總用水量。表1：水位測量記錄（時刻：h,水位：cm）時刻00.921.842.953.874.985.907.017.938.97水位968948931913898881896852839822時刻9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93水位/108210501021994965941918892時刻19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822/105910351011二、問題分析流量是單位時間

3、流出的水的體積，由于水塔是正圓柱體，橫截面積是常數(shù)，在水泵不工作的時候，流量很容易從水位對時間的變化率算出，問題是如何估計水泵供水時段的流量。水泵供水時段的流量只能依靠供水時段前后的流量擬合得到，作為用于擬合的原始數(shù)據(jù)，我們希望水泵不工作的時段流量越準越好。這些流量答題可利用表中數(shù)據(jù)擬合水位-時間函數(shù)，求導數(shù)即可得到連續(xù)時間的流量。水泵不工作時段的用水量可以由測量記錄直接得到，由表1克制從t=08.97h水位下降了968-822=146(cm),乘以水塔的截面積就是這一時段的用水量，這個數(shù)值可以用來檢查擬合的結(jié)果。三、模型假設(shè)(1)流量只取決于水位差，與水位本身無關(guān)。按照Torricelli定

4、律從小孔流出的流體的流速正比于水面高度的平方根，題目給出水塔的最低和最高水位分別是8.2m和10.8m(設(shè)出口白水位為0),因為符=1.15定1,所以可忽略水位對速度的影響。(2)水泵第一次供水時段為t=9|_11h,第二次供水時段為t=20.823h,這是根據(jù)最低和最高水位分別是8.2m和10.8m及表1的水位測量記錄做出的假設(shè)，其中前3個時刻取自實測數(shù)據(jù)(精確到0.1h),最后1個時刻來自每次供水約2h的已知條件。(3)水泵工作時單位時間的供水量大致是常數(shù)，此常數(shù)大于單位時間單位的平均流量。(4)流量是對時間的連續(xù)函數(shù)。(5)流量與水泵是否工作無關(guān)。(6)由于水塔截面積是常數(shù)，S=(17.

5、4/2)2n=237.8(m2),為簡單起見，計算中將流量定義為單位時間流出的水的高度，即水位對時間變化率的絕對值(水位是下降的)，最后給出結(jié)果時再乘以S即可，水位是時間白連續(xù)函數(shù)h=h(t)；水位對時間的變化率(流量)h'=皿；dt'任何時刻白流量：v(t)=士(t)S。四、建立模型(1)擬合水位-時間函數(shù)從表1測量記錄看，一天有兩個供水時段(以下稱第一供水時段和第二供水時段)和三個水泵不工作時段(以下稱第一用水時段t=0|_8.97h,第二用水時段t=10.9520.84h和第三用水時段t=23h以后)。對第一、第二用水時段的測量數(shù)據(jù)分別做多項式擬合，得到水位函數(shù)幾=hi(

6、t)和h2=h2(t)。為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般用3-6次.由于第三時段只有三個測量記錄，無法對這一時段的水位做出比較好的擬合，可采取外推的辦法解決。(2)確定函數(shù)-時間函數(shù)對于第一、第二用水時段，秩序?qū)⑺缓瘮?shù)h=h(t),i=1,2求導即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后(水泵不工作時段)的流量擬合得到，并且將擬合得到的額第二供水時段外推，將第三用水時段流量包含在第二供水時段內(nèi)，需要擬合四個流量函數(shù)。(3)一天總用水量總用水量等于兩個水泵不工作時段的和兩個供水時段用水量之和，他們都可以由流量對時間的積分得到。ttV=V(t)dt=-Shdtt0t0五、模型求

7、解用MATLA時算，可得結(jié)果。(1)擬合0,9內(nèi)各時刻的流量值，見表2。表2:在0,9內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)ti00.921.842.953.874.985.907.017.938.9722.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.69(2)擬合11,20.8內(nèi)各時刻的流量值，見表3。表3:在11,20.8內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)ti10.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.9319.0419.9620.84h2'33.0230.7529.0727.6026.1725.2324.5223.

8、9823.7723.8624.16(3)擬合第一供水時段9,11的流量，見表4表4:在9,11內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)ti91116.7432.91(4)擬合第二供水時段20.8,24的流量，見表5表5:在20.8,24內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)ti22.0122.9623.8824.9925.9123.9923.18921.6318.4814.62(5) 一天總用水量的估計第一、第二用水時段和第一、第二供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量，雖然各時段的流量已表示為多項式函數(shù)，積分可以解析的算出，這里仍用數(shù)值積分計算。1第一用水時段的用水量t1.t1_.3.M=M&Shd

9、t=SfMt=Sh't0't0't0其中積分值幾通過梯形公式計算，F(xiàn)F八二jh1(t)dt=Zkh；(t)dt=&£似金公+h1(tk)t°'tk''22第二用水時段的用水量t3.t3_._ta._V=YdSh,dt=Sh2dt=S力t2t2h2=h2(t)dt=£:h2(t)dt=At£“冊)十皿)t2tk,、，23第一供水時段的用水量t2t2t2,M2=VV2dS邛2dt=Sh12dt=S2ht2N屋N（tki）MM）n2二th,2（t）dt="thi2（t）dt=落t%'1k

10、J'k1kJ24第二供水和第三供水時段的用水量4_t4t4Y=tv3dtSh3dt=sth3dt=snt3t3t3ht2NtkNtk與h1）h3（tk）h3=h3（t）dt='h3（t）dt=t%t1kJtk1kJtk2通過計算，得出各個時段的用水量及一天的總用水量，見表6。表6:各時刻的用水量及一天的總用水量各時段用水量第一用水時段第二用水時段第一供水時段第二供水時段總用水量VVV2Vt14.71258.0450.4074.91946.60其中，四個時段都用三次多項式進行擬合，如果第一用水時段，第一、第二供水時段用三次多項式及第二用水時段用四次多項式擬合，得到另一組計算結(jié)果,

11、見表7。24h水流量的曲線見圖1。表7:各時刻的用水量及一天的總用水量各時段用水量第一用水時段第二用水時段第一供水時段第二供水時段總用水量VVV2V2V3Vt14.71258.0950.4074.91946.7332附錄t=00.921.842.953.874.985.907.017.938.979.9810.9210.9512.0312.95.24.9913.8814.9815.9016.8317.9319.0419.9620.8422.0122.9623.8825.91;h=9689489319138988818698528398220010821050102199496594191889

12、2.86684382200105910351018;%第一用水時刻流量c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);a1=polyder(c1);x1=-polyval(a1,t(1:10);tp1=0:0.1:9;x11=-polyval(a1,tp1);%第二用水時刻流量c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),3);a2=polyder(c2);tp2=11:0.1:20.8;x2=-polyval(a2,tp2);%擬合第一供水時段9,11流量xx1=-polyval(a1,89);xx2=-polyval(a2,1112);xx12=xx1xx2;c12

13、=polyfit(891112,xx12,3);tp12=9:0.1:11;x12=polyval(c12,tp12);%擬合第二供水時段20.8,24流量dt3=diff(t(26:28);dh3=diff(h(26:28);dht3=-dh3./dt3;t3=2020.8t(26)t(27);xx3=-polyval(a2,t3(1:2),dht3;c3=polyfit(t3,xx3,3);tp3=20.8:0.1:24;x3=polyval(c3,tp3);polyval(c3,t(24:28);%各時刻的用水量及一天的總用水量h1=0.1*trapz(x1);h2=0.1*trapz(x2);h12=0.1*trapz(x12);h3=0.1*trapz(x3);V=(h1+h2+h3+h12)*237.8*0.01;%第二用水時段用四次多項式擬合c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),4);a2=polyder(c2);tp2=11:0.1:20.8;x2=-polyval(a2,tp2);h1=0.1*trapz(x1);h2=0.1*trapz(x2);h12=0.1*trapz(x12);h3=0.1*trapz(x3);V=(h1+