電磁場與電磁波課件

1、第三章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解李婷主要內(nèi)容n靜電場分析n恒定電場分析n恒定磁場分析n惟一性定理n鏡像法3.1 靜電場分析n一個源變量n兩個場變量電場強度電通密度（或電位移矢量）ReRqE24ReRqD24ED靜電場分析的基本變量SSD d q0ll dE0E D積分形式微分形式ED本構(gòu)方程3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件1. 基本方程 的法向分量邊界條件的法向分量邊界條件 (the normal component) D 為分界面上自由電荷面密度，不包括極化電荷。為分界面上自由電荷面密度，不包括極化電荷。 s若邊界面上不存在自由電荷，則若邊界面上不存在自由電荷，則 法向連續(xù)。法向連續(xù)

2、。 DsDD1n2n 的切向分量邊界條件的切向分量邊界條件 (the tangential component) E2n1nDD在兩種媒質(zhì)分界面上，在兩種媒質(zhì)分界面上， 切向連續(xù)。切向連續(xù)。 E2t1tEE 2. 邊界條件n221n1EE22t1t 1DD3.1.2 電位函數(shù)n電位：靜電場中，單位正電荷自某點移至無限遠處電場力所作的功，稱為該點的電位。n定義式：n如果Q點是電位參考點，則Pl dEQPPl dEn電位是相對值。n通常只要全部電荷都處在有限空間區(qū)域內(nèi)，選取無限遠作為參考點，可帶來很大的方便。n點電荷在真空中產(chǎn)生的電位rrRrqRqdRl deRq144402020電位的計算也滿足

3、疊加原理niiiRq1041以無窮遠為參考點時， n個點電荷產(chǎn)生的電位：n體電荷，面電荷和線電荷分布形成的電位：llSRdlRdSRd0004141411. 電場強度與電位的關(guān)系n在球坐標系中erererrsin11Eerqerqrrr20044Erq04n電位與電場強度的關(guān)系n利用 ，已知電荷求場強。如果高斯面找不出來，或高斯面不規(guī)則，矢量積分就很困難n這時就可以用 求場強n注意：如果已知求E，則E是唯一的如果已知E求，則不是唯一的。必須通過無窮遠點的=0來確定唯一的。 ESSE d q ENoImage 無限長線電荷的電位無限長線電荷的電位 EPQP02lrEer0(lnln)2lPQPr

4、r 電位參考點不能位于無窮遠點，否則表電位參考點不能位于無窮遠點，否則表達式無意義。達式無意義。 根據(jù)表達式最簡單原則，選取根據(jù)表達式最簡單原則，選取r =1柱面柱面為電位參考面，即為電位參考面，即1Qr 得：得：0ln2lPPr 無限長線電流在空間中產(chǎn)生的電位無限長線電流在空間中產(chǎn)生的電位 2. 電位的微分方程電位的微分方程n高斯定理的微分形式n電位與電場強度的關(guān)系n真空中的泊松方程n當 時，即場中無電荷分布，則0 E E02002真空中的拉普拉斯方程 電位邊界條件電位邊界條件 (electric potential boundary condition) 在介質(zhì)邊界兩邊，電位分布同樣遵照某

5、種規(guī)律變化，這種在介質(zhì)邊界兩邊，電位分布同樣遵照某種規(guī)律變化，這種變化規(guī)律即為電位的邊界條件。變化規(guī)律即為電位的邊界條件。 tnEtEn tnEeetn ttnnEE eE e2121Snnn由21120ttEE120tt120電位邊界條件電位邊界條件 sDD1n2nsEE1n1n22n電位的邊界條件Snn112221n如果分界面上沒有自由面電荷，則01122nn21n如果第二種媒質(zhì)為導體，則Sn11常數(shù)1例n半徑為a的帶電導體球，已知球體電位為U（無窮遠處電位為0），計算球內(nèi)外空間的電位函數(shù)和電場強度。n解：球外空間的電位滿足拉普拉斯方程，邊界條件是r=a，=U；r，=0。電位及其電場均具有

6、對稱性，建立球坐標系NoImage解：導體球是等勢體。解：導體球是等勢體。ra時：時：0UE ra時：時：200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr 2raUer22222222sin1sinsin11rrrrrr)()(n例：兩塊無限大接地導體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面電荷密度為S0的均勻電荷分布。求兩導體平板之間的電位和電場。abOxy)(1x)(2x解：在兩塊無限大接地導體平板之間，除x=b處有均勻電荷分布外，其余空間無電荷分布，所以電位滿足拉普拉斯方程0d)(d212xx0

7、d)(d222xx方程的解為111)(DxCx222)(DxCx利用邊界條件0)0(01x0)(2aax)()(21bbbx02010)()(SxxxxbxSnn22112101D2211DbCDbC022 DaC0021SCC0202222222zyxabaCS001)(01DabCS002002bDS最后得111)(DxCx222)(DxCxxabaxS001)()()()(002xaabxSabaeSx00)()()(11xxExxexd)(d1)()(22xxExxexd)(d2abeSx00n例：有一厚度為d，體密度為的均勻帶電無限大平板。求空間I、II、III區(qū)域內(nèi)的電位與電場強度

8、分布。n解題步驟：建立坐標系選擇電位參考點列方程，求解根據(jù)邊界條件確定待定常數(shù)0d)(d212xx0d)(d232xx111)(DxCx333)(DxCx方程的解為0222d)(dxx022222222zyx222022)(DxCxx直角坐標系坐標原點d/2-d/2Oxy)(1x)(2x)(3xIIIIII02利用邊界條件002x002xx322dx022010 xxdx02C220211282DCddDCdd/2-d/2Oxy)(1x)(2x)(3xIIIIII212dx023020 xxdx111)(DxCx333)(DxCx222022)(DxCxx02D2012CdC332202228

9、DCdDCdd3202CCdSnn221121所以020182)(dxdx2022)(xx020382)(dxdx電場強度為02dex)()(11xxExxexd)(d1)()(22xxExxexd)(d2xdex002dex)()(33xxExxexd)(d3d/2-d/2Oxy)(1x)(2x)(3xIIIIII3.1.3 電容（電容（capacity） 由物理學得知，平板電容器正極板上攜帶的由物理學得知，平板電容器正極板上攜帶的電量電量 q 與極板間的電位差與極板間的電位差 U 的比值是一個常數(shù)，的比值是一個常數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器的此常數(shù)稱為平板電容器的電容電容，即電容為，即電容為

10、UqC 電容的單位電容的單位F（法拉）太大。例如半徑大如地（法拉）太大。例如半徑大如地球的弧立導體的電容只有球的弧立導體的電容只有 F。實際中，。實際中，通常取通常取 F （微法）及（微法）及 pF （皮法）作為電容單（皮法）作為電容單位。位。310708. 0F10pF 1 F,10F11261. 雙導體的電容計算雙導體的電容計算n常用傳輸線，如平行板線、平行雙導線、同軸電常用傳輸線，如平行板線、平行雙導線、同軸電纜都是雙導體系統(tǒng)纜都是雙導體系統(tǒng)n通常，它們的縱向尺寸遠大于橫向尺寸通常，它們的縱向尺寸遠大于橫向尺寸n因而，可作為平行平面電場（二維場）來研究，因而，可作為平行平面電場（二維場）

11、來研究，只需計算傳輸線單位長度的電容。只需計算傳輸線單位長度的電容。n計算步驟如下：計算步驟如下：根據(jù)導體的幾何形狀，選取適當?shù)淖鴺讼蹈鶕?jù)導體的幾何形狀，選取適當?shù)淖鴺讼导俣▋蓪w上分別帶電荷假定兩導體上分別帶電荷+q和和-q根據(jù)假定的電荷求出根據(jù)假定的電荷求出E由由 求得電位差求得電位差求出比值求出比值C=q/U21l dE例例 已知同軸線的內(nèi)導體半徑為已知同軸線的內(nèi)導體半徑為 a，外導體的內(nèi)半徑為，外導體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導體之，內(nèi)外導體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為 。試求單位長度內(nèi)外導體之間的電容。試求單位長度內(nèi)外導體之間的電容。 解解 由于電場強度一定垂直于導體表面，

12、因此，由于電場強度一定垂直于導體表面，因此，同軸線中電場強度方向一定沿徑向方向。又同軸線中電場強度方向一定沿徑向方向。又因結(jié)構(gòu)對稱，可以應(yīng)用高斯定律。因結(jié)構(gòu)對稱，可以應(yīng)用高斯定律。 ab 設(shè)內(nèi)導體單位長度內(nèi)的電量為設(shè)內(nèi)導體單位長度內(nèi)的電量為q，圍繞，圍繞內(nèi)導體作一個圓柱面作為高斯面內(nèi)導體作一個圓柱面作為高斯面S，則，則Sq dSE那么內(nèi)外導體之間的電位差那么內(nèi)外導體之間的電位差 U 為為 baabqrEU ln2d因此同軸線單位長度內(nèi)的電容為因此同軸線單位長度內(nèi)的電容為 abUqCln2rrqeE2例：半徑為例：半徑為a的帶電導體球，求該導體球的電容。的帶電導體球，求該導體球的電容。解：導體球

13、是等勢體，設(shè)導體球的電位是解：導體球是等勢體，設(shè)導體球的電位是U。ra時：時：200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr 2raUerUqC ED0reraU 20aU0arD24 aqUa04aUqC04 對于多導體之間的電容計算，需要引入對于多導體之間的電容計算，需要引入部分部分電容電容概念。多導體系統(tǒng)中，每個導體的電位不僅概念。多導體系統(tǒng)中，每個導體的電位不僅與導體本身電荷有關(guān)，同時還與其他導體上的電與導體本身電荷有關(guān)，同時還與其他導體上的電荷有關(guān)，因為周圍導體上電荷的存在必然影響周荷有關(guān)，因為周圍導體上

14、電荷的存在必然影響周圍空間靜電場的分布，而多導體的電場是由它們圍空間靜電場的分布，而多導體的電場是由它們共同產(chǎn)生的。所謂共同產(chǎn)生的。所謂部分電容部分電容，是指多導體系統(tǒng)中，是指多導體系統(tǒng)中，一個導體在其余導體的影響下，與另一個導體構(gòu)一個導體在其余導體的影響下，與另一個導體構(gòu)成的電容。成的電容。 2. 部分電容部分電容NoImage部分電容部分電容若電容器由多個導體構(gòu)成。則電容器之間、導體與地之間均存在電容若電容器由多個導體構(gòu)成。則電容器之間、導體與地之間均存在電容 單個導體上的電量單個導體上的電量qC 兩個導體存在，且考慮大地影響時，相當于兩個導體存在，且考慮大地影響時，相當于3 3個導體的情

15、況，其個導體的情況，其中一個導體上的電量為中一個導體上的電量為 11212111qCC其中其中C12為導體為導體1,21,2間的電容，間的電容，C11為導體與大地間的電容為導體與大地間的電容 N個導體存在，導體個導體存在，導體i上的電量與它和其它導體之間的電位差上的電量與它和其它導體之間的電位差（包括大地）有關(guān)，即有（包括大地）有關(guān)，即有 12311C33C22C12C23C13C式中：式中：iiC導體與地之間電容，稱導體自電容導體與地之間電容，稱導體自電容ijC導體之間的電容，稱導體互電容導體之間的電容，稱導體互電容ijjiCC說明：說明：3.1.4 電場能量電場能量 1. 1. 空間總電場

16、能量空間總電場能量空間電荷分布為空間電荷分布為 ，在空間中產(chǎn)生電位為，在空間中產(chǎn)生電位為 。( )r( )r空間中總電場能量為：空間中總電場能量為：1( ) ( )2eVWrr dV 此公式只適用于靜電場能量求解；此公式只適用于靜電場能量求解； 公式中公式中 不表示電場能量密度；不表示電場能量密度；12 為空間中自由電荷分布；為空間中自由電荷分布；( )r 積分范圍積分范圍 為整個空間，但可退化到電荷分布區(qū)域。為整個空間，但可退化到電荷分布區(qū)域。V關(guān)于空間總電場能量的說明：關(guān)于空間總電場能量的說明： 分布電荷總能量分布電荷總能量NoImage12eWq 若電量為若電量為q的電荷分布在導體上，導

17、體電位為的電荷分布在導體上，導體電位為 ，則空間中總靜，則空間中總靜電場能量為：電場能量為：對帶電多導體系統(tǒng)對帶電多導體系統(tǒng)12eiiiWq式中：式中： 為為 導體上所帶電量；導體上所帶電量；iqi 為為 導體電位；導體電位；ii 帶電導體系統(tǒng)總能量帶電導體系統(tǒng)總能量注意：上面所有的電荷都是指自由電荷，不包括束縛電荷。注意：上面所有的電荷都是指自由電荷，不包括束縛電荷。VWVd 21eED2. 2. 電場能量密度電場能量密度ED21ew對于各向同性的線性介質(zhì)，對于各向同性的線性介質(zhì)， ，代入后得，代入后得 ED 2e 21Ew則電場的總能量為則電場的總能量為 由邊界條件知在邊界兩邊由邊界條件知

18、在邊界兩邊 連續(xù)。連續(xù)。E解：設(shè)同軸線內(nèi)導體單位長度帶電量為解：設(shè)同軸線內(nèi)導體單位長度帶電量為 110(2)rl ErlEQ110(2)lrEer 110ln(2)blabUE dra 同軸線內(nèi)外導體半徑分別為同軸線內(nèi)外導體半徑分別為a, ,b，導體間部分填充介質(zhì)，導體間部分填充介質(zhì)，介質(zhì)介電常數(shù)為介質(zhì)介電常數(shù)為 ，如圖所示。已知內(nèi)外導體間電壓為，如圖所示。已知內(nèi)外導體間電壓為U。求：導體間單位長度內(nèi)的電場能量。求：導體間單位長度內(nèi)的電場能量。例例 110(2)lnlnlUba (lnln )rUEeba rlb01aSSD d q兩種方法求電場能量：兩種方法求電場能量：或應(yīng)用導體系統(tǒng)能量求解

19、公式或應(yīng)用導體系統(tǒng)能量求解公式12eiiiWqU12ellWU110(2)lnlnlUba 21101(2)2 (lnln )Uba 12eWQU212eWCU知識延展：知識延展：對于由導體系統(tǒng)組成的電容器，其總電場能量可采用如下方法求解對于由導體系統(tǒng)組成的電容器，其總電場能量可采用如下方法求解3.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析導電媒質(zhì)中的恒定電場分析恒定電場：恒定電流恒定電場：恒定電流( (運動電荷運動電荷) )產(chǎn)生的電場。產(chǎn)生的電場。一、恒定電場的基本方程一、恒定電場的基本方程恒定電場的基本量：恒定電場的基本量：EJ電流連續(xù)性方程：電流連續(xù)性方程：0Jt00tJ 恒定電場仍然是保守場，因此恒定電場仍然是保守場，因此