實(shí)數(shù)及其性質(zhì)

1、一一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)實(shí)數(shù)及其性質(zhì)( ,qp qpp正分?jǐn)?shù),有理數(shù)為整數(shù)且0)或有限小數(shù)和無限小數(shù).負(fù)分?jǐn)?shù),無理數(shù):用無限不循環(huán)小數(shù)表示. |Rx x為實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù)的集合問題問題 有理數(shù)，無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論有理數(shù)，無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的為以下討論的需要，我們把實(shí)數(shù)是不利的為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表示為（包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)無限小數(shù)”為此我們規(guī)定為此我們規(guī)定:實(shí)數(shù)對于正有限小數(shù)對于正有限小數(shù) 01.,nxa aa其中其中 009,1,2, ,0,inain aa為非負(fù)整數(shù)，記，記 01(1)9999nxa aa；對于正整數(shù)

2、；對于正整數(shù) 0,xa則記則記 0(1).9999xa；對于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）；對于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)） y，則先將則先將y表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號前加負(fù)號 00.0000 例：例： 2.0012.000999932.99992.0012.0009999 32.9999 于是，任何實(shí)數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示。于是，任何實(shí)數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示。 利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個確定的無限利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示。但新的問題又出現(xiàn)了：在此規(guī)定下，如小數(shù)來表示。但新的問題又出現(xiàn)了：在此規(guī)定下，如

3、何比較實(shí)數(shù)的大??？何比較實(shí)數(shù)的大??？2 2 實(shí)數(shù)大小的比較實(shí)數(shù)大小的比較定義定義1 1給定兩個給定兩個非負(fù)實(shí)數(shù)非負(fù)實(shí)數(shù)其中其中為非負(fù)整數(shù)為非負(fù)整數(shù), ,為整數(shù)為整數(shù),若有若有1)1) 若若則稱則稱x與與y相等相等, ,記為記為2)2) 若存在非負(fù)整數(shù)若存在非負(fù)整數(shù)l, 使得使得(k=0,1,2,l),而而則稱則稱x大于大于y( (或或y小于小于x),),分別記為分別記為或或規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)；規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)； 對于負(fù)實(shí)數(shù)對于負(fù)實(shí)數(shù) x ,y 若按定義若按定義1 1有有01201 2.,.nnxa a aayb bbb00,a b0,9,kka b,kka b,kka

4、b1,2,k ;xy,kkab11,llab,xy.yx,xy 則稱則稱.yx012.nxa a aa012.nnxa a aa110nnnxx比較兩個實(shí)數(shù)大小的等價條件比較兩個實(shí)數(shù)大小的等價條件為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)x的的n位不足近似，位不足近似，而有理數(shù)而有理數(shù)稱為稱為x的的n位過剩近似位過剩近似，n=0, 1,2,定義定義2 2 設(shè)設(shè)對于負(fù)實(shí)數(shù)對于負(fù)實(shí)數(shù)x的的n位不足近似值規(guī)定為位不足近似值規(guī)定為：x的的n位過剩近似值規(guī)定為：位過剩近似值規(guī)定為：例如例如:則則1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 為為的的1 1位位,2,2位位,3,3位位,4,

5、4位不足近似值位不足近似值。1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 為為 的的1 1位位,2,2位位,3,3位位,4,4位過剩近似值。位過剩近似值。 012.nnxa a aa 012.nxa a aa 0121.10nnnxa a aa ,nxxn不難看出 實(shí)數(shù) 的不足近似 當(dāng) 增大時不減012,xxx即有,nxxn實(shí)數(shù) 的過剩近似當(dāng) 增大時不增012.xxx即有21.414222命題01201 2.xa a ayb bb設(shè)與為兩個實(shí)數(shù),:xy則的等價條件是, n存在非負(fù)整數(shù)使得,nnxy,nnxxnyyn其中 表示 的 位不足近似表示 的 位過剩近似1例,.:x yxyr設(shè)為實(shí)

6、數(shù),證明 存在有理數(shù) 滿足.xry證,xy由于,.nnnxy故存在非負(fù)整數(shù)使得1(),2nnrxy令,r則 為有理數(shù) 且有nnxxryy.xry即得 實(shí)數(shù)有如下一些主要性質(zhì)實(shí)數(shù)有如下一些主要性質(zhì) 2 2 實(shí)數(shù)集是有序的，即實(shí)數(shù)集是有序的，即 任何兩個實(shí)數(shù)任何兩個實(shí)數(shù)a, b, 必滿足下述必滿足下述 3 3 實(shí)數(shù)大小關(guān)系具有傳遞性，即若實(shí)數(shù)大小關(guān)系具有傳遞性，即若ab，bc , ,則有則有ac.4 4 實(shí)數(shù)具有實(shí)數(shù)具有Achimedes性，即對任何性，即對任何 5 5 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R具有稠密性，即任何兩個不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一具有稠密性，即任何兩個不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個實(shí)數(shù)。個實(shí)數(shù)。6 6

7、 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對應(yīng)關(guān)系與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對應(yīng)關(guān)系。 三個關(guān)系之一三個關(guān)系之一：1 1 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R對加、減、乘、除對加、減、乘、除( (除數(shù)不為除數(shù)不為0)0)四則運(yùn)算是封閉的四則運(yùn)算是封閉的.,.ab ab ab0,.bannab若則存在正整數(shù)使得,a bR例2 證明 .,:,babaRba則有若對任何正數(shù)證明設(shè)ee.,.bababababa,從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeee e二二 . . 絕對值與不等式絕對值與不等式 實(shí)數(shù)a的絕對值定義 a 0 -a ,0|0aaaaa.幾何意義：從數(shù)軸看,數(shù) a的絕對值 |a就

8、是點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離 認(rèn)識到這一點(diǎn)非常有用，與此相應(yīng)， |xa表示就是數(shù)軸上點(diǎn) x與 a之間的距離. 性質(zhì)）| | 0;| 00aaaa （非負(fù)性）； ）|aaa； |ahhah |.(0)ahhah h ）；）對任何 , a bR有 | | |ababab（三角不等式）；） | | |abab） |aabb(0)b 證由性質(zhì)2aaabbb -| | |, -| | |兩式相加aba bab -(| |+| |)+| |+| |由性質(zhì) 3 上式等價于a bab| + | | |+| |bb把上式的 換成 - 得a bab| - | | |+| |性質(zhì)性質(zhì)4（三角不等式）的證明：（三角不等式）的證

9、明：對任何對任何 , a bR有有 | | |abababaabb又由.aabb.abab從而得4. 幾個重要不等式幾個重要不等式: ,222abba. 1 sin x. sin xx 對,21Rnaaa 記,1 )(121niiniannaaaaM(算術(shù)平均值),)(1121nniinniaaaaaG (幾何平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH (調(diào)和平均值)有均值不等式有均值不等式: ),( )( )(iiiaMaGaH(等號當(dāng)且僅當(dāng)naaa21時成立). Bernoulli 不等式不等式: : (在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過) 對,0 x (1)1.nx

10、nx abab 2 2 數(shù)集數(shù)集. . 確界確界原理原理一一 區(qū)間與鄰域區(qū)間與鄰域: :,.a bRab設(shè)且,( , );x axba b我們稱數(shù)集為開區(qū)間 記作, , ;x axba b數(shù)集為閉區(qū)間 記作ababao),xaxa 無限區(qū)無限區(qū)間間,x axbx axb數(shù)集和為半開半閉區(qū)間 , )( , ;a ba b分別記作和xaooxb),xaxa),(bxxb),(v鄰域 v去心鄰域0( ; ) 0Uaxxa,0.aRxaxa設(shè)滿足絕對值不等式的全體實(shí)數(shù) 的集合稱為點(diǎn) 的 鄰域,( ; ),( ),U aU a記作或簡單記為( ; )(,).U ax xaaa即有此外此外, ,我們還常用

11、到以下鄰域我們還常用到以下鄰域( ; ) ,),( );aUaa aUa點(diǎn) 的 右鄰域簡記為( ; )(, ,( );aUaaaUa點(diǎn) 的 左鄰域簡記為00( )( ),( )( )UaUaaaUaUa與去除點(diǎn) 后 分別為點(diǎn) 的空心 左右鄰域 簡記為與( ),;Ux xMM 鄰域其中為充分大的正數(shù)(),;Ux xMM 鄰域其中為充分大的正數(shù)(),;Ux xMM 鄰域其中為充分大的正數(shù) 二、有界集確界原理二、有界集確界原理 定義定義1 1 設(shè)設(shè)S為為R中的一個數(shù)集。若存在數(shù)中的一個數(shù)集。若存在數(shù)M(L), ,使得對一使得對一切切xS, ,都有都有xM（xL）, ,則稱則稱S為有上界（下界）的數(shù)為

12、有上界（下界）的數(shù)集，數(shù)集，數(shù)M(L)稱為稱為S的一個上界（下界）的一個上界（下界）. . 若數(shù)集若數(shù)集S既有既有上界又有下界上界又有下界, ,則稱則稱S為有界集為有界集. .若若S不是不是有界集，則稱有界集，則稱S為無界集。為無界集。 1:.Nn n例證明數(shù)集為正整數(shù) 有下界而無上界證,1.N顯然 任何一個不大于 的實(shí)數(shù)都是的下界,:N為證無上界 按照定義只須證明00,.MnnM對于無論多么大的正數(shù)總存在某個正整數(shù)使得,(),M事實(shí)上 對任何正數(shù)無論多么大000 1,.nMnNnM取則且N這就證明了無上界. 若數(shù)集若數(shù)集S 有上界，顯然它有無窮多個上界，而有上界，顯然它有無窮多個上界，而其中

13、最小的一個上界常常具有重要的作用，稱它為其中最小的一個上界常常具有重要的作用，稱它為數(shù)集數(shù)集S 的上確界。同樣，有下界數(shù)集的最大下界，的上確界。同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界。稱為該數(shù)集的下確界。 MM2M1上確界上界 m2mm1下確界下界下面給出數(shù)集的上確界和下確界的定義下面給出數(shù)集的上確界和下確界的定義。2定義SR設(shè) 是 中的一個數(shù)集.若數(shù) 滿足:( ),;ixSxS對一切有即 是 的上界00( ),iixSx對任何存在使得,S即 又是 的最小上界,S則稱數(shù) 為數(shù)集上確界的sup .S記作說明: Sx1 x2 x3 x4 x5 xn x0 類似地,可得到下確界的概念3定義S

14、R設(shè) 是 中的一個數(shù)集.若數(shù) 滿足:( ),;ixSxS對一切有即 是 的下界00( ),iixSx對任何存在使得,S即 又是 的最大下界,S則稱數(shù) 為數(shù)集下確界的inf.S記作上、下確界的另一精確定義上、下確界的另一精確定義定義設(shè)設(shè)S是是R中的一個數(shù)集，若數(shù)中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足以下兩條：滿足以下兩條：（1 1）對一切）對一切有有即即是數(shù)集是數(shù)集S S的上界；的上界；（2 2） 對任意對任意存在存在使得使得（即（即是是S的最小上界）的最小上界） 則稱數(shù)則稱數(shù)為數(shù)集為數(shù)集S的上確界。的上確界。e 0 x 2,xS,x0,e0 xS0,xe記作記作sup.S e S定義設(shè)設(shè)S是是R中的一個數(shù)集

15、，若數(shù)中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足以下兩條：滿足以下兩條：（1 1）對一切）對一切有有即即是數(shù)集是數(shù)集S的下界；的下界；（2 2） 對任意對任意存在存在使得使得（即（即 是是S的最大下界）的最大下界） 則稱數(shù)則稱數(shù) 為數(shù)集為數(shù)集S的下確界。的下確界。3,xS,x0,e0 xS0,xe記作記作inf.S0 x思考題思考題:0,1的上下確界分別等于幾的上下確界分別等于幾? (0,1)中中的無理數(shù)構(gòu)成的集合呢的無理數(shù)構(gòu)成的集合呢? ?例例2 2 設(shè)設(shè)S= =x|x為區(qū)間為區(qū)間(0, 1)中的有理數(shù)中的有理數(shù), ,試按上下試按上下確界的定義驗(yàn)證確界的定義驗(yàn)證: :supS=1, infS=0. .證證 先

16、驗(yàn)證先驗(yàn)證supS=1(1)(1)對一切對一切xS,顯然有顯然有x1,1, 即即1 1是是S的上界的上界. .(2)(2)對任何對任何1,1, 若若0,0,則任取則任取x0S都有都有x0;若若0,0,則有有理數(shù)在實(shí)數(shù)集中的稠密性則有有理數(shù)在實(shí)數(shù)集中的稠密性, ,在在(,1)中必中必有有理數(shù)有有理數(shù)x0, ,即存在即存在x0S,使得使得x0.類似地可以驗(yàn)證類似地可以驗(yàn)證infS=0注: (1)(1)由上（下）確界的定義可知由上（下）確界的定義可知, ,若數(shù)集若數(shù)集S存在存在上（下）確界上（下）確界, ,則一定是唯一的則一定是唯一的; ; (2) (2)若數(shù)集若數(shù)集S S存在上、下確界，則有存在上

17、、下確界，則有infSsupS; ; (3) (3)數(shù)集數(shù)集S的確界可能屬于的確界可能屬于S也可能不屬于也可能不屬于S。例例3 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集S有上確界有上確界,證明證明 的充要條件是的充要條件是證證必要性必要性 設(shè)設(shè)supSS則對一切則對一切xS,有有,x而而,S故故 是數(shù)集是數(shù)集S中的最大數(shù)中的最大數(shù),即即maxS充分性充分性 設(shè)設(shè)maxS則則,S下面驗(yàn)證下面驗(yàn)證sup S(1)對一切對一切xS,有有x ,則則從而滿足從而滿足,0 xS0,xsupS(2)對任何對任何只須取只須取的定義的定義.是是S的上界的上界;即即maxSsupSS定理定理1.11.1（確界原理確界原理）設(shè)）設(shè)S為非空數(shù)集

18、，若為非空數(shù)集，若S S有有上界，則上界，則S必有上確界；若必有上確界；若S有下界，則有下界，則S S必必有下確界。有下確界。 （證略）（證略） 注意：確界原理是極限理論的基礎(chǔ)，應(yīng)很注意：確界原理是極限理論的基礎(chǔ)，應(yīng)很好地去理解和消化。好地去理解和消化。 例例4 4 設(shè)設(shè)A，B為非空數(shù)集，滿足：對一切為非空數(shù)集，滿足：對一切xA和和yB有有xy。證明數(shù)集。證明數(shù)集A有上確界，數(shù)集有上確界，數(shù)集B有下確界，有下確界，且且supAinfB。 由確界原理可知數(shù)集由確界原理可知數(shù)集A有上確界有上確界,數(shù)集數(shù)集B有下確界。有下確界。而此式表明數(shù)而此式表明數(shù)supA 是數(shù)集是數(shù)集B的一個下界的一個下界,證證由假