從特殊三棱錐到一般三棱錐問(wèn)題

1、從特殊三棱錐到一般三棱錐問(wèn)題第一頁(yè)，共25頁(yè)。解正四面體解正四面體正四面體化歸為正方體求解正四面體化歸為正方體求解.在正方體在正方體 ABCD - - A1B1C1D1中，中，由由6條面對(duì)角線條面對(duì)角線 A1D、 BC1 、A1C1、BD、A1B、DC1為棱的四面體即為為棱的四面體即為正四面體正四面體 A1 - - BC1D.正四面體正四面體A1- - BC1D的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體 ABCD - - A1B1C1D1 棱長(zhǎng)的棱長(zhǎng)的 倍倍 ；體積為正方體的；體積為正方體的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半徑等的外半徑 .22/3第二頁(yè)

2、，共25頁(yè)?！罢闭薄比忮F三棱錐我們把我們把“三條側(cè)棱相等且兩兩垂直的三棱錐三條側(cè)棱相等且兩兩垂直的三棱錐”稱作稱作“正直三棱錐正直三棱錐”. 它它的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰直角三角形，的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰直角三角形，1個(gè)底面是正三角形個(gè)底面是正三角形.正直棱錐的正直棱錐的直觀圖畫法有直觀圖畫法有“立式立式”（左）和（左）和“臥式臥式”（右）兩種（右）兩種.立式圖中，立式圖中，1個(gè)側(cè)面置于水平位置個(gè)側(cè)面置于水平位置. 可以清楚地看到它在對(duì)應(yīng)的可以清楚地看到它在對(duì)應(yīng)的正方體中的位置；臥式圖中，它的底面置于水平位置，便于在正方體中的位置；臥式圖中，它的底面置于水平位置，便于在豎直方向顯示底面上的

3、高線豎直方向顯示底面上的高線.第三頁(yè)，共25頁(yè)。解正直三棱錐解正直三棱錐化為正方體求解化為正方體求解一、線線關(guān)系：一、線線關(guān)系：（1）相交垂直：）相交垂直：ADDD1（2）相交）相交45：AD與與AD1（3）相交）相交60：AD1與與AC（4）異面垂直）異面垂直 AC與與DD1 距離為距離為 /22二、線面關(guān)系二、線面關(guān)系（1）垂直：）垂直：AD與與DCD1 （2）交成）交成45 ：AD與與ACD1三、面面關(guān)系三、面面關(guān)系（1）垂直：三側(cè)面兩兩之間）垂直：三側(cè)面兩兩之間（2）交成）交成arctan ：如平面：如平面ACD1與平面與平面ACD2第四頁(yè)，共25頁(yè)。正直三棱錐的高線正直三棱錐的高線【

4、題目】【題目】 若正直三棱錐若正直三棱錐V- -ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為的側(cè)棱長(zhǎng)為VA=1. 求它高線求它高線VH的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度.設(shè)斜高在設(shè)斜高在 ABC上的射影為上的射影為H，則，則H為為 ABC的中心的中心.6/631CDDH【解【解1】 （斜高法）（斜高法）正直三棱錐正直三棱錐V- -ABC 中，易知中，易知AB = BC = CA =22斜高斜高VD = /2故有故有 高線高線33)26()22(2222DHVDVH【說(shuō)明】【說(shuō)明】 正直三棱錐的高線長(zhǎng)為外接正方體對(duì)角線長(zhǎng)正直三棱錐的高線長(zhǎng)為外接正方體對(duì)角線長(zhǎng) 的的1/3 .3第五頁(yè)，共25頁(yè)。【題目】【題目】 若正直三棱錐若正直三棱錐V- -A

5、BC的側(cè)棱長(zhǎng)為的側(cè)棱長(zhǎng)為VA=1. 求它高線求它高線VH的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度.【解【解2】 （等積法）立式圖中，（等積法）立式圖中，易知正直三棱錐的體積為易知正直三棱錐的體積為6131VABSVCV【證明】【證明】 等積法常用來(lái)等積法常用來(lái)“求點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離”.又又23)232(22121CDABSABC故故得得612331VH33VH第六頁(yè)，共25頁(yè)。正直三棱錐的外接球正直三棱錐的外接球【題目】【題目】 正直三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為正直三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，求其外半徑長(zhǎng)，求其外半徑長(zhǎng).正直三棱錐與其外接正方體有共同的外接球，因此正直三棱錐與其外接正方體有共同的外接球，因此“單位正直單位正直三棱

6、錐三棱錐”與單位正方體有共同的外半徑與單位正方體有共同的外半徑 . 一般探討為一般探討為2/3【解答】【解答】 易知正直三棱錐的易知正直三棱錐的“外心外心”O(jiān) 在高在高線線VH 的延長(zhǎng)線上的延長(zhǎng)線上.設(shè)設(shè) VO = CO =x，則，則 HO =33x又又362323232DCHC由由 OC 2 = HO2 +HC2 得得解得解得23x222)36()33( xx第七頁(yè)，共25頁(yè)?？碱}展示考題展示【考題】【考題】 （2006年川卷第年川卷第13題）題）【分析】【分析】 已知的三棱錐為正直三棱錐已知的三棱錐為正直三棱錐.【解【解1】 立式圖如右，立式圖如右，OM 在在ABC上射影為上射影為MC，O

7、M與與ABC的成角為的成角為OMC.【說(shuō)明】【說(shuō)明】 線面角（線面角（OM與與ABC成角）化為線線角（成角）化為線線角（OM與與MC）亦即）亦即面面角（面面角（C - - AB - - O）.在三棱錐在三棱錐O - - ABC，三條棱，三條棱OA、OB、OC 兩兩垂直且相等兩兩垂直且相等.M為為AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn). 則則OM與平面與平面ABC的成角的大小為的成角的大小為 .設(shè)設(shè)OC =a，則，則OM =a222tanOMOCOMC故故OMC = arctan （答案）（答案）2第八頁(yè)，共25頁(yè)?！究碱}】【考題】 （2006年川卷第年川卷第13題）題）【分析】【分析】 已知的三棱錐為正直三棱錐已

8、知的三棱錐為正直三棱錐.【解【解2】 臥式圖如右，臥式圖如右，H為底面正三角形為底面正三角形ABC的中心的中心.【說(shuō)明】【說(shuō)明】 本法容易誤入遷解本法容易誤入遷解. 如先求如先求OH和和MH的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度.在三棱錐在三棱錐O - - ABC，三條棱，三條棱OA、OB、OC 兩兩垂直且相等兩兩垂直且相等.M為為AB的中點(diǎn)的中點(diǎn). 則則OM 與平面與平面ABC的成角的大小為的成角的大小為 .2tanOMOCOMC得得OMC = arctan （答案）（答案）2OM與與ABC的成角為的成角為OMC.第九頁(yè)，共25頁(yè)。正方體內(nèi)接三棱錐的個(gè)數(shù)正方體內(nèi)接三棱錐的個(gè)數(shù)【問(wèn)題】【問(wèn)題】 以正方體以正方體8個(gè)頂點(diǎn)

9、中的個(gè)頂點(diǎn)中的4個(gè)頂點(diǎn)作三棱錐，這樣的三棱錐稱正個(gè)頂點(diǎn)作三棱錐，這樣的三棱錐稱正方體的內(nèi)接三棱錐方體的內(nèi)接三棱錐. 求正方體內(nèi)接三棱錐的個(gè)數(shù)求正方體內(nèi)接三棱錐的個(gè)數(shù).其中，共面的其中，共面的4點(diǎn)的個(gè)數(shù)是點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（1）正方體的）正方體的6個(gè)面；（個(gè)面；（2）正方體的）正方體的6個(gè)對(duì)角面?zhèn)€對(duì)角面.故正方體的內(nèi)接三棱錐有故正方體的內(nèi)接三棱錐有 70 12 = 58 （個(gè)）（個(gè)）【答案】【答案】 從從8個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)的組合數(shù)為個(gè)的組合數(shù)為70C48【說(shuō)明】【說(shuō)明】 這這58個(gè)三棱錐與正方體同外心，共外接球個(gè)三棱錐與正方體同外心，共外接球.第十頁(yè)，共25頁(yè)。“長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱”三棱錐三棱錐正方體

10、內(nèi)接三棱錐可分四類正方體內(nèi)接三棱錐可分四類. 除了內(nèi)接正四面體和內(nèi)接正直三棱除了內(nèi)接正四面體和內(nèi)接正直三棱錐外，還有兩類錐外，還有兩類.（1）斜三棱錐）斜三棱錐(圖左圖左). （2）底面為直三角形的直三棱錐）底面為直三角形的直三棱錐(圖右圖右). 它們各有它們各有1條長(zhǎng)度為條長(zhǎng)度為 的的“長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱”，其外心在長(zhǎng)棱的中點(diǎn)上，其外心在長(zhǎng)棱的中點(diǎn)上.3第十一頁(yè)，共25頁(yè)。直正三棱錐直正三棱錐底面為正三角形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐稱作底面為正三角形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐稱作“直正直正三棱錐三棱錐”.確定一個(gè)確定一個(gè)“直正三棱錐直正三棱錐”需需2個(gè)條件，即底棱長(zhǎng)個(gè)條件，即底棱長(zhǎng)a和直棱

11、長(zhǎng)和直棱長(zhǎng)b.“直正三棱錐直正三棱錐”與與“正直三棱錐正直三棱錐”不同，后者的確定條件只不同，后者的確定條件只1個(gè)個(gè). 直正三棱錐的四個(gè)面中：直正三棱錐的四個(gè)面中：（1）底面是正三角形；）底面是正三角形；（2）有）有2個(gè)側(cè)面為直角三角形，它們都垂個(gè)側(cè)面為直角三角形，它們都垂直于底面；直于底面；（3）另一個(gè)側(cè)面為等腰三角形；）另一個(gè)側(cè)面為等腰三角形；第十二頁(yè)，共25頁(yè)。解直正三角形解直正三角形（1）求三棱錐）求三棱錐P- -ABC的體積；的體積；【題目】【題目】 三棱錐三棱錐P- -ABC中，中，PA面面ABC，且，且PA= ，又又 AB = BC = CA =1.3（2）求）求A到平面到平面P

12、BC的距離的距離.【解答】【解答】（1）P- -ABC的體積的體積（2）設(shè)）設(shè)A到平面到平面PBC的距離為的距離為h .413433131PASSABC易得三角形易得三角形PBC的面積為的面積為415515 4141531hh由等積原理：由等積原理：（答案）（答案）第十三頁(yè)，共25頁(yè)?！绢}目】【題目】 三棱錐三棱錐PABC中，中，PA面面ABC，且，且PA= ， 又又 AB = BC = CA =1.3【證明】【證明】 易知易知 BOAC，又，又BOPA由（由（1），（），（2）知）知 PC平面平面BOH.【說(shuō)明】【說(shuō)明】 由此可知由此可知BHO為二面角為二面角BPCA的平面角的平面角.（3）

13、O為為AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OHPC于于H.求證：求證：PC 平面平面BOH.所以所以BO面面PAC BOPC （1）又又OHPC （2）第十四頁(yè)，共25頁(yè)。正三棱錐正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)相等、底面為正三角形的三棱錐為正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)相等、底面為正三角形的三棱錐為正三棱錐. 確定一個(gè)正三棱確定一個(gè)正三棱錐需錐需2個(gè)條件個(gè)條件.即側(cè)棱長(zhǎng)即側(cè)棱長(zhǎng)b和底棱長(zhǎng)和底棱長(zhǎng)a .正三棱錐的直觀圖一般畫成臥式，即置正三角正三棱錐的直觀圖一般畫成臥式，即置正三角形于水平面上，且使底面上的一條高線，如形于水平面上，且使底面上的一條高線，如CD于水平線上于水平線上.錐頂錐頂V在底面上的射影為底面正三角形的中心在底面上的射影為底

14、面正三角形的中心H.截面三角形截面三角形VCD為錐體的軸截面：為錐體的軸截面：（1）側(cè)棱與底面的所成角為）側(cè)棱與底面的所成角為VCD. （2）側(cè)面與底面所成二面角的平面角為）側(cè)面與底面所成二面角的平面角為VDC.（3）截面三角形的高線）截面三角形的高線VH就是錐體的高就是錐體的高.第十五頁(yè)，共25頁(yè)。正三棱錐的判斷正三棱錐的判斷【考題】【考題】 （2005年全國(guó)年全國(guó)題題16） 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐面角都相等的三棱錐是正三棱錐.【判定】【判定】 由此推出，三側(cè)

15、面上的斜高相等，從而推得三由此推出，三側(cè)面上的斜高相等，從而推得三斜高在底面上的射影相等，從而確定斜高在底面上的射影相等，從而確定H為底面三角形的中為底面三角形的中心心.由此得，三側(cè)棱相等（見右邊的軸截面圖）由此得，三側(cè)棱相等（見右邊的軸截面圖）.命題命題為真命題為真命題. 它成為正三棱錐它成為正三棱錐“判定定理判定定理”之一之一.第十六頁(yè)，共25頁(yè)。正三棱錐的判斷正三棱錐的判斷【考題】【考題】 （2005年全國(guó)年全國(guó)題題16） 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐的三棱錐是正三棱錐.

16、【判定】【判定】 側(cè)面是等腰三角形，其底邊不一定是底面?zhèn)让媸堑妊切?，其底邊不一定是底面三角形的邊三角形的? 如圖右所示，可設(shè)如圖右所示，可設(shè)VC=BC=AC ，并讓點(diǎn)，并讓點(diǎn)V在直線在直線VD上移動(dòng)，可使上移動(dòng)，可使VAB也為等腰三角形也為等腰三角形.故命題故命題是個(gè)假命題是個(gè)假命題.第十七頁(yè)，共25頁(yè)。正三棱錐的判斷正三棱錐的判斷【考題】【考題】 （2005年全國(guó)年全國(guó)題題16） 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐等的三棱錐是正三棱錐.【判定】【判定】 側(cè)面的面積都相等，只須頂點(diǎn)側(cè)

17、面的面積都相等，只須頂點(diǎn)V到三底邊的距到三底邊的距離相等離相等.到三邊等距的點(diǎn)在平面上是三角形的內(nèi)心和旁心到三邊等距的點(diǎn)在平面上是三角形的內(nèi)心和旁心.到空間中，過(guò)底面三角形的內(nèi)心和旁心的底面垂線上所到空間中，過(guò)底面三角形的內(nèi)心和旁心的底面垂線上所有的點(diǎn)，都分別與三邊等距有的點(diǎn)，都分別與三邊等距.故命題故命題是假命題是假命題.第十八頁(yè)，共25頁(yè)。正三棱錐的判斷正三棱錐的判斷【考題】【考題】 （2005年全國(guó)年全國(guó)題題16） 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐成的

18、二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.【判定】【判定】 由側(cè)棱與底面所成的角都相等，可推斷三由側(cè)棱與底面所成的角都相等，可推斷三條側(cè)棱相等條側(cè)棱相等.由側(cè)面與底面所成的二面角相等，可推斷側(cè)面上的三條斜高相等，由側(cè)面與底面所成的二面角相等，可推斷側(cè)面上的三條斜高相等，并推斷底面三角形為正三角形并推斷底面三角形為正三角形.故三棱錐為正三棱錐故三棱錐為正三棱錐.命題命題為真命題，它成為正三棱錐為真命題，它成為正三棱錐“判定定理判定定理”之一之一.第十九頁(yè)，共25頁(yè)。【證明（【證明（ ）】ACB=90，BCAC.PA底面底面ABCD， PABCBC平面平面PAC.（ ）求證）求證: BC平面平面PAC；直三

19、棱錐到直四棱錐直三棱錐到直四棱錐像四棱錐可化為三棱錐求解一樣，直四棱錐也可化歸為直三棱錐求解像四棱錐可化為三棱錐求解一樣，直四棱錐也可化歸為直三棱錐求解.【題目】【題目】 四棱錐四棱錐P ABCD中，中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.3第二十頁(yè)，共25頁(yè)。【題目】【題目】 四棱錐四棱錐P ABCD中，中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.【證明（【證明（）】 易知易知ADC=60, （）求二面角）求二面角DPCA的大??；的大小；3又又AD=CD=1，ADC為等邊三角形，且為等邊三角形，且 AC=1.取取AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O，

20、則，則DOAC， PA底面底面ABCD，PADO， DO平面平面PAC.過(guò)過(guò)O作作OHPC，垂足為，垂足為H，連，連DH，由三垂線定理知，由三垂線定理知DHPC. DHO為二面角為二面角DPCA的平面角的平面角.由由.23 ,43DOOH. 2arctan , 2tanDHOOHDODHO二面角二面角DPCA的大小為的大小為arctan2.第二十一頁(yè)，共25頁(yè)?！绢}目】【題目】 四棱錐四棱錐P ABCD中，中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.（）求點(diǎn)）求點(diǎn)B到平面到平面PCD的距離的距離. 3【證明（【證明（）】 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)B到平面到平面PCD的距離為的距離為d.ABCD，AB 平面平面PCD，CD 平面平面PCD, AB平面平面PCD.點(diǎn)點(diǎn)B到平面到平面PCD的距離等于點(diǎn)的距離等于點(diǎn) A到平面到平面PCD的距離的距離.343415 ,dVVACDPPCDA515d【說(shuō)明】【說(shuō)明】 就是上面所說(shuō)的就是上面所說(shuō)的“等積法等積法”求點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離.第二十二頁(yè)，共25頁(yè)。三棱錐的外心三棱錐的外心任何一個(gè)三棱錐都有外接球，就像任何一個(gè)三角形都有外接圓一樣任何一個(gè)三棱錐都有外接球，就像任何一個(gè)三角形都有外接圓一樣. 三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)等距，這個(gè)距離三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)等距，這個(gè)距離就是三角形的外半徑就是三角形的外半