高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章第四節(jié)數(shù)列求和課件理新人教A版

1、高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章第四節(jié)數(shù)列求和課件理新人教A版2倒序相加法倒序相加法如果一個數(shù)列如果一個數(shù)列an的前的前n項中首末兩端等項中首末兩端等“距離距離”的兩的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法項和公式即是用此法推導(dǎo)的推導(dǎo)的3錯位相減法錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減項和可用錯位相減法法 4

2、裂項相消法裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和以相互抵消，從而求得其和5分組求和法分組求和法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減后相加減1裂項相消法的前提是什么？裂項相消法的前提是什么？【提示】【提示】數(shù)列中的每一項均可分裂成一正一負(fù)兩項，數(shù)列中的每一項均可分裂成一正一負(fù)兩項，且在求和過程中能夠前后相互抵消且在求和過程中能夠前后相互

3、抵消2若數(shù)列若數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列|an|的前的前n項和可用項和可用什么方法求解？什么方法求解？【提示】【提示】數(shù)列數(shù)列|an|仍然是等比數(shù)列，可用公式法求仍然是等比數(shù)列，可用公式法求解解 1(人教人教A版教材習(xí)題改編版教材習(xí)題改編)若數(shù)列若數(shù)列an的通項公式是的通項公式是an(1)n(3n2)，則，則a1a2a10()A15B12 C12D15【解析】【解析】an(1)n(3n2)，a1a2a10(14)(710)(2528)3515.【答案】【答案】A2一個球從一個球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它

4、第原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時，經(jīng)過的路程是次著地時，經(jīng)過的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129) 【答案】【答案】A【答案】【答案】A 4設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的通項的通項an4n1，數(shù)列，數(shù)列bn的通項的通項bn3n1，則數(shù)列，則數(shù)列anbn的前的前n項和項和Tn_ 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)2x3x1，點，點(n，an)在在f(x)的圖象的圖象上，上，an的前的前n項和為項和為Sn.(1)求使求使an0的的n的最大值；的最大值；(2)求求Sn.【思路點撥】【思路點撥】(1)由條件，求出由條件，求出an，利用數(shù)列的性質(zhì)求，利用數(shù)

5、列的性質(zhì)求an0的的n的最大值；的最大值；(2)將將an轉(zhuǎn)化為兩個特殊數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為兩個特殊數(shù)列求和 【嘗試解答】【嘗試解答】(1)點點(n，an)在函數(shù)在函數(shù)f(x)2x3x1的的圖象上，圖象上，an2n3n1，an0，2n3n10，即，即2n3n1，又又nN*，n3，即，即n的最大值為的最大值為3. 1數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和2常見類型及方法常見類型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前，利用等差數(shù)列前n項和公式直接求解；項和公式直

6、接求解；(2)anaqn1，利用等比數(shù)列前，利用等比數(shù)列前n項和公式直接求解；項和公式直接求解；(3)anbncn，數(shù)列，數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求采用分組求和法求an的前的前n項和項和 公差不為公差不為0的等差數(shù)列的等差數(shù)列an中，中，a12，且，且a1，a3，a7成成等比數(shù)列等比數(shù)列(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列cn的前的前n項和為項和為Sn，且，且nancn1，求證：，求證：Sn1.【思路點撥】【思路點撥】 (1)由由a1，a3，a7成等比數(shù)列，求得公差成等比數(shù)列，求得公差d，進(jìn)而確定，進(jìn)而確定an的通項公

7、式的通項公式(2)根據(jù)根據(jù)cn的通項公式特征，利用裂項相消法求得的通項公式特征，利用裂項相消法求得Sn，從而證得從而證得Sn1.【嘗試解答】【嘗試解答】(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為d，則，則a322d，a726d.a1，a3，a7成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，(22d)22(26d)，又又d0，可求可求d1.ana1(n1)dn1，數(shù)列數(shù)列an的通項公式為的通項公式為ann1. 數(shù) 列數(shù) 列 an 的 前的 前 n 項 和 為項 和 為 Sn， a1 1 ， an 12Sn(nN*)(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式an；(2)求數(shù)列求數(shù)列nan的前的前n項和項和Tn.【思

8、路點撥】【思路點撥】由由an1Sn1Sn得得Sn與與Sn1的遞推關(guān)的遞推關(guān)系，求得系，求得Sn和和an，由，由an的特征，利用錯位相減法求數(shù)列的特征，利用錯位相減法求數(shù)列nan的前的前n項和項和Tn.1本例本例(2)求求Tn時，易盲目利用錯位相減法直接求和，時，易盲目利用錯位相減法直接求和，忽視討論忽視討論n1的情形的情形2(1)如果數(shù)列如果數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)是等比數(shù)列，求數(shù)列列anbn的前的前n項和時，可采用錯位相減法求和一般是和項和時，可采用錯位相減法求和一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，若的公比，若bn的公比為參數(shù)，的公比為參數(shù)

9、，應(yīng)分公比等于應(yīng)分公比等于1和不等于和不等于1兩種情況討論兩種情況討論(2)在寫出在寫出“Sn”與與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊錯項對齊”即公比即公比q的同次冪項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的同次冪項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和求和解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的，往往通過裂項相消不能轉(zhuǎn)化

10、為等差或等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法、倒序相加法等來求和法、倒序相加法等來求和 1.裂項相消法，分裂通項是否恰好等于相應(yīng)的兩項之裂項相消法，分裂通項是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差差2在正負(fù)項抵消后，是否只剩下第一項和最后一項，在正負(fù)項抵消后，是否只剩下第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項，未消去的項有前后或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項，未消去的項有前后對稱的特點對稱的特點數(shù)列求和是高考的熱點，主要涉及等差、等比數(shù)列求數(shù)列求和是高考的熱點，主要涉及等差、等比數(shù)列求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和與并項法求和，題目和、錯位相減法求和、裂項相消法求和與并項法求和，題目呈現(xiàn)方式多樣

11、，在選擇題、填空題中以考查基礎(chǔ)知識為主，呈現(xiàn)方式多樣，在選擇題、填空題中以考查基礎(chǔ)知識為主，在解答題中以考查錯位相減法和裂項相消法求和為主，求解在解答題中以考查錯位相減法和裂項相消法求和為主，求解的關(guān)鍵是抓住通項公式的特征，正確變形，分清項數(shù)求和的關(guān)鍵是抓住通項公式的特征，正確變形，分清項數(shù)求和易錯辨析之九易錯辨析之九通項遺漏導(dǎo)致錯位相減求和錯誤通項遺漏導(dǎo)致錯位相減求和錯誤 (2012浙江高考改編浙江高考改編)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，且，且Sn2n2n3，nN*，數(shù)列，數(shù)列bn滿足滿足an4log2bn3，nN*.(1)求求an，bn；(2)求數(shù)列求數(shù)列anbn的前的前

12、n項和項和Tn.【錯解】【錯解】(1)由由Sn2n2n3，得，得n2時，時，Sn12(n1)2(n1)3，an2n22(n1)214n1，由由4n1an4log2bn3，得，得bn2n1，nN*.(2)由由(1)知知anbn(4n1)2n1，nN*，所以所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)( (4n5)2n5.故故Tn(4n5)2n5，nN*.錯因分析：錯因分析：(1)求求an，忽視，忽視n1的情形，錯求的情形，錯求an，導(dǎo)致后，導(dǎo)致后續(xù)問題不能正確求解續(xù)問題不能正確求解(2)錯位相減求和時

13、，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，盲目認(rèn)為除錯位相減求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，盲目認(rèn)為除首、末項外成等比數(shù)列首、末項外成等比數(shù)列防范措施：防范措施：(1)由由Sn求求an，當(dāng)，當(dāng)n1時，時，a1S1檢驗是否滿檢驗是否滿足足anSnSn1(n2)，若不滿足，應(yīng)分段表示，若不滿足，應(yīng)分段表示an，從而求，從而求Tn時，應(yīng)分類討論時，應(yīng)分類討論(2)由于由于anbn的通項分段表示，求的通項分段表示，求Tn時，不僅注意對時，不僅注意對n進(jìn)行討論，而且在寫出進(jìn)行討論，而且在寫出“Tn”與與“qTn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式意將兩式“錯項對齊錯項對齊”即公比即公比q的同次冪項相減，轉(zhuǎn)化為的同次冪項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和等比數(shù)