應(yīng)用z變換求解差分方程

1、序言 描述離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為差分方程。求解差分描述離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為差分方程。求解差分方程是我們分析離散時間系統(tǒng)的一個重要途徑。方程是我們分析離散時間系統(tǒng)的一個重要途徑。 求解線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程有兩種方法：求解線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程有兩種方法：時域方法時域方法第七章中介紹，煩瑣第七章中介紹，煩瑣z變換方法變換方法差分方程經(jīng)差分方程經(jīng)z變換變換代數(shù)方程；代數(shù)方程；可以將時域卷積可以將時域卷積頻域（頻域（z域）乘積；域）乘積；部分分式分解后將求解過程變?yōu)椴楸恚徊糠址质椒纸夂髮⑶蠼膺^程變?yōu)椴楸?；求解過程自動包含了初始狀態(tài)（相當(dāng)于求解過程自動包含了初始狀態(tài)（相當(dāng)于0 0-

2、-的的條件）。條件）。一應(yīng)用z變換求解差分方程步驟(1)對差分方程進(jìn)行單邊對差分方程進(jìn)行單邊z變換（變換（移位性質(zhì)移位性質(zhì)）(2)由由z變換方程求出響應(yīng)變換方程求出響應(yīng)Y(z)(3) 求求Y(z) 的反變換，得到的反變換，得到y(tǒng)(n) 一步驟二差分方程響應(yīng)y(n)的起始點(diǎn)確定 2212 zzzzY全響應(yīng)全響應(yīng)y(n)根據(jù)輸入信號加上的時刻定根據(jù)輸入信號加上的時刻定對因果系統(tǒng)對因果系統(tǒng)y(n)不可能出現(xiàn)在不可能出現(xiàn)在x(n)之前之前觀察觀察Y(z)分子分母的冪次分子分母的冪次分母高于分子的次數(shù)是響應(yīng)的起點(diǎn)分母高于分子的次數(shù)是響應(yīng)的起點(diǎn) .2有有不不為為零零的的值值開開始始從從nyn 三差分方程解

3、的驗證 解答是正確的解答是正確的兩種迭代結(jié)果相同兩種迭代結(jié)果相同解的表達(dá)式迭代出解的表達(dá)式迭代出原方程迭代出原方程迭代出,2,1,02,1,0yyyyyy例8-7-1(原教材例7-10(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。若邊界條件若邊界條件達(dá)式為達(dá)式為已知系統(tǒng)的差分方程表已知系統(tǒng)的差分方程表, 1)1()(05. 0)1(9 . 0)( ynunyny 105. 019 . 01 zzyzYzzY 9 . 019 . 09 . 0105. 02 zzyzzzzY解：解：方程兩端取方程兩端取z變換變換 9 . 0121 zzAzzAzzY 9 . 0121 zzAzzAzzY45. 0 5

4、 . 021 AA 9 . 045. 015 . 0 zzzzzzY 0 9 . 045. 05 . 0 nnyn例8-7-2解：解：已知系統(tǒng)框圖已知系統(tǒng)框圖列出系統(tǒng)的差分方程列出系統(tǒng)的差分方程.求系統(tǒng)的響應(yīng)求系統(tǒng)的響應(yīng)y(n) 1) 列差分方程，從加法器入手列差分方程，從加法器入手 nynynynxnx 22131 12213 nxnxnynynyE1 nxE1E12 3 ny , 010,0002yynnnxn 452,211 yy 21213121 yyzzYzyzYzzY 01221 xzzzzz3)差分方程兩端取差分方程兩端取z變換，利用右移位性質(zhì)變換，利用右移位性質(zhì)2) 由由方方程

5、程迭迭代代出出用用變變換換求求解解需需要要用用0,1,2,1yyyyz a.由激勵引起的零狀態(tài)響應(yīng)由激勵引起的零狀態(tài)響應(yīng) 2123121 zzzzzYzs 222 zzzYzs零狀態(tài)響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)為 nunnyzYnzszs21 即即b.由儲能引起的零輸入響應(yīng)由儲能引起的零輸入響應(yīng)都成立）都成立）（對（對2 n 221312231121 yyyzzzzYZi 1223121 zzzzzzzzzYzi 01223 nnyzYnnzizi即即零輸入響應(yīng)為零輸入響應(yīng)為c.整理（整理（1）式得全響應(yīng)）式得全響應(yīng) 22112221212 zBzBzAzzzzY 222122dd!121221 zzzzzB 2222212 zzzzzY 2222212 zzzzzzzY 0 22212 nnnynnn2, 221 BA 2212 zzzzY注意由方程解由方程解y(n)表達(dá)式可以得出表達(dá)式可以得出y(