《數(shù)學分析4》課程教學大綱

1、數(shù)學分析4課程教學大綱課程名稱數(shù)學分析4課程編碼131500010課程類型（學院內(nèi)）跨專業(yè)課程適用范圍院級課程學分數(shù)3先修課程初等數(shù)學學時數(shù)48其中實驗學時其中實踐學時考核方式考試制定單位數(shù)學與信息科學學院執(zhí)筆者 審核者一、教學大綱說明（一）課程的性質(zhì)、地位、作用和任務數(shù)學分析是綜合性大學數(shù)學類各專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎課程，是從初等數(shù)學到高等數(shù)學過渡的橋梁。本課程所占學分多，跨度大（計劃共四個學期），是一門內(nèi)容豐富而整體性強、思想深刻而方法基本的課程。本課程以經(jīng)典微積分為主體內(nèi)容，其中，極限的思想貫穿全課程，它不僅為許多后繼課程提供必要的基礎知識和基本技能的訓練，而且對全面培養(yǎng)學生的現(xiàn)代數(shù)學素

2、質(zhì)以及運用數(shù)學思想和方法解決問題的能力起著十分重要的作用。本課程的任務是使學生系統(tǒng)地掌握極限理論、一元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)與多元函數(shù)微積分學等方面的知識，使學生獲得數(shù)學思想，使學生獲得數(shù)學的邏輯性、嚴密性方面的嚴格訓練，使學生掌握近代數(shù)學的方法、技巧，使學生獲得初步應用的能力,為后續(xù)課程的學習乃至畢業(yè)后能勝任相應的實際工作奠定堅實的基礎。（二）教學目的和要求本課程教學目的是通過系統(tǒng)的學習和嚴格的訓練，使學生全面掌握數(shù)學分析的基本理論知識，初步掌握現(xiàn)代數(shù)學的觀點與方法，使學生具備靈活、快捷的運算能力與技巧，培養(yǎng)學生嚴格的邏輯思維能力與推理論證能力，簡潔、清晰運用數(shù)學符號和語言的表達能力，提高建

3、立數(shù)學模型，并應用微積分這一工具解決實際應用問題的能力。在教學基本要求上分為三個檔次，即了解、理解和掌握。1、掌握能聯(lián)系幾何與物理的直觀背景，從正反兩方面理解基本概念；熟練運用基本理論進行推理論證和分析問題；熟練運用基本方法、靈活運用基本技巧進行運算和解決應用問題。包括實數(shù)與函數(shù)、各類極限、連續(xù)、（偏）導數(shù)、（全）微分、各類正常積分、數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)有關概念、性質(zhì)、計算及應用。2、理解能從正面理解基本概念；能應用和了解如何證明基本理論；能掌握基本方法解決問題，但不要求很熟練和技巧性。包括泰勒公式、函數(shù)圖像的討論、實數(shù)完備性基本定理、一般有理函數(shù)的不定積分及萬能變換、非正常積分、歐拉變換、隱函數(shù)

4、定理的證明、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、各類斂散問題中的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法、傅里葉級數(shù)、斯托克斯公式。3、了解要求能應用基本理論，不要求掌握證明方法；對基本方法一般要求會做，不要求靈活技巧。包括各類近似計算問題、上、下極限問題、可積性理論及積分在物理中的應用、數(shù)項級數(shù)的拉貝判別法，傅里葉級數(shù)的收斂定理的證明、n重積分與反常二重積分、復變量的指數(shù)函數(shù)與歐拉公式、場論初步，流形上的微積分。（三）課程教學方法與手段本課程的教學以課堂教學為主，輔以習題練習與自學?；緝?nèi)容由老師講授，通過習題課鞏固，其余部分主要是*號部分由學生自學提高。由于本課程具有強烈的幾何背景，結合培養(yǎng)目標，教學過程可恰當?shù)?/p>

5、使用現(xiàn)代教育技術手段，把傳統(tǒng)的板書與現(xiàn)代化手段相結合，重要的定理、圖表、圖像制成多媒體，利用黑板進行問題分析與推理。另外由于本課程與數(shù)學應用聯(lián)系密切，課程的教學中可適當介紹數(shù)學實驗以及數(shù)學建模的基礎內(nèi)容，提高學生應用數(shù)學建模方法來解決各種實際問題的能力。（四）課程與其它課程的聯(lián)系數(shù)學分析是綜合性大學數(shù)學類各專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎課，是從初等數(shù)學到高等數(shù)學過渡的橋梁。因此要學習本課程，需先修初等數(shù)學，而本課程的多元微積分部分需運用空間平面、直線等有關知識，故需先修空間解析幾何知識。而后繼課程包括：常微分方程、復變函數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、點集拓撲、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、物理學及其他應用數(shù)學相關課程。

6、（五）教材與教學參考書教材：華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析(第四版)(上、下冊)，高等教育出版社，2010年教學參考書：1、鄧東皋、尹小玲，數(shù)學分析簡明教程（第2版）（上、下冊），高等教育出版社，2010年2、陳紀修，數(shù)學分析（第二版）（上、下冊），高等教育出版社，2004年3、菲赫金哥爾茨，微積分學教程（第1卷）（第8版）、微積分學教程（第2卷）（第8 版）、微積分學教程（第3卷）（第8版），高等教育出版社，2006年4、James Stewart，微積分（第5版）（上、下冊），高等教育出版社，2004年5、毛羽輝、韓士安、吳畏，數(shù)學分析學習指導書（第四版）（上、下冊），高等教育出版社，201

7、1年裴禮文，數(shù)學分析中的典型問題與方法（第2版），高等教育出版社，2006年二、課程的教學內(nèi)容、重點和難點第十九章 含參量積分教學內(nèi)容：含參量正常積分、含參量反常積分的概念，含參量正常積分的性質(zhì)，含參量反常積分一致收斂概念及M判別法，歐拉積分。重點：含參量正常積分的概念與性質(zhì)，累次積分概念，含參量反常積分的一致收斂性概念（注：對于不以實變函數(shù)為后繼課程的非師范類學生可作為一般內(nèi)容）與M判別法，歐拉積分的概念、主要性質(zhì)以及簡單應用。難點：含參量反常積分的一致收斂性概念，歐拉積分的應用。第二十章 曲線積分教學內(nèi)容：第一型曲線積分概念、性質(zhì)與計算，第二型曲線積分概念、性質(zhì)與計算。重點：第二型曲線積分

8、的方向性，兩型曲線積分的計算。難點：第二型曲線積分的概念。第二十一章 重積分教學內(nèi)容：二重積分、三重積分的概念、性質(zhì)以及計算，格林公式，曲線積分與路線無關性，重積分的應用。重點：二重積分的幾何意義，直角坐標系下二重積分的計算，二重積分的變量變換（主要為線性變換，（廣義）極坐標變換），格林公式，曲線積分與路線無關性，全微分式及其原函數(shù)，三重積分化為累次積分計算，三重積分換元法（主要為：線性變換，（廣義）柱面變換，（廣義）球坐標變換）。難點：三重積分的計算，格林公式用于奇點的研究。第二十二章 曲面積分教學內(nèi)容：第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)以及計算，高斯公式與斯托克斯公式。重點：第二型曲面積分的方向性，型積分的計算，高斯公式。難點：第二型曲面積分的概念與計算，斯托克斯公式。三、學時分配教學內(nèi)容各教學環(huán)節(jié)學時分配