利用導(dǎo)數(shù)證明不等式地兩種通法

1、WORD格式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法*省*市東北師X大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校金鐘植岳海學(xué)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關(guān)的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f ( x) g( x) f ( x) g( x) 的問題 轉(zhuǎn) 化 為 證 明 f ( x)g( x) 0 f (x)g( x) 0 ， 進(jìn) 而 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù)h( x) f (x) g(x) ，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x) 的單調(diào)性或證明函數(shù) h(x) 的最小值最大值大于或等于零小于或

2、等于零。例 1 x(0,2) ，求證： sin xxtan x分析：欲證 sin xx tan x ，只需證函數(shù)f ( x)sin xx 和 g( x) xtan x 在 (0,) 上2單調(diào)遞減即可。證明：令 f (x)sin xx，其中 x(0,)2那么 f / ( x)cosx1 ，而x(0, )cos x1cos x102所以 f ( x)sin xx 在 (0,) 上單調(diào)遞減，即f (x)sin xxf (0)0所以 sin xx ；2令 g( x)xtan x，其中 x(0,)12那么 g / ( x)1tan 2 x 0 ，所以 g(x)xtan x 在 (0,) 上單調(diào)遞減，co

3、s2x2即 g( x)xtan xg(0)0所以 x tan x 。綜上所述， sin xx tan x評(píng)注：證明函數(shù)類不等式時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)比較容易，只需將不等式的其中一邊變?yōu)?，然后另一邊的函數(shù)作為輔助函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性或其最值，進(jìn)而構(gòu)造我們所需的不等式的構(gòu)造即可。根據(jù)不等式的對(duì)稱性，本例也可以構(gòu)造輔助函數(shù)為在(0, ) 上是單2調(diào) 遞 增 的 函 數(shù) 如 ： 利 用 h( x)xsin x 在 (0,) 上是單調(diào)遞增來證明不等式2sin *，另外不等式證明時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)值也可以不是我們所需要的最恰當(dāng)?shù)闹当确綄I(yè)資料整理WORD格式此例中的f (0) 也可以不是0，而是便于放大的正

4、數(shù)也可以。因此例可變式為證明如下不等式問題： x(0,) ，求證： sin x1xtan x12證明這個(gè)變式題可采用兩種方法：第一種證法：運(yùn)用本例完全一樣的方法證明每個(gè)不等式以后再放縮或放大，即證明不等式專業(yè)資料整理WORD格式sin xx 以后，根據(jù) sin x1sin x第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)x 來證明不等式f ( x)s i nxsin x1 x和1x ；g( x)xtan x1， 其 中專業(yè)資料整理WORD格式x (0,)2然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大如：f ( x) sin x 1 xf (0)1 0例 2 求證：ln( x1)x分析：令f ( x)ln( x1)x，經(jīng)過

5、求導(dǎo)易知，f ( x) 在其定義域( 1,) 上不單調(diào)，但可以利用最值證明不等式。證明：令 f ( x)ln( x1)x函數(shù) f(x) 的定義域是(1,) ,f '11f '(x)= 1x.令(x)=0 ，解得 x=0 ，當(dāng)-1<x<0時(shí) ,f ' (x)>0, 當(dāng) x>0 時(shí), f ' (x)<0 ，又 f(0)=0 ，故當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)， f(x) 取得最大值，最大值是0所以 f (x)ln( x1)xf (0) 0即 ln( x1)x二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不

6、等式f (a)f (b) 的問題，在根據(jù)a,b 的不等式關(guān)系和函數(shù)f (x) 的單調(diào)性證明不等式。例 3 m n0,a, bR 且(a 1)(b 1) 0求證： (anbn ) m(ambm )n分析：(anbn )m( ambm) nln( anbn )mln( ambm ) nm ln( anbn )n ln( ambm)專業(yè)資料整理WORD格式ln( anbn )ln( ambm )nmf (n)f (m)*ln(ab )f (x)在0，上是減函數(shù)xm>n>0證明：令 f (x)ln( axbx )( x0)xx ax ln abx ln bln( axbx )x(axln

7、abxln b)(axbx)ln( axbx)那么f/( x)axbxx2x2 (a xbx )ax lna xaxbx lnbxax lnaxbxbx lnaxbxbxaxbxa xbxaxbxx2 (axb x)x2 ( axb x )0所以， f ( x)ln( axbx ) 在0，上是減函數(shù)x又因?yàn)?mn0，所以 f (n)f (m)即ln( anbn )ln( ambm)nmm ln(anbn )n ln( ambm )ln( anbn )mln(ambm ) n即 (anbn )m(ambm )n評(píng)注：利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)

8、性證明問題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。通過本例，不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是一樣構(gòu)造的式子本例經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的不等式ln( anbn ) ln(ambm )nm的兩邊都是一樣式子 ln( axbx)的構(gòu)造，所以可以構(gòu)造輔助函數(shù)f ( x)ln( axbx ) ，這樣根據(jù)“一樣結(jié)xx專業(yè)資料整理WORD格式構(gòu)可以構(gòu)造輔助函數(shù)。專業(yè)資料整理WORD格式例 4 0，求證：tan1tantan12tan分析：欲證 tan1tan1，只需證tantan不然沒法構(gòu)造輔助函tantantantan數(shù)，即 tantan,tantan，那么需證

9、函數(shù)f (x)tan x , g (x) x tan x 都x在函數(shù)區(qū)間 (0,) 上單調(diào)遞增即可。2tan x證明：設(shè) f ( x)， x(0,)x2那么 f / ( x)x sec2xtan xxsin x cos xx2x2 cos2 x由例 1 知，x (0,)xsin xsin xcos xxsin xcos x02tan x 在(0,即 f /( x)0 ，所以f ( x) 上單調(diào)遞增，而 02x2所以 tantan，即 tan，進(jìn)而得到tan1tantan設(shè) g( x)x tan x ， x(0,)2那么 g / ( x)tan xxsec2 x ，又因?yàn)閤 (0, )，所以 g

10、 / ( x)0 ，2進(jìn)而 g(x)x tan x 在 (0,) 上單調(diào)遞增，而 022所以tantan，即tantan1，進(jìn)而得到tantan綜上所述 tan1tan1tantan三、同步練習(xí)題當(dāng)x1時(shí) 求證:2x311,x2 a,b 為實(shí)數(shù)，并且 e<a<b，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底，證明：abba3函數(shù)f (x)exln( x1)1 x0專業(yè)資料整理WORD格式1求函數(shù)f (x) 的最小值；專業(yè)資料整理WORD格式2假設(shè)0yx ，求證：ex y1ln( x1)ln( y1)4求證：(eee )(e ) e參考答案：1證明：要證 2x31，只要證 4x 3(3x1)2 ( x1

11、) ,x即證 4x3(3x1) 24x39x 26x1f (x) 0,那么當(dāng) x1時(shí)，f'()6(2x33x1)6(2x1)(x1)0 ,xf (x)在(1,) 上遞增，f (x)f (1)0 即 f (x)0成立，原不等式得證2證明：當(dāng) e<a<b 時(shí)， 要證abba， 只要證 b ln aa ln b ,即只要證 ln aln bab考慮函數(shù) yln x (0x) 。因?yàn)楫?dāng)x e時(shí)，1ln xxln x在 (e,y0, 所以函數(shù) y) 內(nèi)是減函數(shù)x 2x因?yàn)?e<a<b，所以ln aln b ，即得abbaab3 1最小值為 02因?yàn)?yxxy0 ，而由 1知，對(duì)x0 ，恒有 f ( x)0 ，所以不等式f ( xy)0 恒成立即 ex yln( xy1)10所以 exy1ln( xy1)又因?yàn)閘n( x y1)ln( y 1)(xy1)ln( y1)ln( x1)y( x y)ln( y1)ln( x1)ln( y1)(y( xy) 0)所以 exy1ln( x1)ln( y1)證明：設(shè) f ( x)ln( xex )(x0) ，x專業(yè)資料整理WORD格式xx lnexln(xex )'(x)xex那