計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 曲線

1、第九講第九講 曲線曲線1 Hermite曲線曲線2 Bezier曲線曲線1 Hermite曲線曲線Hermite曲線是給定曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)以曲線是給定曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)以及兩端點(diǎn)處的切線矢量來描述曲線?？臻g一及兩端點(diǎn)處的切線矢量來描述曲線?？臻g一條三次參數(shù)曲線可以表示為：條三次參數(shù)曲線可以表示為： 323232tdtctbaztdtctbaytdtctbaxzzzzyyyyxxxx該曲線的矢量表達(dá)式為：該曲線的矢量表達(dá)式為： 32)(tAtAtAAt3210pp上式為三次曲線的代數(shù)形上式為三次曲線的代數(shù)形式式,Ai(i,Ai(i=0,1,2,3)=0,1,2,3)成為代數(shù)系數(shù)成為代數(shù)系數(shù)

2、. . 1031020100pppppppppp)(22)(30101AAAA32323232332210)2(23)231 ()(ttttttttttAtAtAAt1010pppppp1010pppppp1122123301000001 1)(32tttt矩陣表達(dá)式為矩陣表達(dá)式為 ：于是，于是，31310132AAAAAAAAA2121000pppp應(yīng)用端點(diǎn)應(yīng)用端點(diǎn)P0P0和和P1P1，以及端點(diǎn)切矢，以及端點(diǎn)切矢P0P0和和P1,P1,可得：可得：解得，解得，上式是三次Hermite(Ferguson)曲線的幾何形式，幾何系數(shù)是P0、P1、P0和P1。32323232332210)2(23)

3、231 ()(ttttttttttAtAtAAt1010pppppp代入代入得到得到 把F0,F1,G0,G1稱為調(diào)和函數(shù)（或混合函數(shù)），即該形式下的三次Hermite 基。 F0和F1專門控制端點(diǎn)的函數(shù)值對曲線的影響，而同端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值無關(guān)；G0和G1則專門控制端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值對曲線形狀的影響，而同端點(diǎn)的函數(shù)值無關(guān)?；蛘哒f，F(xiàn)0和G0控制左端點(diǎn)的影響，F(xiàn)1和G1控制右端點(diǎn)的影響。下圖給出了這四個(gè)調(diào)和函數(shù)的圖形。Hermite Hermite曲線的程序設(shè)計(jì)曲線的程序設(shè)計(jì) Hermite曲線是給定曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)以及兩曲線是給定曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)以及兩端點(diǎn)處的切線矢量，利用它的參數(shù)表達(dá)式在區(qū)

4、間端點(diǎn)處的切線矢量，利用它的參數(shù)表達(dá)式在區(qū)間(0,1)內(nèi)取多個(gè)值，例如內(nèi)取多個(gè)值，例如100，計(jì)算出這，計(jì)算出這100個(gè)值對應(yīng)的坐標(biāo)個(gè)值對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，依次連接這些點(diǎn)就得到一條點(diǎn)，依次連接這些點(diǎn)就得到一條Hermite曲線。曲線。為程序設(shè)計(jì)方便，先計(jì)算各個(gè)系數(shù)為程序設(shè)計(jì)方便，先計(jì)算各個(gè)系數(shù):最后代入下式計(jì)算最后代入下式計(jì)算:32)(tAtAtAAtxxxxx321032)(tAtAtAAtyyyyy3210 xxxxxxxxxxxxxxAAAA1031020100pppppppppp)(22)(31001yyyyyyyyyyyyyyAAAA1031020100pppppppppp)(22)(31

5、0012 Bezier曲線曲線 1962年，年，Bezier提出了一種自由曲線曲面提出了一種自由曲線曲面的設(shè)計(jì)方法，稱為的設(shè)計(jì)方法，稱為Bezier方法。其具體設(shè)計(jì)過方法。其具體設(shè)計(jì)過程是：程是： 從模型或手繪草圖上取得數(shù)據(jù)后，用繪圖從模型或手繪草圖上取得數(shù)據(jù)后，用繪圖工具繪出曲線圖，然后從這張圖上大致定出工具繪出曲線圖，然后從這張圖上大致定出Bezier特征多邊形各控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，并輸特征多邊形各控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，并輸入計(jì)算機(jī)進(jìn)行交互的幾何設(shè)計(jì)，調(diào)整特征多邊入計(jì)算機(jī)進(jìn)行交互的幾何設(shè)計(jì)，調(diào)整特征多邊形頂點(diǎn)的位置，直到得出滿意的結(jié)果為止；最形頂點(diǎn)的位置，直到得出滿意的結(jié)果為止；最后用繪圖機(jī)繪出

6、曲線樣圖。后用繪圖機(jī)繪出曲線樣圖。2.1 Bezier曲線定義曲線定義在空間給定在空間給定n+1個(gè)控制頂點(diǎn)個(gè)控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,n)，稱下列，稱下列 參參數(shù)曲線為數(shù)曲線為n次次Bezier曲線。曲線。) 10 ()()(0,ttBPtPninii 1t0 1,iininnittCtB!ininCin tBni,稱為伯恩斯坦基函數(shù)（稱為伯恩斯坦基函數(shù)（Bernstein Basis）。）。一般稱折線一般稱折線nPPP10為為P(t)的控制多邊形；稱的控制多邊形；稱nPPP,10各點(diǎn)為各點(diǎn)為P(t)的控制頂點(diǎn)。的控制頂點(diǎn)。 （3）三次）三次Bezier曲線曲線常用常用 的三次的三次Bezie

7、r曲線，由曲線，由4個(gè)控制頂點(diǎn)確定。容易算個(gè)控制頂點(diǎn)確定。容易算出，與其對應(yīng)的出，與其對應(yīng)的4個(gè)個(gè)Bernstein基函數(shù)為：基函數(shù)為： 33 , 323 , 223 , 133 , 0 1313 1ttBtttBtttBttB相應(yīng)的相應(yīng)的Bezier 曲線為曲線為 3322120313131PtPttPttPttP 32102300010033036313311 t tPPPPttP（1）一一次次Bezier曲線曲線 二次二次Bezier曲線由三個(gè)控制頂點(diǎn)確定，此時(shí)，曲線由三個(gè)控制頂點(diǎn)確定，此時(shí)，相應(yīng)的曲線表達(dá)式為相應(yīng)的曲線表達(dá)式為 22102121PtPttPttP對應(yīng)于一條拋物線。對應(yīng)于

8、一條拋物線。（2）二二次次Bezier曲線曲線 一次一次Bezier曲線由兩個(gè)控制頂點(diǎn)確定，此時(shí)，曲線由兩個(gè)控制頂點(diǎn)確定，此時(shí)，相應(yīng)的曲線表達(dá)式為相應(yīng)的曲線表達(dá)式為 101tPPttP這是一條連接這是一條連接P0和和P1的直線段。的直線段。2. 2 Bezier曲線的程序設(shè)計(jì)曲線的程序設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用的主要是三次實(shí)際應(yīng)用的主要是三次Bezier曲線。利用它的參數(shù)表曲線。利用它的參數(shù)表達(dá)式在區(qū)間達(dá)式在區(qū)間(0,1)內(nèi)取多個(gè)值，例如內(nèi)取多個(gè)值，例如100，計(jì)算出這，計(jì)算出這100個(gè)值對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，依次連接這些點(diǎn)就得到一條個(gè)值對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，依次連接這些點(diǎn)就得到一條Bezier曲線。曲線。為程序設(shè)計(jì)方便，

9、改寫曲線的表達(dá)式為：為程序設(shè)計(jì)方便，改寫曲線的表達(dá)式為： 33221203332212031313113131ytyttyttyttyxtxttxttxttx321032102101003336333xxxxAxxxAxxAxA321032102101003336333yyyyByyyByyByB 1t0 332210332210tBtBtBBtytAtAtAAtx注意：再添加一個(gè)注意：再添加一個(gè)z 坐標(biāo)，就可得到空間坐標(biāo)，就可得到空間Bezier曲線曲線。2.3 Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)在在Bernstein基函數(shù)基函數(shù) 1t0 1,iininnittCtB中，中， n為基本曲線的次

10、數(shù)，為基本曲線的次數(shù)， i為基函數(shù)的序號(hào)。由排列組合為基函數(shù)的序號(hào)。由排列組合和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)律可以推導(dǎo)出和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)律可以推導(dǎo)出Bernstein基函數(shù)的如下性質(zhì)：基函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）正性（非負(fù)性）：）正性（非負(fù)性）： 0,tBni（2）權(quán)性：）權(quán)性： ninitB0,1（3）對稱性：）對稱性： tBtBninni1,（4）導(dǎo)數(shù)性質(zhì)：）導(dǎo)數(shù)性質(zhì)： 11,1, 1,tBtBntBninini（5）遞推性質(zhì)：）遞推性質(zhì)： tBtBttBninini1, 11,110 tBezier曲線的一些性質(zhì)：曲線的一些性質(zhì)：1）端點(diǎn)性質(zhì)）端點(diǎn)性質(zhì)曲線經(jīng)過特征多邊形的首末點(diǎn)。因?yàn)榍€經(jīng)過特征多邊形的首末點(diǎn)。因

11、為 1 ,00nPPPP曲線曲線P(t)在在P0點(diǎn)與邊點(diǎn)與邊P0P1相切，在相切，在Pn 點(diǎn)與點(diǎn)與 1011 ,0nnPPnPPPnP2）對稱性）對稱性由由Bernstein基函數(shù)的對稱性可知，控制點(diǎn)的次序完基函數(shù)的對稱性可知，控制點(diǎn)的次序完全顛倒過來后，曲線的形狀不變，但走向相反。這全顛倒過來后，曲線的形狀不變，但走向相反。這表明表明,同一特征多邊形定義的同一特征多邊形定義的Bezier曲線是惟一的曲線是惟一的.nnPP1相切。因?yàn)橄嗲?。因?yàn)椋?） 凸包性凸包性所以，所以，P(t)是是P0,P1,Pn凸線性組合。凸線性組合。 這證明這證明Bezier曲線曲線完全被包在其特征多邊形的凸包內(nèi)。完

12、全被包在其特征多邊形的凸包內(nèi)。niniiiiinir00, 1 , 010 , 1|所以，控制頂點(diǎn)所以，控制頂點(diǎn)P0,P1,Pn的凸包為的凸包為:niniiiiiniP00, 1 , 010 , 1|（5）交互能力）交互能力（4） 幾何不變性幾何不變性由給定控制頂點(diǎn)所確定的由給定控制頂點(diǎn)所確定的Bezier曲線的形狀與坐標(biāo)曲線的形狀與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。此性質(zhì)就是系的選取無關(guān)。此性質(zhì)就是Bezier曲線的幾何不變曲線的幾何不變性。性。幾何不變性對幾何圖形來說是一種很重要的性質(zhì)。幾何不變性對幾何圖形來說是一種很重要的性質(zhì)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常要作坐標(biāo)變換，如果同一表在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常要作坐標(biāo)變換

13、，如果同一表示式在不同坐標(biāo)系下表示不同的曲線，則會(huì)給圖形示式在不同坐標(biāo)系下表示不同的曲線，則會(huì)給圖形變換帶來很多不便之處。變換帶來很多不便之處。控制多邊形控制多邊形P0P1Pn大致地勾畫出大致地勾畫出Bezier曲線曲線P(t)的形狀。的形狀。 要改變要改變P(t)的形狀，只要改變的形狀，只要改變P0,P1,Pn的位置即可的位置即可。（6）變差減小性）變差減小性（7）保凸性）保凸性如果如果Bezier曲線曲線P(t)的控制多邊形的控制多邊形P0P1Pn是一平面圖是一平面圖形，則該平面內(nèi)的任意直線與形，則該平面內(nèi)的任意直線與P(t)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與控制多邊形該直線與控制多

14、邊形P0P1Pn交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)稱為變差減小性。稱為變差減小性。 此性質(zhì)說明此性質(zhì)說明Bezier曲線比控制多邊曲線比控制多邊形所在的折線更光順。形所在的折線更光順。如果平面上的凸控制多邊形能導(dǎo)致所生成的曲線為凸如果平面上的凸控制多邊形能導(dǎo)致所生成的曲線為凸曲線，則稱這個(gè)曲線生成的方法具有保凸性。曲線，則稱這個(gè)曲線生成的方法具有保凸性。我們將控制多邊形的終點(diǎn)與起點(diǎn)連起來，如果這樣形我們將控制多邊形的終點(diǎn)與起點(diǎn)連起來，如果這樣形成一個(gè)閉的凸多邊形，則相應(yīng)的成一個(gè)閉的凸多邊形，則相應(yīng)的Bezier曲線是一個(gè)凸曲線是一個(gè)凸的平面曲線。此性質(zhì)就是的平面曲線。此性質(zhì)就是Bezie

15、r 曲線的保凸性。曲線的保凸性。 2 2. 4 4 三次三次BezierBezier曲線的拼接曲線的拼接三次三次BezierBezier曲線曲線的拼接，工程上經(jīng)常采用分段繪制三次曲線曲線的拼接，工程上經(jīng)常采用分段繪制三次BezierBezier曲線，然后將分段的曲線，然后將分段的BezierBezier曲線連接起來，形成曲線連接起來，形成BezierBezier樣條曲線。樣條曲線。設(shè)有兩條設(shè)有兩條BezierBezier曲線曲線Q1(t)Q1(t)和和Q2(t)Q2(t)，其特征多邊形頂點(diǎn)分別，其特征多邊形頂點(diǎn)分別為：為：1 1、2 2、3 3、4 4和和R1R1、R2R2、R3R3、R4R4

16、，如圖。，如圖。曲線間連接的光滑度的度量有兩種：1）n階參數(shù)連續(xù)性（Cn）：在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即n階連續(xù)可微。2）n階幾何連續(xù)性（Gn）：比Cn弱的連續(xù)性。Cn一定Gn。設(shè)兩段曲線P(t)和Q(t) （0=t=1）當(dāng)P(1)=Q(0)時(shí)， C0 ，G0連續(xù)。當(dāng)C0 （G0）連續(xù)，P(1)=aQ(0)時(shí)， G1連續(xù)。當(dāng)C0 （G0）連續(xù)，P(1)=Q(0)時(shí)， C1連續(xù)。當(dāng)C0 ,C1連續(xù)，P(1)=aQ(0)時(shí)， G2連續(xù)。當(dāng)C0 ,C1連續(xù)，P(1)=Q(0)時(shí)， C2連續(xù)。一般，在曲線、曲面造型中，只用到G1 ， C1和G2 ， C2。Q1(t)=Q2(t)Q1(t)=Q2(t

17、)P4P4P3=(R2P3=(R2R1)R1)1 1）GG連續(xù)連續(xù)根據(jù)端矢量條件，對根據(jù)端矢量條件，對Q1(t)Q1(t)曲線則有：曲線則有：Q1(t)=3(P4Q1(t)=3(P4P3)P3) Q Q2(t)=3(R2R1) 共點(diǎn)：共點(diǎn)：P4P4和和R1R1共點(diǎn)。共點(diǎn)。 共線：共線：P3P3、P4(R1)P4(R1)、R2R2三點(diǎn)共線。三點(diǎn)共線。 Q1(t) Q1(t)為為Q2(t)Q2(t)長度的長度的倍。倍。2 2）C C 連續(xù)連續(xù) 若若Q1(t)Q1(t)曲線為曲線為m m次，而次，而Q2(t)Q2(t)曲線為曲線為n n次，則有：次，則有： 為滿足連續(xù)性條件，應(yīng)有：為滿足連續(xù)性條件，應(yīng)有：Q2(t)=kQ2(t)Q2(t)=kQ2(t) 亦即：亦即： P2 P2、P3P3、P4(R1)P4(R1)、R2R2、R3R3四點(diǎn)共面。四點(diǎn)共面。 在連接處兩曲線的曲率相等在連接處兩曲線的曲率相等)2)(1()0()2)(1() 1 (01221RRRnnQPPPmmQmmm 反算Bezier曲線控制點(diǎn) 給定n+1個(gè)型值點(diǎn)Qi(i=0,1,2 ,n)，求過Q的Bezier曲線的控制點(diǎn)Pi (i=0,1,2 ,n)，參數(shù)t=i/n與Qi點(diǎn)相對應(yīng)，來反算Pi 。 Q0=P0 Qi= + + + i=1,2 ,n Q=P