遞推公式求通項公式的幾種方

1、由遞推公式求通項公式的常用方法由數(shù)列的遞推公式求通項公式是高中數(shù)學的重點問題，也是難點問題，它是歷年高考命題的熱點題。對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數(shù)列。方法一：累加法形如an+1anf(n)（n2,3,4,）,且f(1)f(2)f(n-1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后利用這種方法求解。例1：（07年北京理工農醫(yī)類）已知數(shù)列an中，a12,an1ancn(c是常數(shù)，n1,2,3,)且a1,a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列（1）求c的值（2）求an的通項公式解：（1）a

2、1,a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列 （2）由（1）知，將n1,2, ,n1,分別代入 將上面n1個式子相加得ana12(123n1)n2n又a12,ann2n2方法二：累乘法形如g(n)（n2,3,4），且f(1)f(2)f(n1)可求，則用累乘法求an.有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例2：設an是首項為1的正項數(shù)列，且(n1)an12nan2an1an0(n1,2,3)，求它的通項公式。解：由題意知a1=1,an0(n1,2,3)由(n1)an12nan2an1an0得(an1an)(n1)an1nan0因為an0，則an1an0，所以 = ,將n1,2, ,n1

3、,分別代入得 = = = 將上面n1個式子相乘得， ×××又a1=1，則an點評：本題先由已知求出遞推公式，化成了g(n)的類型，再利用累乘法求通項公式。方法三：構造新數(shù)列法構造新數(shù)列法：將遞推關系經過適當?shù)暮愕茸冃无D化為特殊數(shù)列的遞推關系（等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列或等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和形式），以下類型均采用這種解法。類型一: an1AanB(A,BR,A0) 線性遞推關系 當A0，B0時，an1Aan是以A為公比的等比數(shù)列；當A0，B0時，an1AanB可變形為an1A（an），此時就構造出了an這樣一個以a1為首項，以A為公比的新的等比數(shù)列，從而求出an

4、。例3：（07年全國理科卷）已知數(shù)列an中，a12, an1（1）（an2）n1,2,3,，求an的通項公式。解：由題設：an1（1）（an2）變形為an1=（1）（an）所以數(shù)列an是首項為2公比為1的等比數(shù)列，則an（1）n 即an的通項公式為an（1）n1類型二：an1pancqn(其中p,q,c均為常數(shù))方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an1xqn+1p(anxqn ),將遞推關系an1pancqn待入得pancqnxqn+1p(anxqn )解得x,則由原遞推公式構造出了an1·qn+1p(an·qn )，而數(shù)列an·qn是以為首相以為公比的

5、等比數(shù)列。方法二：將an1pancqn兩邊分別除以qn+1,則有 然后利用累加法求得?？梢妼τ谕粋€題型的構造的新數(shù)列類型可能不唯一，所以要注意巧妙構造。例4：（07年唐山二摸）在數(shù)列an中，a1，anan· (nn*,n2) ,求an的通項公式。解：由anan·可變形為an+(an),則數(shù)列 an+是以為a1+首項以為公比的等比數(shù)列,根據等比數(shù)列的通項公式得an+ （）n因此an 類型三：an2pan1qan(其中p,q均為常數(shù))方法：先把原遞推公式轉化為an2san1= t(an1san)，其中s,t滿足，再利用等比數(shù)列來求解。例5：已知數(shù)列an中, a1=1, a2=

6、2, an2an1an, 求an的通項公式。解：由an2an1an可轉化為an2san1= t(an1san)即an2（st）an1s· tan,解得或這里不妨選用（當然也可以選用）an2an1= (an1an)所以an1an是以a2a11為首項, 為公比的等比數(shù)列，所以an1an()n-1 再用累加法ana1()0()1+()n-2又a1=1，因此an()n-1上面給大家介紹了由遞推公式求通項公式常用的三種方法（累加法、累乘法和構造新數(shù)列法）以及幾種典型類型題。構造新數(shù)列法比較簡捷，但如果觀察不到結構的特殊性，就想不到構造的新數(shù)列，所以仔細觀察結構的特征是運用這種方法解決求通項公式的問題的關鍵所在。如果構造新數(shù)列難度較大時也可采用迭代法求通項公式，迭代法即根據遞推公式循環(huán)代入，一直代到首項為止，上面這些類型的問題大都也可采用此種方法求解。有時由遞推公式求通項公式還可以用猜想歸納法，即利用數(shù)列的遞推公式求出前幾項，根據前幾項猜想出通項公式，然后運用數(shù)學歸納法證明其正確性。需要說明的是以上這些方法都有一定的局限性，求解時要注意靈活運用。配套練習：1、已知數(shù)列an滿足a1，an1an ,求an。2、（04年唐山）已知數(shù)列an滿足a11，2n-1anan1(nN, n2)，求an。3、（06年福建卷）已知數(shù)列an滿足a11，an12an1（n2），求an。4、已知