材料力學第五章

1、51 梁彎曲時的正應力梁彎曲時的正應力52 慣性矩的計算慣性矩的計算53 彎曲時的強度計算彎曲時的強度計算56 梁彎曲時的切應力梁彎曲時的切應力54 提高梁抗彎強度的措施提高梁抗彎強度的措施第五章第五章 彎曲應力彎曲應力內(nèi)力內(nèi)力剪力剪力FS彎矩彎矩MMFS 純彎曲純彎曲: : FS =0 ， M00正應力正應力 切應力切應力 橫力彎曲：橫力彎曲： FS 00， M0051 梁彎曲時梁彎曲時的正應力的正應力AB段純彎曲段純彎曲FSx+FFMx+F aFFaaAB純彎曲純彎曲(Pure Bending)平面彎曲平面彎曲縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面F1F2一、一、 純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面

2、上的正應力1.1.梁的純彎曲實驗梁的純彎曲實驗 橫向線橫向線( (mn、mn）變形）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，橫向線與縱向線變?yōu)榍€，橫向線與縱向線變形后仍正交。向線變形后仍正交。變形幾何規(guī)律：變形幾何規(guī)律：bnamabnmababMMnmnm橫截面變形后仍為平面。橫截面變形后仍為平面。2. .平面假設平面假設bnamabnmababMMnmnm設想梁由無數(shù)根平行于設想梁由無數(shù)根平行于軸線的縱向纖維組成，變形軸線的縱向纖維組成，變形后，上部纖維縮短，下部纖后，上部纖維縮短，下部纖維伸長。維伸長。有一層纖維變形后不有一層纖維變形后不伸長也不縮短。伸長也不縮

3、短。3. .兩個概念兩個概念中性層：梁內(nèi)既不伸長也不縮短的一層纖維，此層纖維中性層：梁內(nèi)既不伸長也不縮短的一層纖維，此層纖維稱中性層。稱中性層。中性軸中性軸中性軸：中性層與橫截面的交線。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層中性層2022-3-249（一）變形幾何關系：（一）變形幾何關系：xbbld ll ddd)( ybbnamanmdx建立坐標系建立坐標系變形前：變形前：變形后：變形后： d)(y a babMMnmnm ybbl 1 y d（1） dlll 1 伸長量：伸長量：線應變：線應變：xxyddd)( xydd)( y y中性層中性層中性軸中性軸zyxy（二）物理關系：（二）物理關

4、系：假設：縱向纖維無擠壓。假設：縱向纖維無擠壓。(2) yE 當當 - - 曲線曲線 P 式中：式中：E和和 為常數(shù)，所以橫截面上正應力與為常數(shù)，所以橫截面上正應力與 y 成正比。成正比。xyz時時，P E y（三）靜力關系：（三）靜力關系： zyxzyxMMMFFF0（1）0（2）M（3）M橫截面上的正應力組成一個橫截面上的正應力組成一個空間平行力系，向一點簡化：空間平行力系，向一點簡化：000 xyzFxMyMz xyz xF 0 0 zSE所所以以，由由于于 yMyAMAz)d( ydA dA AxAFd AAyE d AAyEdzSE 0 0 （1）0（2）M （3）由（由（1）式）式

5、軸軸通通過過截截面面形形心心中中性性 )( zAd AzzA )d( A yE xyzFxMyMzzAMAy)d( （平面彎曲，（平面彎曲，Iyz=0）yAMAz)d( EIz 梁的抗彎剛度。梁的抗彎剛度。由（由（2）式）式由（由（3）式）式zIyM （5-2） AAEyzd AAyzEd yzEI AAyEd2 zEI M zzEIM 1（5-1）0 yE AAEyd2 yE xyzydA dAzzIyM （5-2）xyz MM純彎曲時正應力的計算公式純彎曲時正應力的計算公式hFlAB對于橫力彎曲，當對于橫力彎曲，當 5 時，按純彎曲時的公式計算正應時，按純彎曲時的公式計算正應力，誤差不超過

6、力，誤差不超過1%。hl二、橫力彎曲時的正應力二、橫力彎曲時的正應力 zIyM 52 慣性矩的計算慣性矩的計算一、簡單截面的慣性矩一、簡單截面的慣性矩 AAyIzd2定義：定義：Iz稱為圖形對稱為圖形對z軸的慣性矩軸的慣性矩（量綱：（量綱：長度長度4）dAzyyz例例2計算矩形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。計算矩形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。yzChbdAyyzAddd AzAyId2解：解： Ayzydd2 22 22 2dbbhhzdyy123bh 123bhIz Ayzydd2計算圓形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。計算圓形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。Cdzy例例3 d dA

7、ddd A解：解： AzAyId2 sin y AzI dd)sin(2 d)(sind202203 d d22cos1d20203 d644dIz yzII 計算空心圓對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。計算空心圓對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。例例DzyCd ddIDdz 202223)(sin ddDd 2022322cos1646444dDIz )1(6444 DIz)(Dd 解：解：二、慣性半徑二、慣性半徑AiIzz2 AiIyy2 iz和和iy分別稱為圖形對于分別稱為圖形對于z軸和軸和y軸的慣性半徑軸的慣性半徑。, AIizz AIiyy 圓截面：圓截面：AIizz 4d 46424d

8、d 三、組合圖形的慣性矩三、組合圖形的慣性矩Czy ziICzy1213 AzAyId2 iAAy d2dACzCyCyCzC, CzI四、四、 平行移軸公式平行移軸公式已知：已知：zayb zI求：求：AaIIczz 2ba ,注意注意: C點必須為形心點必須為形心例例計算圖示圖形對其形心軸計算圖示圖形對其形心軸z軸的慣性矩。軸的慣性矩。Czy28105040單位：單位：cm解：解：yz112AyAyii 212121AAyAyA 25504010252850554010 cm)(7 .31 izzII zzII 例例計算圖示圖形對其形心軸計算圖示圖形對其形心軸z軸的慣性矩。軸的慣性矩。Cz

9、y28105040單位：單位：cmyz112 1210403zI)(1021. 254cm a2)7 .3155(1040 解：解：AyAyii 212121AAyAyA 25504010252850554010 cm)(7 .31 izzII zzII Czy28105040單位：單位：cmyz112 1250283zI)(1054. 354cm )(1075. 510)54. 321. 2(554cm a2)257 .31(5028 zzzIII 1210403zI)(1021. 254cm 2)7 .3155(1040 izzII zzII 1216123zI)cm(10656. 243

10、 例例計算圖示圖形對其形心軸計算圖示圖形對其形心軸z軸的慣性矩。軸的慣性矩。zCy28612單位：單位：cm68解解：1212103 122851803 zI例例計算圖示圖形對其形心軸計算圖示圖形對其形心軸z軸的慣性矩。軸的慣性矩。解：解：2)3 .1125 .142(285180 101010180285CyCyzz1)(mm3 .112 )(mm10622044 zIAyAyiiC 212121AAyAyA 275160285180 5 .1422851805 .147275160 12275160 3 2)3 .1125 .147(275160 max zWMmaxmax 53 彎曲時的

11、正應力強度計算彎曲時的正應力強度計算 hFlAB maxMzIyMmaxmax max : yIWzz 記記zWM max Wz稱為抗彎截面系數(shù)稱為抗彎截面系數(shù)zIyM 彎曲正應力強度條件彎曲正應力強度條件6 2bhWz bhzy矩形：矩形：2 ,12max3hybhIz 抗彎截面系數(shù)：抗彎截面系數(shù)：32 3dWz )1(32 43 DWzDd 空心圓：空心圓：實心圓：實心圓：2 ,64max4dydIz 2 maxDy dzyDdzy, )1(6444 DIz32 3dWz )1(32 43 DWzDd 空心圓空心圓實心圓實心圓644dIz 2 maxDy zdy )1(6444 DIz矩形

12、矩形抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù)bhzy6 2bhWz 123bhIz Ddzy2 maxdy 2 maxhy 例例11 圖示起重機大梁，圖示起重機大梁，Q235鋼，鋼， =170MPa，小車和重，小車和重物重量物重量F=265kN，l=4m，求求：1）設計）設計h/b=1.5的矩形截面梁；的矩形截面梁； 2）選擇工字鋼型號：）選擇工字鋼型號： 3）比較這兩種截面梁的耗材。）比較這兩種截面梁的耗材。hbzy解：解：(1)(1)當小車在跨中時梁最危險。當小車在跨中時梁最危險。zyFABl求支座反力求支座反力, ,畫彎矩圖。畫彎矩圖。Mm)(kN+265ABl/2l/2CFFABl/2l/2C(2)(

13、2)矩形截面梁矩形截面梁zWMmaxmax zWMmaxmax 62maxbhM 32max5 . 16bM b )mm(8 .160 )mm(2 .241 h(3)(3)工字形截面梁工字形截面梁zW )cm(15593 zyhbzy32max5 . 16 Mmax M查表，選擇查表，選擇No.45c.45c工字鋼工字鋼3cm1570 zWMm)(kN+265 工工矩矩AA23. 3 (4)(4)比較耗材比較耗材工字鋼耗材是矩形截面梁的三分之一。工字鋼耗材是矩形截面梁的三分之一。zy120002 .2418 .160 hbzyF+WABl例例5-5(P138)已知：已知：F=70kN， W=1

14、5kN， l=10.5m，大梁由，大梁由45a工工字鋼制成，字鋼制成， =140MPa，校核梁的強度。若強度不校核梁的強度。若強度不夠，計算其可能承載的起重量夠，計算其可能承載的起重量F。zy450解：解：小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大PABlF+WABl/2l/24)(maxlWFM mkN 223 223mkN +mkN 223max M3610143010223 zWMmaxmax 解：解：PABlF+WABl/2l/2小車在跨中時，梁內(nèi)彎小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大，矩最大，223mkN +3cm 1430 zW查表得查表得)MPa(156 不安全。不安全。zWMm

15、axmax maxMzW 3101430140 200 mkN F 3 .61 kNF+WABl例例5-6(P139)已知：已知：F=70kN， W=15kN, l=10.5m, =140MPa，大大梁由梁由45a工字鋼制成，用工字鋼制成，用10010mm的鋼板加強，校的鋼板加強，校核梁的彎曲正應力強度。核梁的彎曲正應力強度。解：解：小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大PABlF+WABl/2l/24)(maxlWFM mkN 223 223mkN +zy12010450mkN 223max M8610282. 423510223 zIyMmaxmaxmax PABlF+WAB

16、l/2l/2小車在跨中時，梁內(nèi)彎小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大，矩最大，223mkN +zzzIII 2 )MPa(122 zy1201045044cm 1022. 3 zI查表得查表得 121103zI43cm 1059. 2 zzzIII 2 44cm 10282. 4 解：解： 23110 梁安全。梁安全。 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：梁內(nèi)的最大正應力；試求：梁內(nèi)的最大正應力； 例例22120180zyM+5 .67mkN 解：解：zWMmaxmax mkN5 .67max M 62bhWz61801202 )mm(1048. 635 561048.

17、 6105 .67 MPa2 .104 3mq=60kN/mAB例例3支座支座A和和B放在什么位置，梁的受力最合理放在什么位置，梁的受力最合理?解：解： 考慮兩種極限情況考慮兩種極限情況a=0 和和 a=1.5m3mq=60kN/maa+3mq=60kN/mAB3mq=60kN/mABaa+AB時時，梁梁受受力力最最合合理理當當 ACMM C2 82qlaql 22qa記記 l=3m22qa2 2qaMMBA 8 ) 2( 2 2qlalqlMC ：，梁受力最合理時 當ACMM 04422 llaa222llla 舍去負值舍去負值la)12(21 l207. 0 2 2 822qaqalql

18、2 82qlaql 3mq=60kN/mABaa+Cm)kN(56.11 BAMMm)kN(56.11 CM：最大彎矩下降了82. 05 .6756.115 .67 %82 梁梁內(nèi)內(nèi)最最大大正正應應力力同同樣樣mkN56.11 56.1156.11。下下降降了了%823mq=60kN/mABaa+M+5 .67mkN 3mq=60kN/mAB 鑄鐵梁，受力如圖，鑄鐵的鑄鐵梁，受力如圖，鑄鐵的 t=20MPa， c=60 MPa，試根據(jù)危險截面，試根據(jù)危險截面k-k的強度，確定最大載荷的強度，確定最大載荷F。(2)求危險截面上的彎矩求危險截面上的彎矩例例4解：解：(1 1)求形心位置和慣性矩求形

19、心位置和慣性矩)(mm103 Cy)1091. 374(mm zI)mm(N770 FMkk770Fk)mm(N770 F303040120180Cycyz題：附題：附I.9I.9(b)y1)771(mm y t cMkMkk770Fk t c(3)(3)正應力強度正應力強度zkIyM1t )2 .13 (kN71091. 377770 Ft zckIyM c 71091. 3103770 Fc )6 .29 (kN允許的最大載荷允許的最大載荷F=13.2kNk770Fk303040120180Cycyzy1T 字形截面鑄鐵梁，鑄鐵的抗拉強度字形截面鑄鐵梁，鑄鐵的抗拉強度 b=240MPa，抗

20、抗拉強度拉強度 bc=600 MPa，y1=80mm， y2=40mm，Iz=533cm4 ，安全因數(shù)，安全因數(shù)n=4，試校核梁的強度。，試校核梁的強度。解：解：(1)(1)求支座反力求支座反力，kN22 AFF1=8kN0.6mF2=20kNABCD例例5-7（P140）FAFBkN6 BF（2 2）畫彎矩圖找危險截面）畫彎矩圖找危險截面A截面彎矩最大，是危險截面截面彎矩最大，是危險截面3.6kN m4.8kN mM+負彎矩，上邊緣受拉，下邊緣受壓負彎矩，上邊緣受拉，下邊緣受壓+-zy1y2CyMA t c0.6m0.6mA截面彎矩最大，是危險截面截面彎矩最大，是危險截面負彎矩，上邊緣受拉，

21、下邊緣受壓負彎矩，上邊緣受拉，下邊緣受壓zAIyM2t zAIyM1c t cMPa2 .271053340108 . 446 MPa721053380108 . 446 MAzy1y2Cy t cF1=8kN0.6mF2=20kNABCDFAFB3.6kN m4.8kN mM+-0.6m0.6m t= c=nb nbc MPa60 MPa150 (3)(3)C截面的強度截面的強度正彎矩，下邊緣受拉，上邊緣受壓正彎矩，下邊緣受拉，上邊緣受壓zCIyM1t zAzCIyMIyM12c t c梁安全梁安全461053380106 . 3 y1y2CyMC t cMA t czIMy MPa54 F

22、1=8kN0.6mF2=20kNABCDFAFB3.6kN m4.8kN mM+-0.6m0.6m（不用計算）（不用計算）56 梁彎曲時的切應力梁彎曲時的切應力Fs M xhbx一、一、 矩形截面矩形截面梁梁1 1、兩點假設：、兩點假設： （1 1）切應力與剪力平行；切應力與剪力平行；56 梁彎曲時的切應力梁彎曲時的切應力b2h2h yzyFSxzyx（2）切應力沿寬度均勻分布。切應力沿寬度均勻分布。FSy b2h2h yzyFSbISFzz*S zb2h2hyyFSy*CA* czyAS)24)(2(yhyhb )4(222yhb )24)(2(yhyyhb )4(222SyhIFz 矩矩

23、max )2)(2(2yhyhb 當當 y=0 時，時，max , 2hy 0 422SmaxhIFz )4(222SyhIFz 矩矩 方向：與橫截面上剪力方向一致；方向：與橫截面上剪力方向一致； 大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。分布為拋物線。最大最大切切應力為平均應力為平均切切應力的應力的1.51.5倍。倍。zb2h2hyyFSy*cA*當當 y=0 時，時，max矩形截面彎曲切應力分布規(guī)律：矩形截面彎曲切應力分布規(guī)律：AFS5 . 1 412223ShbhF bhF23S 平平均均 5 . 1 平平均均 5 . 1max FFF試計算圖示矩形

24、截面簡支梁的試計算圖示矩形截面簡支梁的1-1截面上截面上a點的正應點的正應力和切應力。力和切應力。例例111m1.2m1mF=8kN7540150a4kN6 . 3S F解:123bhIz m4kN6 . 3 M44mm102110 zIM)4075( )MPa(04. 6 bISFzz*S )MPa(379. 0 75102110) (1064. 343 554075 B2H2H2h2hbyz yFSbISFzz*S 分為腹板和翼板：分為腹板和翼板：翼板上除了有平行于翼板上除了有平行于Q的切應的切應力分量外，還有水平分量。力分量外，還有水平分量。腹板為狹長矩形，可以采用前述的腹板為狹長矩形，

25、可以采用前述的兩個假設。采用相同的推導，得到兩個假設。采用相同的推導，得到切應力公式切應力公式：二、二、 工字形截面工字形截面梁梁 zS)442)(22(hHhhHB )(8)4(22222*hHByhbSz B2H2H2h2hbyzy)24)(2( yhyyhb 2211yAyA A2A11y2ybISFzz*S )4(2)(82222SyhbhHBbIFz )4(2)(82222SyhbhHBbIFz maxminB2H2H2h2hby yFSy=0時，時，8)(8222SmaxbhhHBbIFz 8)( 822ShbBBHbIFz 8822SminBhBHbIFz 時時， 2hy BbB

26、bB 則則，如如果果 minmax 此時腹板上的切應力可以看成近此時腹板上的切應力可以看成近似的均勻分布。似的均勻分布。A A腹腹 腹板的面積。腹板的面積。因為因為 max min腹腹AFSmax B2H2H2h2hbyzyFS對工字形型鋼，切應力由下式計算：對工字形型鋼，切應力由下式計算：dSIFzz )(Smax 為為腹腹板板厚厚度度。由由查查表表得得到到，式式中中：dSIzzzyd在梁的橫截面上，最大正應力發(fā)生梁截面的上下邊緣，在梁的橫截面上，最大正應力發(fā)生梁截面的上下邊緣，最大切應力發(fā)生在截面的中性軸處。最大切應力發(fā)生在截面的中性軸處。三、切應力強度條件三、切應力強度條件切應力強度條件

27、：切應力強度條件：bISFzz*maxmaxSmax M max max細長梁的控制因素通常是彎曲正應力，只有在下述情況細長梁的控制因素通常是彎曲正應力，只有在下述情況下，需要進行梁的彎曲切應力強度校核：下，需要進行梁的彎曲切應力強度校核：（2 2）腹板的厚度較薄時，要校核腹板的切應力。）腹板的厚度較薄時，要校核腹板的切應力。（1 1）梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁）梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁的的M較小，而較小，而FS較大時。較大時。（3 3）經(jīng)）經(jīng)鉚接、焊接或膠合而成的梁，應對焊縫、鉚釘、膠合面鉚接、焊接或膠合而成的梁，應對焊縫、鉚釘、膠合面進行切應力

28、校核。進行切應力校核。 矩形截面木梁如圖，矩形截面木梁如圖， =7MPa， =0. 9 MPa，校核校核梁的強度。梁的強度。例例7q=3.6kN/mABL=3m120180zy解：解：q=3.6kN/mABL=3m（2 2）校核強度）校核強度梁安全！梁安全！zWMmaxmax AFmax,Smax5 . 1 (1)(1)畫內(nèi)力圖找危險截面畫內(nèi)力圖找危險截面(kN)FS+x4 . 54 . 5xM+m)(kN4.0518. 012. 054005 . 1 0.375MPa 2max6bhM 218. 012. 040506 6.25MPa 求求C截面左側(cè)截面左側(cè) a點的彎曲正應力和切應力。點的彎

29、曲正應力和切應力。例例11 +200kN50kNm)80(kN +az15152701209250kNABC1.6m2m解：求出解：求出C截面左側(cè)截面左側(cè) 的內(nèi)力的內(nèi)力12270111 12300120 33 zI)mm(1088 46 zaaIMy )MPa(5 .122 )MPa(6 .64 bISFzza*S 91088 1020063 a曲正應力：彎曲正應力：切應力：切應力：6610881351080 )5.7150(15120 例例9已知：已知：F=30kN，l=5m，大梁由，大梁由20a工字鋼制成，工字鋼制成， =170MPa， =100 MPa，校核梁的

30、強度。校核梁的強度。zy200FABlPABl)mkN(5 .37max M3610237105 .37 zWMmaxmax 解：（解：（1 1）彎曲正應力強度）彎曲正應力強度FABl/2l/2小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大，小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大，5 .37m)(kN+)cm(237 3 zW查表得查表得)MPa(158 )kN(30,maxS FF717210303 dSIFzz)(*max,Smax （2 2）彎曲切應力強度）彎曲切應力強度小車在支座附近時，梁內(nèi)剪力小車在支座附近時，梁內(nèi)剪力最大，最大，)cm(2 .17 *zzSI查表得查表得)MPa(9 .24 FABlFAFB+FA

31、FB梁安全！梁安全！zy200d)mm(7 d例例1010zy12010200FAB2.21.41.4單位：單位：m已知：已知：F=50kN，大梁由，大梁由20a工字鋼制成，用工字鋼制成，用12010mm的鋼板加強，的鋼板加強， =152MPa， =95 MPa，校核梁的強度。校核梁的強度。)mkN(5 .62maxM46105018110105 .62zIyMmaxmaxmax解：（解：（1 1）跨中彎曲正應力強度跨中彎曲正應力強度5 .101121211222370 23ZI)MPa(137PAB2.21.41.4FABl/2l/2CDzy12010200)cm( 50184355 .62m)(kN+)mkN(4 .50max DM3610237104 .50 zDWMmaxmax 小車在小車在D截面時截面時MPa213 4 .50m)(kN+FABl/2l/2CDFAB3.61.4D5 .62m)(kN+35（2 2）D截面彎曲正應力強度截面彎曲正應力強度3cm237 zW查表得查表得強度不夠，鋼板需加長。強度不夠，鋼板需加長。)kN(50maxS FF717210503 dSIFzz)(*maxSmax （3 3）彎曲切應力強度）彎曲切應力強度小車在支座附近時，梁內(nèi)剪力小車在支座附近時，梁內(nèi)剪力最大