倒立擺仿真與實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、最優(yōu)控制實(shí)驗(yàn)報(bào)告二零一五年一月目錄第 1 章 一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)31.1 一級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)建模31.1.1 一級(jí)倒立擺非線性模型建立31.1.2 一級(jí)倒立擺線性模型建立51.2 一級(jí)倒立擺 t 狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真51.3 一級(jí)倒立擺 t 狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)91.4 一級(jí)倒立擺 t 輸出調(diào)節(jié)器仿真111.5 一級(jí)倒立擺 t 輸出調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)131.6 一級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器仿真141.7 一級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)16第 2 章 二級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)162.1 二級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)模型162.1.1 二級(jí)倒立擺非線性模型建立172.1.2 二級(jí)倒立擺線性模型建立182.2 二級(jí)倒立擺 t 狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真192.3

2、二級(jí)倒立擺 t 狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)212.4 二級(jí)倒立擺 t 輸出調(diào)節(jié)器仿真222.5 二級(jí)倒立擺 t 輸出調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)222.6 二級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器仿真232.7 二級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)24第1章 一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)1.1 一級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)建模在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后， 可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖所示圖 1-1 直線一級(jí)倒立擺模型M 小車質(zhì)量1.096 kg；m 擺桿質(zhì)量0.109 kg；b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sec；l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度0.25m；I 擺桿慣量2；0.0034 kg m·擺桿與垂直向上方向的夾角，規(guī)定角度

3、逆時(shí)針方向?yàn)檎?；x 小車運(yùn)動(dòng)位移，規(guī)定向右為正。1.1.1 一級(jí)倒立擺非線性模型建立采用拉格朗日方法，系統(tǒng)的拉格朗日方程為：L q, qT q, qV q, q(1.1)其中， L為拉格朗日算子，q 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T 為系統(tǒng)的動(dòng)能，V 為系統(tǒng)的勢(shì)能。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo)qi 和 L表示為：dLL(1.2)dtqifiqifi 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力， 在本系統(tǒng)中， 系統(tǒng)的兩個(gè)廣義坐標(biāo)分別為 和 x。系統(tǒng)動(dòng)能：T TM Tm11 Mx 21 m1 x2m1l1 x cos2 m1l12 2(1.3)223系統(tǒng)的勢(shì)能V m1gl1 cos(1.4)由于在廣義坐標(biāo)1 上應(yīng)用拉格朗日方程

4、，由于此廣義坐標(biāo)上無廣義力，則dLLdt得到：0(1.5)mlx cosmgl sinIml 2在 simulink 中建立非線性仿真動(dòng)力學(xué)模型圖 1-2 一級(jí)倒立擺非線性動(dòng)力學(xué)模型其中 MATLAB Function模塊中代碼如下：functiondw = fcn(u,phi)I = 0.0034;m = 0.109;l = 0.25;g = 9.8;dw = ( m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi) )/( I+m*l*l );(1.6)1.1.2 一級(jí)倒立擺線性模型建立由(1.6)，且對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有I1 ml 2，將 l0.25m 代入有33(x cosg

5、 sin )(1.7)將其在平衡位置0處進(jìn)行線性化， cos1,sin，且有 g 9.831m / s2得到29.4933x(1.8)輸入 ux ，將系統(tǒng)寫為如下狀態(tài)空間描述形式x0100x0x0000x10001u00029.49303(1.9)xyx1000x00010u0在 simulink 中建立線性仿真動(dòng)力學(xué)模型，只需將1.1.1 里建立的非線性模型中 MATLAB Function 模塊代碼更改為dw = 29.493*phi+3*u;1.2 一級(jí)倒立擺 t狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真對(duì)于線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(t ) Ax(t) Bu(t )(1.10)給定初始條件 x t0x0 ，終端時(shí)

6、間 t f。求最優(yōu)控制 u*t 使系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)J1x (t )Qx(t)u (t) Ru(t) dt(1.11)2t0取極小值。式中A, B, Q, R 常數(shù)矩陣；Q半正定對(duì)稱陣；R正定對(duì)稱矩陣?？刂撇皇芗s束，最優(yōu)控制存在且唯一，即u (t)R 1B Px(t )Kx(t)(1.12)式中， P 為 nn維正定常數(shù)矩陣，滿足里卡提矩陣代數(shù)方程PA ATP PBR 1BTP Q 0(1.13)對(duì)于線性定常系統(tǒng)無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，要求系統(tǒng)完全能控。 求解出上方程，即可得到最優(yōu)控制u* (t ) 。試驗(yàn)中的一級(jí)倒立擺模型可以線性化為定常系統(tǒng)，其中系數(shù)矩陣為010000000; B1100

7、00A001; C0010; D0000029.49303公式 (1.11)中選定不同的 Q，R 值，Q4×4 為半正定矩陣， R1×1 為正定矩陣，通過求解代數(shù)黎卡提方程（利用 Matlab 里面的 lqr 函數(shù)）可以得到最優(yōu)控系數(shù)K lqrA,B,Q,R(1.14)控制率為u(t )Kx (t )(1.15)Q、R 的形式可設(shè)計(jì)為Q11QQ22, R 1(1.16)Q33Q44因?yàn)槎涡妥顑?yōu)控制是使得二次型性能指標(biāo)取極小值，故只需改變Q 矩陣中元素的值即可，不用改變R 的取值，即只要保證 Q 與 R 的相對(duì)大小即可。其中，Q 矩陣中 Q11 代表小車位置的權(quán)重， Q22

8、 代表小車速度的權(quán)重， Q33 代表擺桿角度的權(quán)重， Q44 為擺桿角速度的權(quán)重。仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿缦聢D 1-3 仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)定角度初始值為 10°，角速度與小車速度初值均為 0。下面按照一定的依據(jù)選取 Q 中非零元素的值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)行分析。取一組標(biāo)準(zhǔn)值方便對(duì)比Q11=Q22=Q33=Q44=2。響應(yīng)曲線如下圖，在后續(xù)研究中，若無特殊說明Q 中元素分別取此標(biāo)準(zhǔn)值。 考慮到實(shí)際系統(tǒng)中小車軌道長度有限， 取上述參數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)位置相對(duì)零點(diǎn)波動(dòng)的絕對(duì)值最大達(dá)到了 0.3m 以上，這在實(shí)際系統(tǒng)中是難以正常進(jìn)行試驗(yàn)的，所以要對(duì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整改進(jìn)， 下面分別研究各個(gè)參數(shù)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。10角

9、度變化曲線0位置變化曲線8-0.056-0.1)4)-0.15°m(2x-0.20-0.25-2-0.3-4246810-0.3524681000t(s)t(s)圖 1-4 Q 11=Q22=Q33=Q 44=2 時(shí)角度與位置變化曲線(1) 分析小車位置的權(quán)重對(duì)于響應(yīng)曲線的影響。其他參數(shù)不變的情況下，小車位置權(quán)重 Q11 分別取為 2、20、200、1000 時(shí)觀察角度與位置變化曲線如圖 1-1 圖 1-5 所示。角度變化曲線位置變化曲線10Q11=2Q11=205Q11=200Q11=1000)°0m(x0.050Q11=2-0.05Q11=20Q11=200-0.1Q1

10、1=1000-0.15-0.2-5-0.25-0.3-10246810-0.3524681000t(s)t(s)圖 1-5 位置權(quán)重對(duì)響應(yīng)的影響由圖 1-5 可以看出，隨著 Q11 的增加，角度變化曲線的穩(wěn)態(tài)時(shí)間縮短，但超調(diào)量有所增大； 位置變化曲線特性改進(jìn)明顯， 穩(wěn)態(tài)時(shí)間與絕對(duì)的超調(diào)值都顯著減小，可見增大 Q11 的值會(huì)改進(jìn)系統(tǒng)特性。(2) 分析小車速度的權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響小車速度權(quán)重 Q22 分別取為 2、20、 200、1000 時(shí)得到角度與位置隨時(shí)間變化曲線如圖 1-6 所示角度變化曲線位置變化曲線10Q22=28Q22=20Q22=2006Q22=1000)4)°m(2x

11、0-2-42468100t(s)0-0.05-0.1Q22=2-0.15Q22=20Q22=200-0.2Q22=1000-0.25-0.3-0.350246810t(s)圖 1-6 小車速度權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響隨著 Q22 的增大，角度曲線特性得到一定改善，絕對(duì)超調(diào)減小，且穩(wěn)態(tài)時(shí)間減??；但對(duì)于小車位置曲線來說， 雖然絕對(duì)超調(diào)變小了， 但很明顯穩(wěn)態(tài)時(shí)間大大增加了，由于 Q22 代表的是小車的速度權(quán)重，可以類比為引入了阻尼項(xiàng)，減小超調(diào)的同時(shí)會(huì)增大穩(wěn)態(tài)時(shí)間，這是我們并不希望的。故而 Q22 的值不能太大，要保證 Q22 取值不超過 Q11。(3) 分析擺桿角度的權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響小車速度權(quán)重 Q

12、33 分別取為 2、20、 200、1000 時(shí)得到角度與位置隨時(shí)間變化曲線如圖 1-7 所示角度變化曲線位置變化曲線10Q33=28Q33=20Q33=2006Q33=1000)4)°m(2x0.050-0.05Q33=2-0.1Q33=20Q33=200-0.15Q33=1000-0.20-0.25-2-0.3-4246810-0.3524681000t(s)t(s)圖 1-7 擺桿角度權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響隨著 Q33 的增大，角度曲線的絕對(duì)超調(diào)減小，但是相應(yīng)的導(dǎo)致了穩(wěn)態(tài)時(shí)間的增加；小車位置相應(yīng)曲線超調(diào)減小， 同樣的也是穩(wěn)態(tài)時(shí)間增加了。 而且可以看出，Q33 對(duì)小車位置曲線的影響

13、遠(yuǎn)不如Q11 和 Q22 對(duì)小車位置響應(yīng)的影響。(4) 分析擺桿角速度的權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響小車速度權(quán)重 Q44 分別取為 2、20、 200、1000 時(shí)得到角度與位置隨時(shí)間變化曲線如圖 1-8 所示由圖 1-8 可知，隨著 Q44 的增大，角度變化曲線穩(wěn)態(tài)時(shí)間有一定程度的增加，曲線變化稍見平緩， 即曲線斜率的最大值變小了， 但絕對(duì)超調(diào)基本沒變； 小車位置的響應(yīng)特性隨 Q44 的增大而變壞，絕對(duì)超調(diào)大幅上升，穩(wěn)態(tài)時(shí)間也明顯變長。所以 Q44 的值不能取的太大。要注意的是， Q44 取值變化過程中 Q 矩陣其他元素取的均為上文所提標(biāo)準(zhǔn)值， 標(biāo)準(zhǔn)值取的是很小的， 所以在確定參數(shù)時(shí)， 只要保證Q4

14、4 的值不能比Q33 大即可，圖1-8 只是提供了分析的依據(jù)，不能直接根據(jù)上圖的曲線進(jìn)行選擇。角度變化曲線10Q44=28Q44=20Q44=2006Q44=1000)4)°m(2x0-2-42468100t(s)位置變化曲線0.20-0.2Q44=2-0.4Q44=20Q44=200-0.6Q44=1000-0.8-1-1.22468100t(s)圖 1-8 擺桿角速度權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響以上分析為 Q 矩陣中非零元素的選取提供了一定的依據(jù)，總的來說Q11 與33 的值越大越好，但過大的話可能會(huì)對(duì)執(zhí)行器即電機(jī)提出過高的要求，而Q22Q與 Q44 的取值盡量不能比其他兩個(gè)元素值大。1

15、.3 一級(jí)倒立擺 t狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)根據(jù)以上分析，選取幾組實(shí)物實(shí)驗(yàn) Q 矩陣中的元素值，并將仿真結(jié)果與之對(duì)比如圖 1-9 至圖 1-11 所示，對(duì)比仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的異同，分析產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因。由于仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)的初始條件很難做到完全一致， 如對(duì)于實(shí)物實(shí)驗(yàn)來說，由于編碼器為一相對(duì)式碼盤，所以倒立擺穩(wěn)定狀態(tài)為 - 而不是仿真實(shí)驗(yàn)中的 0 rad，而且由于實(shí)物實(shí)驗(yàn)中倒立擺是由下垂?fàn)顟B(tài)人為慢慢上擺至滿足倒立擺穩(wěn)定系統(tǒng)起控條件的， 在緩慢移動(dòng)過程中， 很難做到倒立擺起控時(shí)擺桿的角速度為 0，即初始條件難以精確確定。所以只需比較仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)得到的曲線特性中如絕對(duì)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)時(shí)間即可。此外，在實(shí)驗(yàn)過程中，

16、可以發(fā)現(xiàn)倒立擺擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)到大概為平衡位置附近 10°時(shí)，倒立擺起控，這樣在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)可以將起控之前的無控狀態(tài)去掉，只將有效的部分畫出來即可，方便觀察曲線特性。表 1-1 狀態(tài)調(diào)節(jié)Q 矩陣中非零元素不同取值Q11Q22Q33Q44第一組10001000100100第二組10010010001000第三組100010001000100010角度變化曲線(仿真)0位置變化曲線(仿真)5-0.05)°m-0.1(x0-0.15-5510-0.251000t(s)t(s)角度變化曲線(實(shí)驗(yàn))位置變化曲線(實(shí)驗(yàn))-1650.15-1700.1)°m0.05(-175x0-1

17、80-0.0505100510t (s)t (s)圖 1-9第一組狀態(tài)調(diào)節(jié)器參數(shù)下響應(yīng)圖角度變化曲線(仿真)位置變化曲線(仿真)1005-0.1)°m-0.2(x0-0.3-5510-0.451000t(s)t(s)角度隨時(shí)間變化曲線位置隨時(shí)間變化曲線-1650.15-1700.1)°m(0.05-175x0-1800510-0.055100t (s)t (s)圖 1-10 第二組狀態(tài)調(diào)節(jié)器參數(shù)下響應(yīng)圖0角度變化曲線(仿真)位置變化曲線(仿真)1005-0.05)°m-0.1(x0-0.15-5510-0.251000t(s)t(s)-165角度隨時(shí)間變化曲線位置

18、隨時(shí)間變化曲線0.04-170)0.02)°m(0(-175x-0.02-180-0.040510-0.065100t (s)t (s)圖 1-11 第三組狀態(tài)調(diào)節(jié)器參數(shù)下響應(yīng)圖第一組參數(shù)下， 仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)得到的曲線特性吻合較好，穩(wěn)態(tài)時(shí)間與絕對(duì)超調(diào)量都比較相近； 但第二組參數(shù)位置曲線的超調(diào)相差較大，分析原因可能是在將倒立擺扶至起控位置左右時(shí)沒有緩緩轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致起控時(shí)擺桿有一定的角速度， 初始條件相差較大導(dǎo)致曲線相差較大； 第三組參數(shù)下實(shí)物實(shí)驗(yàn)得到的角度與位置曲線都存在穩(wěn)態(tài)誤差，尤其是位置誤差為 5cm 左右，誤差比較大，分析原因可能是系統(tǒng)的硬件問題， 因?yàn)榫退惴▉碚f， 狀態(tài)調(diào)節(jié)器是不可

19、能將末態(tài)穩(wěn)定在非零點(diǎn)出的。1.4 一級(jí)倒立擺 t輸出調(diào)節(jié)器仿真對(duì)于線性定常系統(tǒng)xAx tBu t(1.17)yCx t給定初始條件 x(t0 ) x0，終端時(shí)間 t f。求最優(yōu)控制 u* (t) ，使系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)為1y (t )Q (t) y(t)u (t) R(t)u(t ) dt(1.18)J2t 01要求系統(tǒng)完全能觀測(cè)， 且控制不受約束。 則可求解代數(shù)黎卡提方程得到正定對(duì)稱矩陣 PPA AT P PBR 1BT P CTQC 0(1.19)最優(yōu)控制存在且唯一u* (t ) R 1 B Px(t )(1.20)此時(shí)倒立擺系統(tǒng)的Q 為 2×2 階的，若設(shè)計(jì)QQ11(1.21

20、)Q33則C10000010Q11(1.22)0CTQCQ330所以在給定 Q 的上述形式后可以發(fā)現(xiàn)，輸出調(diào)節(jié)器和的代數(shù)黎卡提方程的形式與狀態(tài)調(diào)節(jié)器時(shí)是一致的，只需將狀態(tài)調(diào)節(jié)器中Q 的第二行第二列和第四行第四列的元素值設(shè)置為零，調(diào)節(jié)Q11 和 Q33 計(jì)算出的反饋比例系數(shù)既是輸出調(diào)節(jié)器下的反饋系數(shù)。設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)為Q11 33，選取不同的參數(shù)進(jìn)行仿真并對(duì)比曲線特性。=Q =100如至所示角度變化曲線位置變化曲線100.150)°m(0(-0.1xQ11=10Q11=10-5Q11=100-0.2Q11=100Q11=1000Q11=1000-10510-0.351000t(s)t(s)

21、圖 1-12 輸出調(diào)節(jié)器下小車位置權(quán)重對(duì)曲線的影響上圖為當(dāng) Q33=100，時(shí) Q11 分別取 10、100 和 1000 時(shí)的響應(yīng)曲線，可以看出，增大小車位置的權(quán)重可有效縮短穩(wěn)態(tài)時(shí)間，并減小小車位置變化曲線的絕對(duì)超調(diào)，2但是會(huì)增加擺桿變化曲線的絕對(duì)超調(diào)。角度變化曲線位置變化曲線100.0550) -0.05°0m(x-0.1Q33=10Q33=10-5Q33=100-0.15Q33=100Q33=1000Q33=1000-10510-0.251000t(s)t(s)圖 1-13 輸出調(diào)節(jié)器下擺桿角度權(quán)重對(duì)曲線的影響Q11=100，Q33 分別取 10、100、1000 時(shí)擺桿角度和

22、小車位置的響應(yīng)曲線如上圖，提高 Q33 的值可減響應(yīng)曲線的超調(diào)，對(duì)角度曲線的穩(wěn)態(tài)時(shí)間無大的影響，但會(huì)增加位置響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)時(shí)間。1.5 一級(jí)倒立擺 t輸出調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)選取幾組實(shí)物實(shí)驗(yàn) Q 矩陣中的元素值， 如表 1-2 所示。得到各組參數(shù)下擺桿角度和小車位置響應(yīng)如至所示。表 1-2 輸出調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)選定參數(shù)Q11Q33第一組參數(shù)1000100第二組參數(shù)1001000第三組參數(shù)10001000角度變化曲線(實(shí)驗(yàn))位置變化曲線(實(shí)驗(yàn))0.061800.04)° 175m(0.02(x170016512345-0.021234500t (s)t (s)圖 1-14 輸出調(diào)節(jié)器第一組參數(shù)下響應(yīng)曲線31

23、80)175°(1701650180)175°(1701650角度變化曲線(實(shí)驗(yàn))位置變化曲線(實(shí)驗(yàn))0.05)m0(x-0.051234502468t (s)t (s)圖 1-15 輸出調(diào)節(jié)器第二組參數(shù)下響應(yīng)曲線角度變化曲線(實(shí)驗(yàn))位置變化曲線(實(shí)驗(yàn))0.05)m0(x-0.0512345012345t (s)t (s)圖 1-16 輸出調(diào)節(jié)器第三組參數(shù)下響應(yīng)曲線由圖 1-14 至圖 1-16 可以看出，各組參數(shù)下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)時(shí)間與絕對(duì)超調(diào)指標(biāo)都相當(dāng)好，對(duì)比發(fā)現(xiàn)甚至優(yōu)于仿真結(jié)果， 分析原因與上相同即在手動(dòng)將擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)至起控位置時(shí)可能沒有把握好擺桿角速度的變化， 導(dǎo)致角速度初值

24、過大， 分析可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)擺桿角速度有一定初值且方向與手動(dòng)擺起的旋向一致時(shí)， 是利于倒立擺的擺起的，所以響應(yīng)曲線性能變好。1.6 一級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器仿真從本質(zhì)上來說，非零給定點(diǎn)調(diào)節(jié)器是基于傳統(tǒng)的傳遞函數(shù)的角度來分析的。非零給定調(diào)節(jié)器指的是給定一個(gè)位置信息， 使得倒立擺穩(wěn)定后小車穩(wěn)定在給定的位置上。則可以將小車位置作為輸出， 小車加速度作為輸入， 系統(tǒng)要做的是使輸出值與輸入值相等。引入狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為(s) C (sI A BK ) 1 B(1.23)注意到其為一 2 1 的矩陣，對(duì)應(yīng)的為單輸入雙輸出系統(tǒng)， 輸入是小車加速度，輸出是小車位置及擺桿角度。 當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定即時(shí)間趨于無窮時(shí)

25、， 由拉普拉斯終值定4理可知傳遞函數(shù)變?yōu)?0) C( A BK) 1B(1.24)此可以視作閉環(huán)系統(tǒng)的直流增益，簡單的說就是一比例系數(shù)， 第一行第一列為輸出到小車位置的直流增益，一般情況下是不為1 的，這就引出了非零給定調(diào)節(jié)器的問題。 當(dāng)利用 lqr 算法求出反饋系數(shù)矩陣K 時(shí)，計(jì)算出(0) ，并將第一行第一列的元素取倒數(shù)表示為111(0) ，將給定的位置與此數(shù)相乘后再作為輸入來控制小車，這樣既可以達(dá)到非零給定的目的，圖1-3 已經(jīng) simulink 模塊實(shí)現(xiàn)展示，111(0) 即為圖 1-3 中的 Wc(0)-1 。由上文中對(duì)狀態(tài)調(diào)節(jié)器和輸出調(diào)節(jié)器的仿真及實(shí)物實(shí)驗(yàn)可以看出， 當(dāng)改變 Q 矩陣

26、中代表小車速度和擺桿角速度元素的值為非零時(shí)， 可以改善響應(yīng)的阻尼特性，但同時(shí)會(huì)使穩(wěn)態(tài)時(shí)間特性受到較大影響。 非零給定點(diǎn)的仿真中采用輸出調(diào)節(jié)器的形式。選取 Q11=1000， Q33=200，期望小車穩(wěn)定位置 yd=0.2m。計(jì)算出狀態(tài)反饋矩陣 K=-31.6228 -20.1304 72.8210 13.1537，代入公式(1.24)求得-0.0316(0)0111(0)31.6228仿真結(jié)果如圖 1-17 所示。角度變化曲線(仿真)位置變化曲線(仿真)100.350.2)0)0.1°m(-5x0-10-0.1-151234-0.2123400t(s)t(s)圖 1-17 非零給定輸

27、出調(diào)節(jié)器響應(yīng)曲線小車位置穩(wěn)定在距離原點(diǎn)0.2m 處?？梢园l(fā)現(xiàn)求出的(0) 中21 (0)為零，且已知21 (s) 代表輸入為加速度，輸出為擺桿角度的傳遞函數(shù)， 傳遞函數(shù)有零點(diǎn)， 211(0)沒有意義，這在實(shí)際物理系統(tǒng)中也是明確的，即不能使二次型最優(yōu)控制下的倒立擺系統(tǒng)擺桿穩(wěn)定在不平衡的位置。細(xì)心觀察還可以發(fā)現(xiàn)， 111(0) 就等于反饋矩陣 K 中的第一個(gè)元素。51.7 一級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)參數(shù)與仿真中一致，得到實(shí)物實(shí)驗(yàn)下非零給定調(diào)節(jié)器的小車位置及擺桿角度曲線如圖 1-18 所示)°(角度變化曲線(實(shí)驗(yàn))位置變化曲線(實(shí)驗(yàn))-165-170)0.2m(-175x0.1-1800

28、012345012345t (s)t (s)圖 1-18 非零給定調(diào)節(jié)器實(shí)物實(shí)驗(yàn)響應(yīng)曲線第2章 二級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)2.1 二級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)模型為簡化系統(tǒng)，我們?cè)诮r(shí)忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級(jí)倒立擺的組成如圖2-1 所示。圖 2-1 直線兩級(jí)倒立擺物理模型倒立擺參數(shù)定義如下：6M 小車質(zhì)量；m1擺桿 1 的質(zhì)量，為 0.05kg；m2擺桿 2 的質(zhì)量，為 0.13kg；m3質(zhì)量塊的質(zhì)量，為 0.236kg；l1 擺桿 1 中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離，為0.0775m；l2 擺桿 2 中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離，為0.25m；1 擺桿 1 與豎直方向的夾角，規(guī)定逆時(shí)針為正；2 擺桿 2 與

29、豎直方向的夾角，規(guī)定逆時(shí)針為正；F 作用在系統(tǒng)上的外力；2.1.1 二級(jí)倒立擺非線性模型建立利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：拉格朗日方程為：L(q, q)T (q, q)V (q, q)dLL(2.1)dtqifiqi其中， L 為拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， T 為系統(tǒng)的動(dòng)能， V 為系統(tǒng)的勢(shì)能。 i 1,2,., n ， fi 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別是x, 1 , 2 。系統(tǒng)動(dòng)能T TM Tm1 Tm2 Tm3(2.2)其中， TM 為小車動(dòng)能， Tm1 為擺桿 1 的動(dòng)能， Tm2 為擺桿 2 動(dòng)能， Tm3 為質(zhì)量塊動(dòng)能。系統(tǒng)勢(shì)能

30、VVm1 Vm 2 Vm 3m1 gl1 cos 12m3gl1 cos 1m2 g(2l1 cos 1 l 2 cos 2 ) (2.3)經(jīng)過推導(dǎo)，可得用1 ,1,2 , 2 , x 表示的1, 2 如下：13 2m1 g sin14m2 g sin 14m3 g sin 13m2 g cos( 21)sin26m lcos(21)sin(12)24m l2sin(12)22m x cos12 11221(2.4)4m2 x cos 14m3 x cos 1 3m2 cos( 12 )cos2 /2l1 ( 4m112m212m39m2 cos2 ( 12 )724m2 m13(m2m3 )

31、l12l 23g sin 26l1 12 sin( 1 2 )3x cos 2 92223m2l1 l 2cos( 12 )6m2 l22sin( 12 ) 3(m1 2m22m3 )( g sin 1 xcos 1)/16m2 ( m13m23m3 )l12 l224m22l12l22 cos2 ( 1 2 )9(2.5)2.1.2 二級(jí)倒立擺線性模型建立將其在平衡位置處進(jìn)行泰勒展開并線性化，可以得到狀態(tài)空間方程如下x000100x0100001010200000120x000000x110 K12K130 0 01K1720 K22K 230 0 02K 27x(2.6)x10000010

32、2y0100000u1x00100002123(2gm14gm2 4gm3 )86.69K124m13m212m3 )l12(K139m2 g21.624m13m212m3 )l12(3( 2m1m24m3 )6.64K174m13m22(12m3 )l1K222 g(m12m22m3 )40.316 (m14m2l23m23m3 ) / l2(2.7)9K234g( m13m23m3 )39.4516 ( m134m2l23m23m3 ) / l2 92( m1 2m22m3 )4 (m13m2m3 )K2716 (m130.0884m2l 23m23m3 )l2982.2 二級(jí)倒立擺 t狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真二級(jí)倒立擺的狀態(tài)調(diào)節(jié)器在原理上是與一級(jí)倒立擺相同的， 故在此不再贅述。關(guān)鍵還是求解代數(shù)黎卡提方程 P，進(jìn)而求得反饋矩陣 K 。二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程已由公式 (2.6)給出。狀態(tài)調(diào)節(jié)器的二次型最優(yōu)性能指標(biāo)中的 Q 矩陣與 R 矩陣形式如為Q11Q22QQ33, R 1(2.8)Q44Q55Q66只需改變 Q 矩陣中非零元素的值，即可求得不同性能指標(biāo)下的反饋矩陣。其中 Q11 代表小車位置的權(quán)重， Q22 代表擺桿 1 角度的權(quán)重， Q33代表擺桿 2 角度的權(quán)重， Q44 代表小車速度的權(quán)重， Q55 代表擺桿 1 角速度的權(quán)重， Q66 代表擺桿2