矩陣初等變換

1、1.6 1.6 矩陣的初等變換矩陣的初等變換(3) (3) 定義定義2.9 2.9 (1) (1) 初等變換初等變換: :稱為矩陣的稱為矩陣的加到另一行加到另一行( (列）列） ( (列）列） 上上. .乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行 以一個以一個非零非零的數(shù)的數(shù) k一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換對矩陣施以下列對矩陣施以下列3 3種變換種變換, ,( ( 列列 ) )( ( 列列 ) )交換矩陣的兩行交換矩陣的兩行(2) (2) 把矩陣的某一行把矩陣的某一行 的的k k 倍倍例例 150346102532A46102532 152546031 320 1530460102 30200152

2、30 1140 15300001011000012815007944007900441002314328 15( 1) 3100100100010100030513:簡化階梯陣的兩個要素簡化階梯陣的兩個要素. 0. 2元元素素為為首首非非零零元元所所在在列列的的其其它它; 1. 1 各各行行的的首首非非零零元元為為列標(biāo)嚴(yán)格遞增列標(biāo)嚴(yán)格遞增各行首非零元的各行首非零元的階梯形矩陣階梯形矩陣行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.0111經(jīng)過若干次經(jīng)過若干次定理定理 ijm nAa可以化為下面形式的矩陣可以化為下面形式的矩陣變換變換,任意一個矩陣任意一個矩陣初等初等11121

3、2122212.nnmmmnaaaaaaAaaa行行r 列列r22.100010nmmncbb2122212.nmmmnaaaaaa121.1.nbb121.1.nbb1002222.0.0.nmmnbbbb222.0.nbb2. .0.mmnbb.00000000000001100001D6定義定義1.51.5如果矩陣如果矩陣B B可以由矩陣可以由矩陣A A經(jīng)過有限次經(jīng)過有限次初等變換得到，初等變換得到， 則稱則稱A A與與B B是是等價的等價的. .( (或相抵的或相抵的) )定理定理1.71.7 任意一個矩陣任意一個矩陣ijm nAa行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.0

4、00.0.0111都與一個形如都與一個形如的矩陣等價的矩陣等價. rEOOO定義定義1.14 1.14 初等矩陣有三種初等矩陣有三種: :(1) (1) )()(行行行行ji()()ij列列列列.00.11.1111E施行施行一次一次初等變換后初等變換后, ,得到的矩陣得到的矩陣稱為稱為初等矩陣初等矩陣. .0 . 0 . 1 . 00 .1. 0 . 0( , )P i j 所的到的矩陣所的到的矩陣: :( , )TP i j ( , )P i j對單位矩陣對單位矩陣E交換交換E E的兩行的兩行 ( (列列) )二、初等矩陣二、初等矩陣(2)(2)i列列i行行0.0.00.0.000.000

5、.0.1111.E( )P i kk0k 得到的矩陣得到的矩陣( )Ti kP( )P i k以一個以一個非零非零的數(shù)的數(shù)k k乘以乘以E E的某一行的某一行( (列列) )把把E E的某一行的某一行)()(行行行行ji加到另一行加到另一行 上上得到的矩陣得到的矩陣.111.0.0.00.0.00.0.00.0.0.1.E列列i列列j( , ( )i jPkk( , ( )Ti jPk( , ( )j i kP(3)(3)的的k k 倍倍( (列列) )( (列列) )例如例如000000000000000001111100050000000000000000011110100E 000000

6、000000000001111100000000000000000000111110000100000010(2,4)P0010000001(3,5)P0100010000(1,2)P)3(7P)1(2P45()P50000000000000000011110100E 000000000000000001111100070000000000000000011111000000000000000000001111100024(2,5 3)P0 ),2(3.5P(4,16)P0000000000000000011111000300000000000000000111110000.550000000

7、000000000011110100E 0000000000000000011111000613例例 設(shè)設(shè)為二階初等矩陣，為二階初等矩陣，(1,2)P求求2(1,2)P(1,2)P2(1,2)P0110 ( , )P1 2 可可逆逆( , )11 2P ( , )1 2P10010110E 100121001E 容易驗證，容易驗證，一般地，一般地，( , )P i j( , )P i jE( , )P i j可逆，可逆，( , )1jP i 且且( , )P i j40000000000011110E)3(7P)3(7P0000000000007111000000000000711117000

8、0000000011010000000000001111)73(P可逆，可逆，13(7)P17)3(P17)3(P1111k列列i行行i列列i( )P i k ( )P i k可可逆逆1( )P i k1( )kP i11111kE 1( )kP i3100010001E (1,23)P331,2()P)1,2(3P10031000110013000110100010031,2()P可逆可逆1(1,2)3P)31,2(PE 例例寫出三階初等矩陣寫出三階初等矩陣并求它們的乘積并求它們的乘積.31,2()P及及)1,2(3P3100010001E )1,2(3P31(,)kP i j(),P i

9、jk一般地，一般地，初等矩陣都是可逆的初等矩陣都是可逆的, ,1(,)kP i j(),P i jk1( )P i k1( )kP i1(), jP i( , )P i j它們的逆矩陣它們的逆矩陣 仍是仍是同類型的初等同類型的初等矩陣矩陣. .( , )P i j( , )P i jE( )P i k1( )kP iE( ),P i j k(),P i jkE, ( )iPj k可可逆逆 定理定理1.6 1.6 (1)(1)對對A A的的行行(2)(2)對對A A的的列列“左行左行, ,右列右列”等于用同種的等于用同種的 m m 階初等矩陣階初等矩陣等于用同種的等于用同種的 n n 階初等矩陣

10、階初等矩陣設(shè)設(shè) ijm nAa 是一是一 m mn n 矩陣矩陣得到的矩陣得到的矩陣, ,得到的矩陣得到的矩陣, ,左左乘乘A A. .右右乘乘A A. .施行施行一次一次某種初等變換某種初等變換施行施行一次一次某種初等變換某種初等變換19例例121233bbbaaa2 3交換交換1 1，2 2兩行兩行2 2100110011b2b3b1a2a3a121233bbbaaa2 3第第2 2行的所有元素行的所有元素2 210011a2a3a用非零常數(shù)用非零常數(shù)k k乘乘k1kb2kb3kb121233bbbaaa2 3加到第加到第1 1行的對應(yīng)元素上行的對應(yīng)元素上. .2 21001第第2 2行的

11、元素乘以行的元素乘以k k，k11akb22akb33akb1b2b3b20例例交換交換1 1，2 2兩列兩列2 210011b2b3b1a2a3a第第2 2列的所有元素列的所有元素10011a2a3a用非零常數(shù)用非零常數(shù)k k乘乘k1kb2kb3kb加到第加到第1 1列的對應(yīng)列的對應(yīng)元素上元素上. .1001第第2 2列的元素乘以列的元素乘以k, k,k11akb22akb33akb1b2b3b123123abbaba3 21001123123abbaba123123abbaba21行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.0111經(jīng)過若干次初等經(jīng)過若干次初等定理定理1

12、.71.7ijm nAa可以化為下面形式的矩陣可以化為下面形式的矩陣變換變換,A nijmaijaija.三、求逆矩陣三、求逆矩陣的初等變換法的初等變換法任意一個矩陣任意一個矩陣22nmAP1Q1P2Q2sP .tQ. rEOOO推論推論1 1 對任意對任意 矩陣矩陣A Amn 存在存在 階初等矩陣階初等矩陣msP PP12,.和和 階初等矩陣階初等矩陣ntQ QQ12,.使得使得0.0.00.0.000.000.0.000.0.1110P Q 令令sPP P21.P P P為為 階階mQ tQQ Q21. Q Q為為 階階n推論推論2 2 對任意對任意 矩陣矩陣A,A,mn 存在存在 階可逆

13、矩陣階可逆矩陣P Pm和和 階可逆矩陣階可逆矩陣Q,Q,n使得使得m nPAQrEOOO 可逆矩陣可逆矩陣. 可逆矩陣可逆矩陣.23行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.0111A nijmaijamnija.若若A A是方陣，是方陣，mn則其標(biāo)準(zhǔn)形式則其標(biāo)準(zhǔn)形式也是方陣也是方陣. .mnmn推論推論 行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.1.011DA nijnaijan n.nn若若 0A 從而從而則其標(biāo)準(zhǔn)形式為則其標(biāo)準(zhǔn)形式為nE若若A A為為n n 階階可逆可逆矩陣矩陣, ,nE D 則則D0n n0.00.0001.11. 即若即若A

14、 A為為n n階可逆矩陣階可逆矩陣, ,A nijnaijann.從而從而D則則A A可以通過一系列可以通過一系列化為單位矩陣化為單位矩陣E En nAP1Q1P2Q2sP .tQ.0.00.000.1.11n nnE初等變換初等變換n n0.00.000.111.n n若若 0A 則則D0.nE 1000100001tsQAQPQPP1221. .A A可逆可逆反之反之, ,.stnAQPQQEP P 12211.000.100.01 1 .stQQPPQPA 21120 A即即A A可逆可逆. .A A可逆可逆.stnAQPQQEP P 1221A A可以通過一系列初等變換可以通過一系列初

15、等變換若右邊成立若右邊成立, ,則則化為單位矩陣化為單位矩陣. .推論推論3 3A A可逆可逆.stnsQP PPQQAE 1112sP 1sP 1.sPP P 121sP 11sP 11.sPP P 221.tQAQQ 12tQ 1tQ 1.tQQAQ 121.stsP PP QP 11111211tQ 11tQ 11sP 1ssPP 111初等矩陣的逆矩初等矩陣的逆矩陣陣A A是一些初等是一些初等矩陣的乘積矩陣的乘積都是初等矩陣都是初等矩陣. .還是初等矩陣還是初等矩陣. .stnAQPQQEP P 1221sP 11sP 1.tQQAQ 122.ststP PPP Q Q 1111112

16、111A .tsstQPPPPQ 1111112111.tQAQQ 12.tQAQQ 12sP PP12,.,tQ QQ12,.A A可逆可逆A A等于一些初等矩陣的積等于一些初等矩陣的積12sP .11P 12tQ .11Q 推論推論4 4 A A可逆可逆.kAG GG 12,.,kG GG12其其中中A A可以表示成可以表示成n n 階矩陣階矩陣A A可逆可逆均為均為n n 階初等矩陣階初等矩陣. .一些初等矩陣的乘積一些初等矩陣的乘積. .的充分必要條件是的充分必要條件是利用初等變換利用初等變換如果如果A A可逆，可逆，,.,kG GG12其中其中E .kAG GG 112.kAG GG

17、 112.kGGAG12.kAG GG 112AA是初等矩陣是初等矩陣. .對對A A對對E E 對對A A則則A A-1-1根據(jù)推論根據(jù)推論4, 4, 得到得到 E E得到得到A 1得到得到 E EE.kAG GG12EE AE.作初等行變換作初等行變換 EAE.作初等列變換作初等列變換A 1EA 1作作k k次行變換次行變換作同樣的作同樣的k k次次行變換，行變換，1A .12kG GG對對E E得到得到A 1作作k k次次列變換列變換作同樣的作同樣的k k次列變換次列變換AA求逆矩陣：求逆矩陣：也可逆，也可逆，A 012114210 AE 114010100012038 021 0121

18、00102 110 002 321002321010100 421 211 21 001 31221100010001 012114210例例 設(shè)設(shè)求求A A-1-1E1A 210001 1A 31222114211 () 1 114010012100()2 A 012114210AE 100010001 240001 111010 111010012100022 021 012100 103 110 002221010121 10024 32 3210024 010121001012100 002 221 0121142101211 1A 31222114211 E1A321210.00.0

19、000.0000.0.nnaaaaA0.21 naaa求求A A-1 -1A E 12210.000.00000.0000.00.00000nnnaaaaa0.0000.00000.0000.0000.00111110na10na10010na20na100133A E 122100.0000.00000.0000.000.00nnnaaaaa0.0000.00000.0000.0000.001111100.00na00.0011na11a21a21na11na1000.0na12000.0na200.00ana1100.00a00.01000.10001.00021a10.00011a111

20、21na111na34.nnaaaa 12111110000000000000000A 135給定矩陣方程給定矩陣方程其中其中A A、B B且且A A可逆可逆. .由由A 1A 1得得A B 1解法一解法一求求X X先用初等變換的方法，先用初等變換的方法， 求出求出A 1再求出再求出A B 1為已知矩陣為已知矩陣, ,AXB AXB X X 36給定矩陣方程給定矩陣方程其中其中A A、B B為已知矩陣為已知矩陣, , 且且A A可逆可逆. .由由A 1A 1得得A B 1用初等變換的方法求用初等變換的方法求XBA 1求求X XA A可逆，可逆，,.,kG GG12E .kAG GG 112AA其中其中是初等矩陣是初等矩陣. .A A-1-1也可逆，也可逆，根據(jù)推論根據(jù)推論4 4，.kAG GG12BB對對B B得到得到A B 1 AB.作初等行變換作初等行變換 EA B 1解法二解法二對對A A作作k k次行變換次行變換得到得到 E E作同樣的作同樣的k k次次行變換行變換,A1 .kG GG12AXB AXB X XX37例例 解矩陣方程解矩陣方程110111012010253X 解解AXB X AB110101102 112053 110() 1 0111101242 011() 1 10120003