概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)20題及解答

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)20題及解答【第一章】 隨機(jī)事件與概率1、甲袋中有4個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中有2個(gè)白球3個(gè)黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋, 再從乙袋中任取一球返還甲袋. 求經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率.2、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電話的概率3、已知將兩字符之一輸入信道時(shí)輸出的也是字符或，且輸出結(jié)果為原字符的概率為. 假設(shè)該信道傳輸各字符時(shí)是獨(dú)立工作的. 現(xiàn)以等概率從“”，“”這兩個(gè)字符串中任取一個(gè)輸入信道.求輸出結(jié)果恰為“”的概率.4、試卷中的一道選擇題有個(gè)答案可供選擇，其中只有個(gè)答案是正確的某

2、考生如果會(huì)做這道題，則一定能選出正確答案；若該考生不會(huì)做這道題，則不妨隨機(jī)選取一個(gè)答案設(shè)該考生會(huì)做這道題的概率為（1）求該考生選出此題正確答案的概率；（2）已知該考生做對(duì)了此題，求該考生確實(shí)會(huì)做這道題的概率【第二章】 隨機(jī)變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（1）求系數(shù)及；（2）求落在區(qū)間內(nèi)的概率；（3）求的概率密度6、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）常數(shù)；（2）；（3）的分布函數(shù)7、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）的邊緣概率密度；（3）概率8、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）的邊緣概率密度，；（2）概率；（3）判斷,是否相互獨(dú)立.9、設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變

3、量，的概率密度函數(shù)為（1） 求和的聯(lián)合概率密度；（2）求概率【第三章】數(shù)字特征10、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 ，已知，求：（1）的值；（2）11、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）常數(shù)；（2）和12、設(shè)的聯(lián)合概率分布如下：（1）求的數(shù)學(xué)期望,，方差，（2）求的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)考中的考試成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，已知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)占考生總數(shù)的2.3%.（1）試估計(jì)本次考試的不及格率（低于60分為不及格）；（2）試估計(jì)本次考試成績在65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例. 已知，14、兩臺(tái)機(jī)床分

4、別加工生產(chǎn)軸與軸襯設(shè)隨機(jī)變量（單位：）表示軸的直徑，隨機(jī)變量（單位：）表示軸襯的內(nèi)徑，已知，顯然與是獨(dú)立的如果軸襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在之間，則軸與軸襯可以配套使用求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率已知【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)15、設(shè)總體，是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，求常數(shù)使16、設(shè)總體，從該總體中抽取容量為的樣本，求概率【第六章】參數(shù)估計(jì)17、設(shè)總體的概率密度為其中參數(shù)設(shè)是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本，為樣本觀測值.（1）求參數(shù)的矩估計(jì)量（2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量18、設(shè)總體的概率密度為其中參數(shù)設(shè)是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本, 為樣本觀測值.（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.（2）你得

5、到的估計(jì)量是不是參數(shù)的無偏估計(jì)，請說明理由.【第七章】假設(shè)檢驗(yàn)19、矩形的寬與長之比為（黃金分割）時(shí)將給人們視覺上的和諧美感. 某工藝品廠生產(chǎn)矩形裱畫專用框架. 根據(jù)該廠制定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，一批合格產(chǎn)品的寬與長之比必須服從均值為的正態(tài)分布. 現(xiàn)從該廠某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取個(gè)樣品，測得其寬與長之比的平均值為樣本標(biāo)準(zhǔn)差為. 試問在顯著性水平水平上能否認(rèn)為這批產(chǎn)品是合格品？20、已知某種口服藥存在使服用者收縮壓(高壓)增高的副作用. 臨床統(tǒng)計(jì)表明，在服用此藥的人群中收縮壓的增高值服從均值為（單位:,毫米汞柱）的正態(tài)分布. 現(xiàn)在研制了一種新的替代藥品，并對(duì)一批志愿者進(jìn)行了臨床試驗(yàn). 現(xiàn)從該批志愿者中

6、隨機(jī)抽取人測量收縮壓增高值，計(jì)算得到樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 試問這組臨床試驗(yàn)的樣本數(shù)據(jù)能否支持“新的替代藥品比原藥品副作用小”這一結(jié)論 （取顯著性水平）.解答部分【第一章】 隨機(jī)事件與概率1、甲袋中有4個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中有2個(gè)白球3個(gè)黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋, 再從乙袋中任取一球返還甲袋. 求經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率.【解】設(shè)表示“從甲袋移往乙袋的是白球”，表示“從乙袋返還甲袋的是黑球”，表示“經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加”，則，又，于是由概率乘法定理得所求概率為=.2、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電話的概率【解】

7、 設(shè)表示“此人第次撥號(hào)能撥通所需電話” ，表示“此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電話”，則，由概率加法定理與乘法定理得所求概率為 .3、已知將兩字符之一輸入信道時(shí)輸出的也是字符或，且輸出結(jié)果為原字符的概率為. 假設(shè)該信道傳輸各字符時(shí)是獨(dú)立工作的. 現(xiàn)以等概率從“”，“”這兩個(gè)字符串中任取一個(gè)輸入信道.求輸出結(jié)果恰為“”的概率.【解】設(shè)輸入的是“”，輸入的是“”，輸出的是“”，則，從而由全概率公式得.4、試卷中的一道選擇題有個(gè)答案可供選擇，其中只有個(gè)答案是正確的某考生如果會(huì)做這道題，則一定能選出正確答案；若該考生不會(huì)做這道題，則不妨隨機(jī)選取一個(gè)答案設(shè)該考生會(huì)做這道題的概率為（1）求該考生選出此題正確

8、答案的概率；（2）已知該考生做對(duì)了此題，求該考生確實(shí)會(huì)做這道題的概率【解】設(shè)表示“該考生會(huì)解這道題”，表示“該考生選出正確答案”，則，（1）由全概率公式得 （2）由貝葉斯公式得【第二章】 隨機(jī)變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（1）求系數(shù)及；（2）求落在區(qū)間內(nèi)的概率；（3）求的概率密度【解】（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)可知 ，由此解得 （2）的分布函數(shù)為，于是所求概率為（3）的概率密度為6、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）常數(shù)；（2）；（3）的分布函數(shù)【解】（1）由概率密度的性質(zhì)可知，由此得（2） .（3）當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.所以，的分布函數(shù)為7、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為求

9、：（1）系數(shù)；（2）的邊緣概率密度；（3）概率【解】（1）由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)可知，由此得（2）當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)或時(shí)，顯然有所以的邊緣概率密度（3）8、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）的邊緣概率密度，；（2）概率；（3）判斷,是否相互獨(dú)立.【解】（1）當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)或時(shí)，顯然有.于是的邊緣概率密度為當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)或時(shí)，顯然有.于是的邊緣概率密度為（2）.（3）容易驗(yàn)證,故與不獨(dú)立. 9、設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，的概率密度函數(shù)為（2） 求和的聯(lián)合概率密度；（2）求概率【解】（1）由題意知，的概率密度函數(shù)為因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，故和的聯(lián)合概率密度（2）【第三章】數(shù)字特征10、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 ，

10、已知，求：（1）的值；（2）【解】（1）由概率密度的性質(zhì)可知；又聯(lián)立方程組 解得，（2） 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有11、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）常數(shù)；（2）和【解】（1）由概率密度的性質(zhì)可知，由此得（2）由數(shù)學(xué)期望公式得.由于，故利用方差計(jì)算公式得.12、設(shè)的聯(lián)合概率分布如下：（1）求的數(shù)學(xué)期望,，方差，（2）求的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)【解】 由的聯(lián)合概率分布知服從分布：，由分布的期望與方差公式得，由的聯(lián)合概率分布知,從而，【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)考中的考試成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，已知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)占考生總數(shù)的2.3

11、%.（1）試估計(jì)本次考試的不及格率（低于60分為不及格）；（2）試估計(jì)本次考試成績在65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例. 已知，【解】 由題意，可設(shè)近似服從正態(tài)分布.已知，即，由此得，于是，從而近似有.（1），由此可知，本次考試的不及格率約為.（2） ，由此可知，成績在65分至85分之間的考生人數(shù)約占考生總數(shù)的.14、兩臺(tái)機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯設(shè)隨機(jī)變量（單位：）表示軸的直徑，隨機(jī)變量（單位：）表示軸襯的內(nèi)徑，已知，顯然與是獨(dú)立的如果軸襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在之間，則軸與軸襯可以配套使用求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率已知【解】 設(shè)，由與的獨(dú)立性及獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合的性質(zhì)可

12、知，即于是所求概率為 【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)15、設(shè)總體，是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，求常數(shù)使【解】 由知，于是，又由分布的定義知，所以，比較可得16、設(shè)總體，從該總體中抽取容量為的樣本，求概率【解】 由題設(shè)，于是從而 【第六章】參數(shù)估計(jì)17、設(shè)總體的概率密度為其中參數(shù)設(shè)是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本，為樣本觀測值.（1）求參數(shù)的矩估計(jì)量（2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量【解】（1），令，即，解得參數(shù)的矩估計(jì)量為（2）樣本似然函數(shù)為，上式兩邊取對(duì)數(shù)得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零得 ，解得，從而參數(shù)的最大似然估計(jì)量為18、設(shè)總體的概率密度為其中參數(shù)設(shè)是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本, 為樣本觀測值

13、.（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.（2）你得到的估計(jì)量是不是參數(shù)的無偏估計(jì)，請說明理由.【解】（1）樣本似然函數(shù)為上式兩邊取對(duì)數(shù)得，求導(dǎo)數(shù)得，令解得，于是參數(shù)的極大似然估計(jì)量為.（2），于是是的無偏估計(jì).【第七章】假設(shè)檢驗(yàn)19、矩形的寬與長之比為（黃金分割）時(shí)將給人們視覺上的和諧美感. 某工藝品廠生產(chǎn)矩形裱畫專用框架. 根據(jù)該廠制定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，一批合格產(chǎn)品的寬與長之比必須服從均值為的正態(tài)分布. 現(xiàn)從該廠某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取個(gè)樣品，測得其寬與長之比的平均值為樣本標(biāo)準(zhǔn)差為. 試問在顯著性水平水平上能否認(rèn)為這批產(chǎn)品是合格品？【解】由題意，待檢驗(yàn)的假設(shè)為： ； ： 因?yàn)槲粗?，所以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，關(guān)于的拒絕域?yàn)楝F(xiàn)在，所以統(tǒng)計(jì)量的觀測值為因?yàn)?，即的觀測值不在拒絕域內(nèi)，從而接受原假設(shè)，即可以認(rèn)為這批產(chǎn)品是合格品20、已知某種口服藥存在使服用者收縮壓(高壓)增高的副作用. 臨床統(tǒng)計(jì)表明，在服用此藥的人群中收縮壓的增高值服從均值為（單位:,毫米汞柱）的正態(tài)分布. 現(xiàn)在研制了一種新的替代藥品，并對(duì)