什么是有限元分析

1、什么是有限元分析?報(bào)告人報(bào)告人 鄒鄒 霞霞有限元法 FEM (Finite Element Method 有限單元法) 一種將連續(xù)體離散化為若干個(gè)有限大小的單元體的集合，以求解連續(xù)體力學(xué)一種將連續(xù)體離散化為若干個(gè)有限大小的單元體的集合，以求解連續(xù)體力學(xué)問題的數(shù)值方法。問題的數(shù)值方法。有限元分析 FEA (Finite Element Analysis) 使用有限元法，以計(jì)算機(jī)為工具，對實(shí)際物理問題進(jìn)行模擬求解。使用有限元法，以計(jì)算機(jī)為工具，對實(shí)際物理問題進(jìn)行模擬求解。有限元法的發(fā)展概況u 1943年年 Courant從應(yīng)用數(shù)學(xué)角度，嘗試用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)從應(yīng)用數(shù)學(xué)角度，嘗試用定義在

2、三角形區(qū)域上的分片連續(xù) 函數(shù)和最小位能原理相結(jié)合求解函數(shù)和最小位能原理相結(jié)合求解 St. Venant扭轉(zhuǎn)問題。扭轉(zhuǎn)問題。u 1956年年 Turner、Clough等將剛架位移法推廣到彈性力學(xué)平面問題，用三等將剛架位移法推廣到彈性力學(xué)平面問題，用三 角形單元求得平面應(yīng)力問題的正確解答。角形單元求得平面應(yīng)力問題的正確解答。 u 1960年年 Clough進(jìn)一步處理了彈性力學(xué)問題，并第一次提出了進(jìn)一步處理了彈性力學(xué)問題，并第一次提出了“有限單元有限單元 法法” （Finite Element Method）的名稱，使人們開始認(rèn)識到了有限單元法）的名稱，使人們開始認(rèn)識到了有限單元法 的功效。的功效

3、。u 1963-1964年年 Besseling、Melosh等人證明了有限元法是基于變分原理的等人證明了有限元法是基于變分原理的 Ritz法的另一種形式，從而確認(rèn)有限元法是處理連續(xù)介質(zhì)問題的一種普遍法的另一種形式，從而確認(rèn)有限元法是處理連續(xù)介質(zhì)問題的一種普遍 方法，并為有限元法找到了理論基礎(chǔ)。方法，并為有限元法找到了理論基礎(chǔ)。u 60年代后期開始進(jìn)一步利用加權(quán)余量法來確定單元特性和建立有限元方程。年代后期開始進(jìn)一步利用加權(quán)余量法來確定單元特性和建立有限元方程。u 70年代以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法的理論和應(yīng)用研究也隨之空年代以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法的理論和應(yīng)用研究也隨之

4、空 前活躍起來。前活躍起來。 有限元法的理論基礎(chǔ)： 基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)對象：質(zhì)點(diǎn)對象：質(zhì)點(diǎn)特征：無變形特征：無變形 無形狀的點(diǎn)無形狀的點(diǎn)變量：變量：(1)質(zhì)心描述質(zhì)心描述 (2)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程：質(zhì)點(diǎn)的牛頓三大定律方程：質(zhì)點(diǎn)的牛頓三大定律非變形體非變形體 (剛體剛體) 理論力學(xué)理論力學(xué)對象：質(zhì)點(diǎn)系及剛體對象：質(zhì)點(diǎn)系及剛體特征：無變形特征：無變形 復(fù)雜形狀的體復(fù)雜形狀的體變量變量：(1) 剛體描述剛體描述 (2) 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述 (3) 力的平衡描述力的平衡描述方程：質(zhì)點(diǎn)和剛體的方程：質(zhì)點(diǎn)和剛體的 牛頓三大定律牛頓三大定律 材料力學(xué)材料力學(xué)對象

5、：簡單變形體對象：簡單變形體特征：變形特征：變形(小小) 簡單形狀的體簡單形狀的體變量：變量：(1)材料物性描述材料物性描述 (2)變形方面描述變形方面描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程：(1)物理本構(gòu)方程物理本構(gòu)方程 (2)幾何變形方程幾何變形方程 (3)力的平衡方程力的平衡方程三大變量三大變量三大方程三大方程 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)對象：數(shù)量眾多的簡單變形體對象：數(shù)量眾多的簡單變形體特征：變形特征：變形(小小) 簡單形狀的體簡單形狀的體(數(shù)量眾多數(shù)量眾多)變量：變量：(1)材料物性描述材料物性描述 (2)變形方面描述變形方面描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程：(1)物理本構(gòu)方

6、程物理本構(gòu)方程 (2)幾何變形方程幾何變形方程 (3)力的平衡方程力的平衡方程三大變量三大變量三大方程三大方程變形體變形體 彈性力學(xué)彈性力學(xué)對象：任意變形體對象：任意變形體特征：變形特征：變形(小小) 任意形狀的體任意形狀的體變量：變量：(1)材料物性描述材料物性描述 (2)變形方面描述變形方面描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程：(針對微體針對微體dxdydz) (1)物理本構(gòu)方程物理本構(gòu)方程 (2)幾何變形方程幾何變形方程 (3)力的平衡方程力的平衡方程三大變量三大變量三大方程三大方程 彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué)對象：任意變形體對象：任意變形體特征：變形特征：變形(屈服，非線性屈服，非線

7、性) 任意形狀的體任意形狀的體變量：變量：(1)材料物性描述材料物性描述 (2)變形方面描述變形方面描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程： (針對微體針對微體dxdydz) (1)物理本構(gòu)方程物理本構(gòu)方程(屈服，非線性屈服，非線性) (2)幾何變形方程幾何變形方程 (3)力的平衡方程力的平衡方程三大變量三大變量三大方程三大方程變形體變形體 基本變量的定義：主位移主位移物體變形后的形狀物體變形后的形狀應(yīng)應(yīng) 變變物體的變形程度物體的變形程度應(yīng)應(yīng) 力力物體的受力狀態(tài)物體的受力狀態(tài)彈性常數(shù)彈性常數(shù)物體的材料特征物體的材料特征 基本方程 力的平衡方程：力的平衡方程： 力力應(yīng)力應(yīng)力 幾何變形方程：

8、幾何變形方程： 位移位移應(yīng)變應(yīng)變 材料的物理方程材料的物理方程(本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系)： 應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變 力平衡方程力平衡方程幾何變形方程幾何變形方程本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系 有限元法的思路 對象的離散化過程對象的離散化過程自然離散自然離散逼近離散逼近離散(如：桁架如：桁架)(連續(xù)體連續(xù)體)離散體離散體連續(xù)體連續(xù)體連續(xù)體連續(xù)體一分一合一分一合 離散化過程實(shí)體模型實(shí)體模型有限元模型有限元模型自然離散自然離散逼近離散逼近離散 有限元分析過程分解過程分解過程組裝與求解過程組裝與求解過程節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn): 空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。存在相互物理作用。單元單元

9、: 一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣 描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。有限元模型由一些簡單形狀的有限元模型由一些簡單形狀的單元單元組成，單元之間通過組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)連連接，并承受一定接，并承受一定載荷載荷。載荷載荷約束約束 節(jié)點(diǎn)和單元.常用單元的形狀線線(彈簧，梁，桿彈簧，梁，桿)體體(三維實(shí)體三維實(shí)體)線性線性二次二次.面面 (薄殼薄殼, 二維實(shí)體二維實(shí)體,軸對稱實(shí)體軸對稱實(shí)體)線性線性二次二次.二次二次線性線性. . .線性線性二次二次 節(jié)點(diǎn)和單元塊單元塊單元四面體單元四面體單元 一般問題的求解過程結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化單

10、元分析單元分析整體分析整體分析求解計(jì)算求解計(jì)算集成組合集成組合為了進(jìn)行單元分析為了進(jìn)行單元分析為了對整體結(jié)構(gòu)綜合分析為了對整體結(jié)構(gòu)綜合分析 單元分析 單元分析是為了利用節(jié)點(diǎn)位移求解出節(jié)點(diǎn)力單元分析是為了利用節(jié)點(diǎn)位移求解出節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移單元內(nèi)部單元內(nèi)部各點(diǎn)位移各點(diǎn)位移單元應(yīng)變單元應(yīng)變單元應(yīng)力單元應(yīng)力節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力單元分析單元分析單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚥逯挡逯祹缀螏缀畏匠谭匠瘫緲?gòu)本構(gòu)關(guān)系關(guān)系等效等效 整體特征分析 整體分析是將各個(gè)單元再拼湊起來以代替原來的連續(xù)體整體分析是將各個(gè)單元再拼湊起來以代替原來的連續(xù)體建立整體建立整體剛度矩陣剛度矩陣引入約引入約束條件束條件節(jié)點(diǎn)載節(jié)點(diǎn)載荷移置荷移置整

11、體剛度矩陣整體剛度矩陣 有限元法的工程應(yīng)用 (1) 平衡問題或不依賴于時(shí)間的問題平衡問題或不依賴于時(shí)間的問題 (2) 固體力學(xué)和流體力學(xué)的特征值問題固體力學(xué)和流體力學(xué)的特征值問題 (3) 連續(xù)介質(zhì)領(lǐng)域的許多隨時(shí)間變化的問題和或傳播問題連續(xù)介質(zhì)領(lǐng)域的許多隨時(shí)間變化的問題和或傳播問題靜力動(dòng)力分析靜力動(dòng)力分析疲勞分析疲勞分析流體動(dòng)力分析流體動(dòng)力分析模態(tài)分析模態(tài)分析熱分析熱分析 有限元分析實(shí)例動(dòng)力分析動(dòng)力分析疲勞分析疲勞分析熱分析熱分析流體分流體分析析模態(tài)分析模態(tài)分析 利用有限元軟件求解的一般過程： 模型的建立模型的建立設(shè)定材料屬性設(shè)定材料屬性添加邊界條件添加邊界條件劃分網(wǎng)格劃分網(wǎng)格約束、載荷約束、載

12、荷運(yùn)行求解運(yùn)行求解后處理后處理結(jié)果的提取結(jié)果的提取應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等E、G、等等等等 邊界條件的添加 邊界條件邊界條件當(dāng)研究一個(gè)物體，與該物體相連接的其他物體被拿掉時(shí)，用一個(gè)約束或者當(dāng)研究一個(gè)物體，與該物體相連接的其他物體被拿掉時(shí)，用一個(gè)約束或者 載荷來替代被拿掉的物體。這個(gè)載荷來替代被拿掉的物體。這個(gè)約束約束或者或者載荷載荷就是邊界條件。就是邊界條件。固定鉸鏈固定鉸鏈固定鉸鏈固定鉸鏈載荷載荷(油缸壓力油缸壓力)添加邊界條件添加邊界條件位移邊界條件位移邊界條件力邊界條件力邊界條件 網(wǎng)格的劃分 網(wǎng)格的劃分粗網(wǎng)格粗網(wǎng)格細(xì)網(wǎng)格細(xì)網(wǎng)格 后處理截面剪裁截面剪裁ISO剪裁剪裁延性：延

13、性：Mises脆性：應(yīng)力強(qiáng)脆性：應(yīng)力強(qiáng)度度 ISO剪裁25MPa40MPa60MPa80MPa 后處理探探 測測 后處理探測結(jié)果探測結(jié)果 應(yīng)力奇異 (應(yīng)力集中) 有限元模型中由于幾何構(gòu)造或載荷引起彈性理論計(jì)算應(yīng)力值無限大。有限元模型中由于幾何構(gòu)造或載荷引起彈性理論計(jì)算應(yīng)力值無限大。 即使是奇異點(diǎn)，材料的非線性特性不可能允許應(yīng)力值出現(xiàn)無限增大情況，在理論上總體即使是奇異點(diǎn)，材料的非線性特性不可能允許應(yīng)力值出現(xiàn)無限增大情況，在理論上總體 應(yīng)變也是有限的。應(yīng)變也是有限的。P /AA s A 0, 一般應(yīng)力奇異發(fā)生情形：集中載荷作用位置處集中載荷作用位置處銳利銳利(零半徑倒角零半徑倒角)拐角處。拐角處

14、。 不常見的應(yīng)力奇異情形：由于在劃分單元網(wǎng)格時(shí)出錯(cuò)，模型中存在由于在劃分單元網(wǎng)格時(shí)出錯(cuò)，模型中存在的的“裂縫裂縫”；曲邊單元中處在極不理想位置的中間點(diǎn)；曲邊單元中處在極不理想位置的中間點(diǎn)；嚴(yán)重扭曲的單元。嚴(yán)重扭曲的單元。 在應(yīng)力奇異處: 單元網(wǎng)格越是細(xì)化，越引起計(jì)算應(yīng)力單元網(wǎng)格越是細(xì)化，越引起計(jì)算應(yīng)力 無限增加，并且不再收斂。無限增加，并且不再收斂。 網(wǎng)格疏密不均勻時(shí)網(wǎng)格離散誤差也大網(wǎng)格疏密不均勻時(shí)網(wǎng)格離散誤差也大 小不一。小不一。 應(yīng)力奇異處應(yīng)力值不是實(shí)際應(yīng)力值，應(yīng)力奇異處應(yīng)力值不是實(shí)際應(yīng)力值， 不作為應(yīng)力參考值。不作為應(yīng)力參考值。 應(yīng)力奇異點(diǎn) (應(yīng)力集中點(diǎn)) 改善應(yīng)力集中 消除尖角消除尖角 手工計(jì)算手工計(jì)算裝配體裝配體零零 件件 不同的分析方式裝配體的分析過程(實(shí)例)裝裝 配配 配