定積分的概念

1、實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積） 求面積問題由來已久，對于由直線所圍成的求面積問題由來已久，對于由直線所圍成的平面圖形的面積我們已經(jīng)會求，下圖所示的圖形平面圖形的面積我們已經(jīng)會求，下圖所示的圖形如何求面積如何求面積一、問題的提出一、問題的提出abxyo曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線 )(xfy )0)( xf、 x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、 bx 所圍成所圍成.abxyo)(xfy ? A用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積abxyo（四個小矩形）（四個小矩形）abxyo（九個小矩形）（九個小矩形）顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯

2、然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放播放xxx1 x1 xy1 xyy12yxxyO0.10.20.40.60.8實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 設(shè)設(shè)某某物物體體作作直直線線運運動動，已已知知速速度度)(tvv 是是時時間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，

3、且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程.思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度 （2）求和）求和iininiitvss )(11 （3）取極限）取極限,max21nttt 路程的精確值路程的精確值ini

4、itvs )(lim10 （1）分割）分割問題問題 以上兩個例子，一個是以上兩個例子，一個是幾何幾何問題，求的問題，求的是以曲線是以曲線 y = f(x)為曲邊，以為曲邊，以 a,b 為底邊的為底邊的曲邊梯形的面積。一個是曲邊梯形的面積。一個是物理物理問題，求的是問題，求的是速度函數(shù)為速度函數(shù)為v(t)的變速直線運動的物體在時的變速直線運動的物體在時間區(qū)間間區(qū)間 a,b 所走過的路程所走過的路程歸納歸納 它們求的都是展布在某個區(qū)間上的總它們求的都是展布在某個區(qū)間上的總量（總面積或總路程）量（總面積或總路程）解決方法：解決方法： 通過通過局部取近似局部取近似（求微分求微分），），求和取極限求和取

5、極限（微分的無限求和微分的無限求和）的方法，把總量歸結(jié)為）的方法，把總量歸結(jié)為 求一種特定和式的極限求一種特定和式的極限問題情境問題情境: 1.曲邊梯形面積問題曲邊梯形面積問題; 2.變力作功問題變力作功問題; 3.變速運動的距離問題變速運動的距離問題.我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由一個數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分的定義此我們可以給定積分的定義 它們都?xì)w結(jié)為它們都?xì)w結(jié)為:分割、近似求分割、近似求和、取逼近和、取逼近定積分的定義定積分的定義:一般地一般地,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x

6、)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義上有定義,將區(qū)間將區(qū)間a,b等分成等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間,每個小區(qū)的長度每個小區(qū)的長度為為 ,在每個小區(qū)間上取一點在每個小區(qū)間上取一點,依次為依次為x1,x2,.xi,.xn,作和作和如果如果 無限趨近于無限趨近于0時時,Sn無限趨近于無限趨近于常數(shù)常數(shù)S,那那么稱么稱常數(shù)常數(shù)S為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分,記記作作: .)(nabxxx)f(xx)f(xx)x(fSn21n baSf(x)dxf(x)dxx積積分分下下限限積積分分上上限限badxxf)(被積函數(shù)被積函數(shù)積積分分變變量量曲線曲線 y = f (x) 0，直線，直線 x

7、 = a， x = b， y = 0 所所圍成的曲邊梯形面積可用定積分表示為圍成的曲邊梯形面積可用定積分表示為badxxfS)(變力作功問題可表示為變力作功問題可表示為badxxFW)(1.由曲線由曲線y=x2+1與直線與直線x=1,x=3及及x軸軸所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積,用定積分表用定積分表示為示為_.223sin tdt2. 中中,積分上限是積分上限是_,積分下限積分下限是是_,積分區(qū)間是積分區(qū)間是_舉例 dxx) 1(2312-2-2,23.定積分定積分 =_.211)dx1)dx(x(x25. ._4dx4dx4.定積分4.定積分3 31 18注注 ：定積分?jǐn)?shù)值只

8、與被積函數(shù)及積分定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間區(qū)間 a, b 有關(guān)有關(guān), 與積分變量記號無關(guān)與積分變量記號無關(guān)bababaduufdttfdxxf)()()(思考思考: 函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分 能否為能否為負(fù)負(fù)的的?定積分._121 1) )d dx x( (x x 定積分 =_.211)dx1)dx(x(x 三三 .定積分的幾何意義定積分的幾何意義.當(dāng)當(dāng) f (x) 0，定積分，定積分 badxxf)(的幾何意義就是的幾何意義就是bAoxyay=f (x)S 曲線曲線 y = f (x)直線直線 x = a， x = b， y = 0 所所圍成的曲邊梯形的面積圍成的

9、曲邊梯形的面積b ba aS Sf(x)dxf(x)dx: :即即當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) f (x) 0 ， x a, b 時時 定積分定積分 幾何意義幾何意義badxxf)(Sdxxfba)(即即就是位于就是位于 x 軸下方的曲軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù)邊梯形面積的相反數(shù). oyaby=f (x)S當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) f (x)在在 x a, b 有正有負(fù)時有正有負(fù)時, 定積分定積分 幾何意義幾何意義badxxf)(3 32 21 1b ba aS SS SS Sf f( (x x) )d dx x即即就是圖中幾個曲邊圖形面積的就是圖中幾個曲邊圖形面積的代數(shù)和代數(shù)和,(x軸上方面積取正號軸上方面積取正號,

10、x軸下方面積取負(fù)號軸下方面積取負(fù)號) OXS2S1yS3 1求下列定積分求下列定積分: (1) 504)dx4)dx(2x(2xdxx1121)3(例題分析例題分析: 20s si in nx xd dx x (2)求定積分，只要求定積分，只要理解被積函數(shù)和理解被積函數(shù)和定積分的意義，定積分的意義，并作出圖形，即并作出圖形，即可解決可解決。用定積分表示下列陰影部分面積用定積分表示下列陰影部分面積 S=_;S=_;S=_;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5XOy223y=cosx四、小結(jié)定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì)：特殊和式的逼近值：特殊和式的逼近值定積分的思想和方法：定積分的思想和方

11、法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取逼近取逼近精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取逼近取逼近3.定積分的幾何意義及簡單應(yīng)用定積分的幾何意義及簡單應(yīng)用在在 區(qū)區(qū) 間間,ba上上 的的 定定 積積 分分 ，記為記為 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限積分區(qū)間積分區(qū)間,ba積分和積分和注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， 而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān). badxxf)( ba

12、dttf)( baduuf)(（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.102dxx 解解將將 1 , 0n等等分分，分分點點為為nixi ，(ni, 2 , 1 )小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 利用定義

13、計算定積分利用定義計算定積分 10dxex解解xexf )(在在 0,1上連續(xù)，故上連續(xù)，故f(x)在在0,1上可積上可積為方便計，將為方便計，將 0,1n 等分，左側(cè)取點等分，左側(cè)取點nxniii1,1 niief1)( 1)(12101nnnniniieeeenxf 等比數(shù)列等比數(shù)列nnneen111)(11 11)1(1 nene nn0,1 11lim1lim00 xxxxeex11lim11lim01 xxnnexen niiixf10)(lim 11)1(lim1 nnene1 e觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系

14、矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系3觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系13觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系23觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系33觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系43觀察下列演示過程，注意當(dāng)

15、分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系53觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系63觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系73觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系83觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積

16、和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系93觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系103觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系113觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系123觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)

17、系133觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系143定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限：特殊和式的極限 分、粗、和、精分、粗、和、精定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限 五、小結(jié)五、小結(jié)將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分.思考題解答思考題解答 nnnnnnnnsin)1(sin2s

18、insin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1ix i .sin10 xdx思考題思考題練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù))(xf 在在 ba ,上的定積分是積分和的極限，上的定積分是積分和的極限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定積分的值只與定積分的值只與_及及_有關(guān)，而與有關(guān)，而與_的記法無關(guān)的記法無關(guān) . .3 3、 定積分的幾何意義是定積分的幾何意義是_ . .4 4、 區(qū)間區(qū)間 ba ,長度的定積分表示是長度的定積分表示是_ . .二、二、 利用定積分的定義計算由拋物線利用定積分的定義計算由拋物線,12 xy兩直線兩直線)(,abbxax 及橫軸所圍成的圖形的面積及橫軸所圍成的圖形的面積 . .三、三、 利用定積分的定義計算積分利用定積分的定義計算積分 baxdx，)(ba . .四、四、 利用定積分的幾何意義，說明下列等式：利用定積分的幾何意義，說明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知閘門上水的閘門上水的是是壓強(qiáng)壓強(qiáng) P的的水水深深 h函數(shù)，且有函數(shù)，且有)(8 .