數(shù)學模型-第03章(第五版)

1、第三章 簡單簡單優(yōu)化優(yōu)化模型模型優(yōu)化優(yōu)化工程技術工程技術、經(jīng)濟管理、科學研究中經(jīng)濟管理、科學研究中的的常見問題常見問題. 用數(shù)學建模方法解決優(yōu)化問題用數(shù)學建模方法解決優(yōu)化問題的過程的過程簡單優(yōu)化模型歸結為簡單優(yōu)化模型歸結為函數(shù)極值函數(shù)極值問題，用問題，用微分法微分法求解求解. . 材料強度最大材料強度最大運輸費用最低運輸費用最低利潤最高利潤最高風險最小風險最小優(yōu)化優(yōu)化目標與目標與決策決策模型模型假設假設與建立與建立數(shù)學數(shù)學求解與求解與分析分析屬于數(shù)學規(guī)劃的屬于數(shù)學規(guī)劃的優(yōu)化優(yōu)化模型模型在第在第四四章章討論討論.3.1 存貯存貯 模型模型3.2 森林救火森林救火3.3 傾倒傾倒的啤酒杯的啤酒杯3

2、.4 鉛球鉛球擲遠擲遠3.5 不買不買貴的只買對的貴的只買對的3.6 血管血管分支分支3.7 冰山冰山運輸運輸3.8 影院影院里的視角和里的視角和仰角仰角3.9 易拉罐易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計形狀和尺寸的最優(yōu)設計第三章 簡簡單單優(yōu)優(yōu)化化模模型型3.1 存貯模型存貯模型問問 題題配件廠為裝配線生產若干種產品，輪換產品時因更換設配件廠為裝配線生產若干種產品，輪換產品時因更換設備要付生產準備費，產量大于需求時要付貯存費備要付生產準備費，產量大于需求時要付貯存費. 該廠該廠生產能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內產出生產能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內產出.已知某產品日需求量已知某產品日需求量1

3、00件，生產準備費件，生產準備費5000元，貯存費元，貯存費每日每件每日每件1元元. 試安排該產品的生產計劃，即多少天生產試安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次（生產周期），每次產量多少，使總費用最小一次（生產周期），每次產量多少，使總費用最小.要要求求不只是回答問題，而且要建立生產周期、產量與不只是回答問題，而且要建立生產周期、產量與需求量、準備費、貯存費之間的關系需求量、準備費、貯存費之間的關系.問題分析與思考問題分析與思考 每天生產一次每天生產一次, 每次每次100件件,無貯存費無貯存費,準備費準備費5000元元.日需求日需求100件，準備費件，準備費5000元，貯存費每日每件元，貯存

4、費每日每件1元元. 10天生產一次天生產一次, 每次每次1000件，貯存費件，貯存費900+800+100 =4500元，準備費元，準備費5000元，總計元，總計9500元元. 50天生產一次天生產一次,每次每次5000件件, 貯存費貯存費4900+4800+100 =122500元，準備費元，準備費5000元，總計元，總計127500元元.平均每天費用平均每天費用950元元平均每天費用平均每天費用2550元元1010天生產一次天生產一次, ,平均每天費用最小嗎平均每天費用最小嗎? ?每天費用每天費用5000元元 是是一個優(yōu)化問題，關鍵在建立目標函數(shù)一個優(yōu)化問題，關鍵在建立目標函數(shù).顯然不能用

5、一個周期的總費用作為目標函數(shù)顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù).目標函數(shù)目標函數(shù)每天總費用的平均值每天總費用的平均值. 周期短，產量小周期短，產量小 周期長，產量大周期長，產量大問題分析與思考問題分析與思考貯存費少，準備費多貯存費少，準備費多準備費少，貯存費多準備費少，貯存費多存在最佳的周期和產量，使總存在最佳的周期和產量，使總費用費用 (二者二者之之和和) 最小最小.模模 型型 假假 設設1. 產品每天的產品每天的需求量需求量為常數(shù)為常數(shù) r；2. 每次生產每次生產準備費準備費為為 c1, 每天每件產品每天每件產品貯存費貯存費為為 c2；3. T天天(一周期一周期)生產生產一一次次, 每

6、次生產每次生產Q件，當件，當貯存貯存量量降降 為零時，為零時，Q件產品件產品立即生產出來立即生產出來 (生產生產時間時間不計不計)；建建 模模 目目 的的r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天總費用的平均值最小使每天總費用的平均值最小. .4. 為方便起見，時間和產量都作為連續(xù)量處理為方便起見，時間和產量都作為連續(xù)量處理.模模 型型 建建 立立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)貯存量表示為時間的函數(shù) q(t)TQrt=0生產生產Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費用總費用221QTccC每天總費用平均每天總費用平均值（目標函

7、數(shù)）值（目標函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC離散問題連續(xù)化離散問題連續(xù)化20( )dTcq tt一周期貯存費為一周期貯存費為A2221rTcc rTQ =QT/222QTc模型求解模型求解min2)(21rTcTcTC求求 T 使使d0dCT212crcrTQ212rccT 模型解釋模型解釋QTc,1QTc,2QTr,定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析參數(shù)參數(shù)c1,c2, r的微小變化對的微小變化對T,Q的影響的影響T對對c1的的(相相對對)敏感度敏感度 111/),(ccTTcTS11ddcTc T21c1增加增加1%, T增加增加0.5%S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c

8、2或或r增加增加1%, T減少減少0.5%經(jīng)濟批量訂貨經(jīng)濟批量訂貨公式公式(EOQ公式公式)212rccT 212crcrTQ 用于訂貨供應情況用于訂貨供應情況:不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型模型應用模型應用T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原問題回答原問題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費，每次訂貨費 c1, 每天每件貯存費每天每件貯存費 c2 , T天天(周期周期) 訂貨訂貨一一次次,每次每次訂貨訂貨Q件，當貯存量降到零時，件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨件立即到貨.思考思考: 為什么與前面計算的為什

9、么與前面計算的C=950元有差別元有差別?允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型ABOqQrT1t當貯存量降到零時仍有需求當貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺貨，造成損失.原模型假設：原模型假設：貯存量降到零時貯存量降到零時Q件立即生產出來件立即生產出來(或立即到貨或立即到貨).現(xiàn)假設：現(xiàn)假設：允許缺貨允許缺貨, 每天每件缺貨損失費每天每件缺貨損失費 c3 , 缺貨需補足缺貨需補足.T1rTQ Ac2Bc3周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期總費用一周期總費用一周期一周期貯存費貯存費120( )dTcq tt一周期一周期缺貨

10、費缺貨費13( )dTTcq ttTCQTC),(0,0QCTC每天總費用每天總費用平均值平均值（目標函數(shù)）（目標函數(shù)）213121)(2121TTrcQTccC一周期總費用一周期總費用( ,)minC T Q 求求 T ,Q 332212cccrccT323212ccccrcQ為與不允許缺貨的存貯模型為與不允許缺貨的存貯模型相比，相比，T T記作記作T T , , Q Q記作記作Q Q . .允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型rTQrTcrTQcTc2)(223221212rccT 212crcrTQ不不允許允許 缺貨缺貨模型模型QQTT,332ccc 記記1QQTT,13cQQTT,33

11、2212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型不不允允許許缺缺貨貨3c332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型OqQ rT1tT注意：缺貨需補足注意：缺貨需補足Q 每周期初的存貯量每周期初的存貯量R每周期的生產量每周期的生產量R （或訂貨量）（或訂貨量）332212ccccrcTrRQ不允許缺貨時的產量不允許缺貨時的產量(或訂貨量或訂貨量) QQR存存 貯貯 模模 型型 存貯模型存貯模型(EOQ公式公式)是研究批量生產計劃的是研究批量生產計劃的重要理論基礎重要理論基礎, 也有實際應用也有實際應用. 建模中建模中未考慮生產費用未考慮生

12、產費用, 為什么為什么?在什么條件下在什么條件下可以不可以不考慮考慮? 建模中假設生產能力為無限大建模中假設生產能力為無限大(生產時間不計生產時間不計), 如果如果生產能力有限生產能力有限(是大于是大于需求量的常數(shù)需求量的常數(shù)), 應作應作怎樣的怎樣的改動改動?3.2 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量.隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小隊員少，森林損失大，救援費用小.綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量.分析分析問題問題記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x,

13、 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 關鍵是對關鍵是對B(t)作出合理的簡化假設作出合理的簡化假設.分析分析失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致

14、圖形的大致圖形.t1t2OtBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉而討論單位時間轉而討論單位時間燒毀面積燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度森林燒毀的速度).模型假設模型假設 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）燒毀單位面積損失費） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度火勢蔓延速度). 2）t1 t t2, 降為降為 x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度速度). 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費用隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3 .假設假設1）的解釋）的解釋 rB

15、火勢以失火點為中心，均勻向四火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑周呈圓形蔓延，半徑 r與與 t 成正比成正比.面積面積 B與與 t2 成正比成正比dB/dt與與 t 成正比成正比xbtt12220d( )ddtBB ttt模型建立模型建立ddBtbOt1tt2x假設假設1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用)()()(21xfxfxC假設假設3）4）xttt112假設假設2）)(222212212xttbtd0dCxxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用模型求

16、解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù) c2 x c1, t1, x c3 , x 231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個每個隊員單位時間滅火費隊員單位時間滅火費, c3每個每個隊員一次性費用隊員一次性費用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度.為什么為什么? ?結果解釋結果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)ddBtbOt1t2xt模型應用模型應用費用參數(shù)費用參

17、數(shù)c1,c2,c3已知已知 , 由森林類型、隊員能力等因素決定，可由森林類型、隊員能力等因素決定，可設設置一系列置一系列數(shù)值備查數(shù)值備查.模型可決定模型可決定隊員數(shù)量隊員數(shù)量 x231221122ctctcx開始救火時刻開始救火時刻t1可可估計估計 評注評注在在風力的影響風力的影響較大時較大時“森林燒毀速度森林燒毀速度dB/dt 與與 t成正比成正比”的的假設需要重新考慮假設需要重新考慮.隊員滅火隊員滅火速度速度 應該與開始救火時的火勢有關應該與開始救火時的火勢有關.不平坦不平坦處滿杯啤酒容易傾倒處滿杯啤酒容易傾倒.杯子杯子中央稍下一點中央稍下一點的位置的位置.重心有一個最低點重心有一個最低點

18、 啤酒杯容易放穩(wěn)的位置啤酒杯容易放穩(wěn)的位置.飲酒時飲酒時重心先重心先降低，再降低，再升高升高，回到，回到中央中央.建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型描述啤酒杯的重心變化的規(guī)律，描述啤酒杯的重心變化的規(guī)律，找出重心最低點的位置，討論找出重心最低點的位置，討論決定決定最低點最低點的的因素因素.重心太高！重心太高！滿杯滿杯時重心在哪里？時重心在哪里？空空杯杯時重心時重心在哪里？在哪里？ 與滿杯時與滿杯時重心相同重心相同.倒倒酒時酒時重心重心先升高，再降低先升高，再降低，回到，回到中央中央.3.3 傾倒的啤酒杯傾倒的啤酒杯問題問題分析與模型假設分析與模型假設 s(x)1液面液面x0 x最簡單的啤酒杯最簡單的啤酒

19、杯 高度為高度為1的的圓柱體圓柱體.沿中軸線建立沿中軸線建立坐標軸坐標軸x，倒酒時，倒酒時液液面高度從面高度從x=0到到x=1.假設假設：啤酒和杯子材料啤酒和杯子材料均勻均勻.w2 空杯側壁質量空杯側壁質量w3 空杯底面質量空杯底面質量空杯重心由空杯重心由w2和和w3決定決定, 與與x無關無關.重心重心位置位置沿沿x軸軸變化，記作變化，記作s(x).w1 啤酒啤酒 (滿杯滿杯) 質量質量 s1=x/2 s2=1/2液液面高度面高度x時時啤酒啤酒質量質量w1x, 啤酒啤酒重心重心位置位置 s1=x/2問題問題分析與模型假設分析與模型假設 s(x)1液面液面x0 xw1 啤酒啤酒 (滿杯滿杯) 質

20、量質量w2 空空杯側壁杯側壁質量質量, w3 空空杯底面質量杯底面質量空杯重心位置空杯重心位置 s2=1/2忽略空杯底面質量忽略空杯底面質量w3 建立啤酒杯建立啤酒杯重心重心模型模型一一啤酒杯重心啤酒杯重心s(x)由由啤酒重心啤酒重心和和空杯空杯重心重心合成合成.啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型一一 s1=x/2 s2=1/2 s(x)1液面液面x0 xs=s(x) 液面高度液面高度x的的啤酒杯重心啤酒杯重心啤酒質量啤酒質量w1x空杯質量空杯質量w2啤酒重心啤酒重心s1空杯重心空杯重心s2力矩平衡力矩平衡s1=x/2s2=1/2a=w2/w1啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型一一啤酒杯重心啤酒杯重心s(

21、x)只與質量比只與質量比a有關有關a = w2/w1w1 啤酒質量啤酒質量w2 空杯質量空杯質量00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.250.30.350.40.450.5a=0.1a=0.3a=0.5a=1xsa=0.3, x=0.35左右左右s最小最小, 即即重心最低重心最低.對于每個對于每個a, s(x)有有一一最小最小點點.x =0.35啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型一一a = w2/w1微分法求解微分法求解s極值極值問題問題x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.45axa液

22、面高度為液面高度為x時啤酒杯時啤酒杯重心處于最低位置重心處于最低位置.x 由由質量比質量比a決定決定結果結果分析分析半升啤酒杯半升啤酒杯w1=500g空杯質量空杯質量w2取決于材料取決于材料 (紙杯、塑料杯、玻璃杯紙杯、塑料杯、玻璃杯).一杯啤酒約剩一杯啤酒約剩1/3時重心最低，最不容易傾倒！時重心最低，最不容易傾倒！ 設設w2=150g(a = w2/w1)x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.45axaa=0.3x=0.3245w2 a x 空杯越空杯越重重,重心重心最低時的液面越高最低時的液面越高.重心重

23、心最低最低位置位置x由比值由比值a決定決定結果結果分析分析(a = w2/w1) = xs(x)x啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.意料之外意料之外? ?情理之中情理之中! !直觀解釋直觀解釋x=0時時s=s2=1/2xs1=x/2向下作用向下作用sx=sxs1=x/2向上作用向上作用s x=1時時s= 1/2結果結果分析分析啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.數(shù)學分析數(shù)學分析ds/dx與與 (x-s) 同號同號.xs時時ds/dx s時時ds/dx 0sx=s時時ds/dx =0, s達到最小值達到最小值.x 啤酒杯重心模

24、型啤酒杯重心模型二二 s1=x/2 s2=1/2 s(x)1液面液面x0 xs3=0 考慮考慮空杯底面質量空杯底面質量w3 底面厚度底面厚度杯子高度杯子高度力矩平衡力矩平衡332211321)(swswxswswwxw底面重心底面重心 s3=0s1=x/2s2=1/2a=w2/w1b=w3/w1b=0時與模型一相同時與模型一相同.啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型二二a = w2/w1 b = w3/w1=s(x)啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.與模型一與模型一 a=0.3時時 x=0.3245比較比較設設側壁和底面的厚度和材質相同側壁和底面的厚度和材質相同,

25、側壁高度側壁高度h, 底面直徑底面直徑 d, h=2dw3/w2= d/4h=1/8x=0.3059b=w3/w1=(1/8) 0.3=0.0375小結與評注小結與評注對于一個饒有生活情趣的現(xiàn)象對于一個饒有生活情趣的現(xiàn)象建立建立數(shù)學數(shù)學模型模型：對對杯子杯子作適當作適當?shù)牡暮喕喕僭O假設.用用基本基本物理物理知識知識構造構造優(yōu)化優(yōu)化模型模型.用用導數(shù)導數(shù)、極限、作圖、極限、作圖等等方法方法給出給出求解求解結果結果.對對結果結果作作數(shù)學分析數(shù)學分析并并給予給予實際實際解釋解釋.啤酒杯重心模型啤酒杯重心模型二二啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.啤酒杯重心模型啤

26、酒杯重心模型一一既在既在意料之外意料之外又在又在情理之中情理之中的結果的結果.函數(shù)函數(shù)s=s(x)的最小的最小點點x*是是不動點不動點，即，即x*=s(x*)有趣的現(xiàn)象有趣的現(xiàn)象: 只要啤酒杯是只要啤酒杯是旋轉體旋轉體(如如圓臺圓臺或或球臺球臺), 上述結果就成立！上述結果就成立！旋轉體旋轉體側壁由任意曲線繞中軸線旋轉而側壁由任意曲線繞中軸線旋轉而成成.小結與評注小結與評注 3.4 鉛球擲遠鉛球擲遠鉛球擲遠起源于鉛球擲遠起源于14世紀世紀歐洲歐洲炮兵推擲炮彈的游戲和比賽炮兵推擲炮彈的游戲和比賽.男子鉛球早在男子鉛球早在1896年第年第1屆奧運會上就被列為屆奧運會上就被列為比賽項目比賽項目.影響

27、影響投擲距離的因素投擲距離的因素：找出最佳出手角度找出最佳出手角度.定量分析投擲距離與定量分析投擲距離與這些因素這些因素的關系的關系.研究研究這些因素這些因素的微小改變對投擲距離的影響的微小改變對投擲距離的影響.常識判斷常識判斷初始速度初始速度出手角度出手角度出手高度出手高度問題分析問題分析x男子鉛球直徑男子鉛球直徑11至至13cm,重量為重量為16磅磅(合合7.26kg).在短暫的飛行中所受的在短暫的飛行中所受的阻力可以忽略阻力可以忽略.將鉛球視為一個質點，以一定的初始速度和出手將鉛球視為一個質點，以一定的初始速度和出手角度投出后，角度投出后，在重力作用下作斜拋運動在重力作用下作斜拋運動.影

28、響影響投擲距離的因素投擲距離的因素：初始速度初始速度v出手角度出手角度出手高度出手高度h重力重力vsyxO模型一不考慮鉛球出手高度不考慮鉛球出手高度 初始速度初始速度v與與x軸的夾角軸的夾角g 重力加速度重力加速度t=0時鉛球從坐標原點時鉛球從坐標原點O投出投出.2/sin,cos2gtvtyvtxs 投擲距離投擲距離斜拋運動斜拋運動的基本定律的基本定律gvs2sin22/sin0,cos2gtvtvts落地落地模型一gvs2sin212sin出手角度出手角度=/4時時最佳出手角度最佳出手角度/4與初始速度與初始速度v無關無關.“物體以物體以45度角拋出的距離最遠度角拋出的距離最遠”對任何出手

29、角度對任何出手角度，投擲距離投擲距離s與與v2成正比成正比.初始速度的提高能使投擲距離大幅度地增加初始速度的提高能使投擲距離大幅度地增加.結果分析結果分析gvs/2投擲距離投擲距離 最大最大.hO 重力vsyx模型二鉛球出手高度鉛球出手高度為為ht=0時鉛球從時鉛球從 (0, h) 投出投出2/sin0,cos2gtvthvtsgvs2sin2h=0 時時與與模型一模型一 相同相同.hgvgvgvs2sincoscossin222模型二hgvgvgvs2sincoscossin2220dds 直接用直接用 求求最佳出手角度計算太繁最佳出手角度計算太繁. 2/sin0,cos2gtvthvtsg

30、hvgvs22最佳出手角度最佳出手角度最最遠遠投擲距離投擲距離0cos2tan222vgsshtan2gvs 0cossincos3222vgss0sin2222gvgvh0dds)( 2sin2ghvv模型二hgvgvgvs2sincoscossin222ghvgvs22最佳出手角度最佳出手角度最最遠遠投擲距離投擲距離)( 2sin2ghvv最佳出手角度最佳出手角度0, 遞增遞增漸漸慢慢dU(x)/dx 0, 遞減遞減01234567891000.511.522.533.544.5xU(x)dU/dx3/1, 2()(aaxxUdU(x)/dx “邊際效用遞減邊際效用遞減” 經(jīng)濟學中普遍、重

31、要的法則經(jīng)濟學中普遍、重要的法則.效用函數(shù)和邊際效用效用函數(shù)和邊際效用特性的特性的數(shù)學表述：數(shù)學表述：01234567891000.511.522.533.544.5xU(x)dU/dx3/1, 2()(aaxxUdU(x)/dx 效用函數(shù)效用函數(shù) U(x)現(xiàn)實生活中的諸多表現(xiàn)現(xiàn)實生活中的諸多表現(xiàn).效用效用遞增遞增邊際邊際效用效用遞減遞減無差別曲線無差別曲線U(x, y) 兩個變量兩個變量x, y的的效用函數(shù)效用函數(shù)x片面包和片面包和y根香腸的組合根香腸的組合幾種組合的效用函數(shù)相等幾種組合的效用函數(shù)相等A1 1片面包加片面包加4根香腸根香腸A2 4片面包加片面包加1根半香腸根半香腸A37片面包

32、加片面包加1根香腸根香腸A1, A2, A3連成一條曲線連成一條曲線U(x, y)=u1 (u1 常數(shù)常數(shù))無差別曲線無差別曲線 效用函數(shù)效用函數(shù)的幾何表示的幾何表示.等效用線等效用線01234567800.511.522.533.544.55xyA1(1,4)A2(4,1.5)A3(7,1)無差別曲線無差別曲線B1(2片面包加片面包加5根香腸根香腸), B2, B3連成無差別曲線連成無差別曲線.01234567800.511.522.533.544.55xyA1(1,4)A2(4,1.5)A3(7,1)B1(2.5)B2(4,3)B3(7,2)C1(1,2)C2(7,0.5)效用函數(shù)效用函數(shù)

33、 U(x, y)=u的幾何表示的幾何表示U(x, y)=u2 (u2 u1)C1(1片面包加片面包加2根香腸根香腸), C2連成無差別曲線連成無差別曲線.U(x, y)=u3 (u3 u1)OyU(x,y) = ux1l2l3lu增加效用函數(shù)效用函數(shù)值值u增加增加無差別曲線無差別曲線上移上移無差別曲線無差別曲線 U(x, y)=u1,0, 0,),(ayaxyxU典型的效用函數(shù)典型的效用函數(shù)00.511.522.533.544.55012345678910 xyU(x,y)=1U(x,y)=2U(x,y)=3a=1, =1/3, =1/2效用效用遞增遞增邊際邊際效用效用遞減遞減一元函數(shù)一元函數(shù)

34、U(x)二元函數(shù)二元函數(shù)U(x,y)無差別曲線無差別曲線的特性的特性下降下降幾何直觀幾何直觀下凸下凸互不相交互不相交u增加U(x, y) =uOxy“下降下降”的數(shù)的數(shù)學解釋學解釋無差別曲線上效用函數(shù)無差別曲線上效用函數(shù)U(x, y)=u不變不變隱函數(shù)隱函數(shù)U(x, y)=u求導公式求導公式y(tǒng)=y(x)0, y0）邊際效用邊際效用U/x, U/y用用x替代替代y后效用不變后效用不變2種可以相互種可以相互替代替代的商品的商品x, y0yyUxxUDDxdx ydyPx-yu增加U(x, y) =u0 xy無差別曲線無差別曲線的特性的特性下降下降下凸下凸互不相交互不相交無差別曲線無差別曲線的特性的

35、特性P1x1 y1P2 y2x2u增加U(x, y) =uOxy“下下凸凸”的的經(jīng)濟學解釋經(jīng)濟學解釋 y2/x2 (P2的替代率的替代率) y1/x1 (P1的替代率的替代率)P1 x少少, y多多2種可以相互種可以相互替代替代的商品的商品x, yP2 x多多, y少少x2=x1( y2)( y1)“物以稀為貴物以稀為貴”0)(dxdydxd曲線下凸（凸向原點）曲線下凸（凸向原點） dy/dx 對對x的導數(shù)的導數(shù)為為負負“邊際替代率遞減邊際替代率遞減”下降下降下凸下凸互不相交互不相交022dxyd無差別曲線無差別曲線的特性的特性“互不相交互不相交”的的解釋解釋下降下降下凸下凸互不相交互不相交如

36、果無差別曲線如果無差別曲線U(x, y)=u1與與U(x, y)=u2 相交相交于于P.則則交點交點P的效用函數(shù)將的效用函數(shù)將取取2個不同的數(shù)值個不同的數(shù)值u1, u2 .不可能不可能!u1 u2 u增加U(x, y) =uOxyU=u1U=u2P效用最大化模型效用最大化模型 p1, p2甲乙商品的單價甲乙商品的單價x, y 購買購買甲乙商品數(shù)量甲乙商品數(shù)量已知已知甲乙兩種甲乙兩種可替代可替代商品商品的的效用函數(shù)效用函數(shù), 用用一定數(shù)額的錢購買多少甲一定數(shù)額的錢購買多少甲、多少乙多少乙？問題問題由由效用函數(shù)最大效用函數(shù)最大確定確定購買購買數(shù)量數(shù)量.U(x, y) 效用函數(shù)效用函數(shù)效用最大化效用

37、最大化原理原理s 準備付出的錢準備付出的錢 sypxptsyxU21. .),(max效用最大化模型效用最大化模型 模型求解模型求解幾何分析幾何分析 U(x, y)=u 下降、下凸、互不相交的下降、下凸、互不相交的無差別曲線無差別曲線.AB必與一條必與一條無差別曲線無差別曲線l相切相切于于Q點點消費點消費點效用最大化模型效用最大化模型 sypxptsyxU21. .),(max消費點消費點Q (x, y)的的U(x, y)最大最大AB與與l1交點交點Q1, U(x1, y1)4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積冰山體積(m3)船速船速(km/h

38、) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模準備建模準備建模建模目的目的選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較.模型模型假設假設 航行過程中船速不變，總距離航行過程中船速不變，總距離9600km. 冰山呈球形，球面各點融化速率相同冰山呈球形，球面各點融化速率相同. 到達目的地后到達目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85m3水水.建模建模分析分析目的地目的地水體積水體積運輸過程運輸過程融化

39、規(guī)律融化規(guī)律總費用總費用目的地目的地冰體積冰體積初始冰初始冰山體積山體積燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u (km/h)與南極距離與南極距離d(km)融化速率融化速率r(m/天）天）r是是 u 的線性函數(shù)的線性函數(shù)d4000時時u與與d無關無關航行

40、航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 tkktrRR10冰山初始半徑冰山初始半徑R0，航行，航行t天時半徑天時半徑冰山初始體積冰山初始體積30043VR343ttVRt天時體積天時體積總航行天數(shù)總航行天數(shù)31030134( , )()34tkkVV u Vtr選定選定u,V0, 航行航行t天時冰山體積天時冰山體積31030134( ,)()34TttVV u Vr到達目的地到達目的地時冰山體積時冰山體積uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc),()lg

41、(24),(30210ctVuVcucutVuq),)(lg(3211cVcucq2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英鎊英鎊/km)q1對對u線性線性, 對對lgV 線性線性選定選定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英鎊英鎊/天天)燃料消耗總費用燃料消耗總費用TttVuqVuQ100),(),(1)43(34lg)6(2.731310tkkrVuu V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 運送每立方米水

42、費用運送每立方米水費用 冰山初始體積冰山初始體積V0的日的日租金租金 f(V0)（英鎊）（英鎊）uT400航行天數(shù)航行天數(shù)總燃料消耗費用總燃料消耗費用拖船租金費用拖船租金費用uVfVuR400)(),(00冰山運輸總費用冰山運輸總費用),(),(),(000VuQVuRVuS1)43(34lg)6(2 . 7),(3131010tkkTtrVuuVuQ冰山到達目的地冰山到達目的地后得到的水體積后得到的水體積),(85. 0),(00VuVVuW3. 運送每立方米水費用運送每立方米水費用 冰山運輸總費用冰山運輸總費用運送每立方運送每立方米水費用米水費用 ),(),(),(000VuWVuSVuY

43、31030134( ,)()34TttVV u Vr到達目的地到達目的地時冰山體積時冰山體積),(),(),(000VuQVuRVuS模型求解模型求解選擇船型和船速選擇船型和船速,使冰山到達目使冰山到達目的地后每立方米水的費用最低的地后每立方米水的費用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(km/h), V0= 107 (m3)， Y(u,V0)最小最小V0只能取離散值只能取離散值經(jīng)驗公式很粗糙經(jīng)驗公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.822

44、06.21385.46474.5102V0u5 106取幾組（取幾組（V0，u）用）用枚舉法枚舉法計算計算結果分析結果分析由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山到達目的地后實際體積會顯著小于到達目的地后實際體積會顯著小于V(u,V0).有關部門認為，只有當計算出的有關部門認為，只有當計算出的Y(u,V0)顯著顯著低于淡化海水的成本時，才考慮其可行性低于淡化海水的成本時，才考慮其可行性.大型拖船大型拖船V0= 107 (m3),船速船速 u=45(km/h), 冰山到達目冰山到達目的地后每立方米水的費用的地后每立方米水的費用 Y(u,V0)約約0.065(英

45、鎊英鎊).雖然雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本英鎊略低于淡化海水的成本0.1英鎊，英鎊，但是模型假設和構造非常簡化與粗糙但是模型假設和構造非常簡化與粗糙. 模型來自實際問題的模型來自實際問題的可行性研究可行性研究. 收集數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù)是建模的重要準備工作是建模的重要準備工作. 根據(jù)數(shù)據(jù)得到的根據(jù)數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式是建模的基礎是建模的基礎. 冰山形狀的冰山形狀的球形假設球形假設簡化了計算簡化了計算, 這個這個假假 設設的的合理性合理性如何如何?如果改變它呢如果改變它呢?小結與評注小結與評注前排座位前排座位？后后排座位排座位？中間中間座位座位？前后排前后排主要差別主要差別：視角和仰角視

46、角和仰角視角視角眼睛到屏幕眼睛到屏幕上、下邊緣視線上、下邊緣視線夾角夾角.視角大視角大畫面看起來飽滿畫面看起來飽滿.仰角仰角眼睛到屏幕眼睛到屏幕上邊緣視線上邊緣視線與水平線夾角與水平線夾角. 仰角太大仰角太大頭部過分上仰頭部過分上仰.總體總體上使觀眾上使觀眾視角盡可能大視角盡可能大.影院設計影院設計對對仰角仰角加加一定一定限制限制.3.8 影院里的視角和仰角影院里的視角和仰角c hbdq地板線地板線屏幕屏幕第第n排排第第1排排地面地面垂直于屏幕和地面的影院垂直于屏幕和地面的影院縱向剖面縱向剖面示意圖示意圖影響影響 和和 的因素的因素:簡化問題簡化問題ch, q, c基本固定基本固定.排數(shù)排數(shù)n

47、固定固定, d改變不大改變不大.b和和 可在一定范圍內調整可在一定范圍內調整.hbdq 影院設計影院設計某一排觀眾的某一排觀眾的視角視角 和和仰角仰角 眼睛眼睛至至地地板距離板距離簡化問題簡化問題1. 觀眾觀眾視角平均值盡量大視角平均值盡量大, 各排視角各排視角分散程度盡量小分散程度盡量小.2. 各排座位各排座位仰角仰角基本基本不超過不超過300(允許允許12排例外排例外).3. 前排觀眾前排觀眾不遮擋不遮擋后排觀眾的后排觀眾的視線視線.h, d, q, c,n固定固定, 確定確定b和和 , 使使全體觀眾滿意程度最高全體觀眾滿意程度最高.c hbdq地板線地板線屏幕屏幕第第n排排第第1排排地面

48、地面視角視角 ，仰角仰角 問題分析問題分析座位號座位號k(=1,2, n) 觀眾視角觀眾視角平均值平均值取取1到到n排排視角視角的的均值均值.視角分散程度用視角分散程度用n個視角個視角均方差均方差度量度量.觀眾滿意程度定義為各排視角觀眾滿意程度定義為各排視角均值與均方差之比均值與均方差之比. 變異系數(shù)變異系數(shù)視角視角 ,仰角仰角 優(yōu)化問題的優(yōu)化問題的目標函數(shù)目標函數(shù)(越大越好越大越好)c hbdq地板線地板線屏幕屏幕第第n排排第第1排排地面地面 b, 優(yōu)化問題的優(yōu)化問題的決策變量決策變量越大越好越大越好越小越好越小越好問題分析問題分析仰角仰角 300，允許，允許12排不滿足排不滿足.優(yōu)化問題的

49、優(yōu)化問題的約束條件約束條件k 前排觀眾前排觀眾不遮擋不遮擋后排的后排的視線視線.條件：條件：設眼睛到頭頂?shù)母叨仍O眼睛到頭頂?shù)母叨萩1，使后排觀眾眼睛到屏幕下邊緣使后排觀眾眼睛到屏幕下邊緣的視線在前排觀眾頭頂之上的視線在前排觀眾頭頂之上. 只只需需最后一排最后一排滿足條件滿足條件.只需檢查前只需檢查前3排排 的數(shù)值的數(shù)值.cqc1后后排排眼睛眼睛前前排排頭頂頭頂視線視線模型假設模型假設固定參數(shù)固定參數(shù)2mb 3m 決策變量決策變量c=1.1m h=2.5mbd=6m q=0.8m地板線地板線屏幕屏幕第第16排排第第1排排地面地面c1=0.1m 100 200模型模型假設假設c hbdq地板線地板

50、線屏幕屏幕第第n排排第第1排排地面地面下仰角下仰角 眼睛到屏幕眼睛到屏幕下邊緣視線下邊緣視線與水平線夾角與水平線夾角. = - 當下邊緣視線在水平線之下時當下邊緣視線在水平線之下時取負值取負值.上上仰角仰角 眼睛到屏幕眼睛到屏幕上上邊緣視線邊緣視線與水平線夾角與水平線夾角. c qnc1AB第第n排眼睛排眼睛第第n-1排頭頂排頭頂tantann對對最后一排最后一排：qqctantan1qndqncbn)1(tan)1(tanqqcqndqncbtan) 1(tan) 1(1模型分析模型分析b和和 的改變的改變對對目標函數(shù)目標函數(shù)的的影響影響qkdqkcbk) 1(tan) 1(tanqkdhq

51、kcbk) 1(tan) 1(tanb k, k k ,k水平線水平線c k k hbd(k-1)qk第第k排排圖形直觀圖形直觀數(shù)學分析數(shù)學分析 k k kkk模型分析模型分析b和和 的改變的改變對對目標函數(shù)目標函數(shù)的的影響影響b k k )()()(,)(11)(,1)(121smvmnsnmnkknkk k m( ) tan) 1(tan) 1() 1() 1(tan2qkcbqkhcbqkdqkdhk數(shù)學分析數(shù)學分析b, k k s( ) k m( ) ?qqcqndqncbtan) 1(tan) 1(1約束條件約束條件: 前排觀眾前排觀眾不遮擋不遮擋后排的后排的視線視線.nkk, 3,

52、300約束條件約束條件: 仰角仰角b k k k300容易滿足容易滿足.模型分析模型分析b和和 的改變的改變對對約束條件約束條件的的影響影響b, k qdcnccdb11) 1(tanb, 條件容易滿足條件容易滿足.模型求解模型求解 )()()(,)(11)(,1)(121smvmnsnmnkknkkqkdhqkcbk) 1(tan) 1(tanqkdqkcbk) 1(tan) 1(tankkk設設h=2.5m, d=6m, q=0.8m,c=1.1m, c1=0.1m, n=16 求求b(2mb3m), (100 200)使使v( )最大最大. qqctantan1nkk, 3,300滿足滿

53、足 及及n ( ). 微分法難以求解，轉向微分法難以求解，轉向數(shù)值搜索法數(shù)值搜索法.模型求解模型求解 b(m)1001101201301401501601701801902002.03.14523.1443 3.1423 3.1392 3.1351 3.1300 3.12373.11633.10773.09813.08722.13.17953.1789 3.1772 3.1745 3.1707 3.1658 3.15983.1526 3.14433.13483.12402.23.21543.2152 3.2139 3.21153.2081 3.2034 3.19773.1907 3.18263

54、.17323.16262.33.25303.2532 3.2523 3.2503 3.2471 3.2428 3.23733.2306 3.22263.21343.20292.43.29243.2930 3.2925 3.2908 3.2880 3.2840 3.27873.2722 3.26453.25543.24512.53.33363.3347 3.3346 3.3332 3.3307 3.3270 3.32203.3158 3.30823.29943.28912.63.37673.3782 3.3785 3.3775 3.3754 3.3720 3.36733.3613 3.35393

55、.34523.33512.73.42173.4236 3.4243 3.4238 3.4220 3.4189 3.41453.4087 3.40163.39313.38312.83.46863.4710 3.4722 3.4720 3.4706 3.4679 3.46383.4583 3.45133.44303.43312.93.51763.5204 3.5221 3.5224 3.5213 3.5189 3.51513.5099 3.50323.49503.48533.03.56863.5720 3.5741 3.5748 3.5742 3.5721 3.56863.5637 3.55723

56、.54923.5396最大值位于最大值位于b=3.0m. 取取b, 離散值計算目標函數(shù)離散值計算目標函數(shù)v()b v() 3.5748 v() 最大值在最大值在 =130達到達到.3.0130模型求解模型求解 計算計算b=3.0m, =130的仰角的仰角 kk12345678 k36.2538 31.7947 27.9390 24.6005 21.7005 19.1701 16.9512 14.9951k910111213141516 k13.2615 11.7173 10.33509.09167.96846.94946.02145.1730除除 1, 2外外 k300qndqncbn)1(t

57、an)1(tanqqctantan1= -2.7685= -6.0433b=3.0m, =130確是整個模型的最優(yōu)解確是整個模型的最優(yōu)解. n模型求解模型求解 計算計算最優(yōu)解最優(yōu)解b=3.0m, =130的的視角視角 kk12345678 k18.6826 17.6371 16.5521 15.4975 14.5067 13.5927 12.7579 11.9990k910111213141516 k11.3103 10.6855 10.1178 9.60129.13018.69938.30447.9415均值均值m()=12.3135均方差均方差s()=3.4445隨著隨著k的增加的增加,

58、k下降下降很快很快, k變化不大變化不大.0246810121416510152025303540k k kk觀眾觀眾不妨不妨選擇仰角下降選擇仰角下降變緩的第變緩的第10排左右排左右.結果分析結果分析最優(yōu)解最優(yōu)解b=3.0m, =130的的敏感性分析敏感性分析b=3.0m處處, b=0.1m時時v0.052.93.51763.5204 3.5221 3.5224 3.5213 3.5189 3.51513.5099 3.50323.49503.48533.03.56863.5720 3.5741 3.5748 3.5742 3.5721 3.56863.5637 3.55723.54923.5

59、396 b(m)100110120130140150160170180190200 =130處處, =10 時時v =0.00073.5748 / =1%, v/v 0.003%b/b=1%, v/v 0.5%b對目標函數(shù)的影響比對目標函數(shù)的影響比 的影響大的影響大上百上百倍倍.小結與評注小結與評注影院屏幕和座位設計中的影院屏幕和座位設計中的簡化簡化問題問題：視角視角均值和均值和均方差均方差為為決策決策目標目標, 高度高度b和夾角和夾角 為為決策決策變量變量, 仰角仰角 和視線遮擋限制和視線遮擋限制為為約束條件約束條件, 建立建立優(yōu)化優(yōu)化模型模型.模型模型定量結果與定性分析定量結果與定性分析的

60、相互的相互印證印證,決策決策變量變量的的敏敏感性分析感性分析, 以及以及對各排座位仰角和視角的對各排座位仰角和視角的討論討論,豐富豐富了建模的了建模的成果成果, 拓拓廣了模型的廣了模型的應用應用.定性分析定性分析決策決策變量變量的變化對目標函數(shù)和約束條件的的變化對目標函數(shù)和約束條件的影響影響,結論結論與直觀和常識相與直觀和常識相符合符合, 是是模型檢驗模型檢驗一部分一部分.2.5 易拉罐形狀和尺寸的易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計最優(yōu)設計全國大學生數(shù)學建模競賽全國大學生數(shù)學建模競賽2006年年C題題以發(fā)表在工程數(shù)學學報以發(fā)表在工程數(shù)學學報2006年增刊上學生年增刊上學生優(yōu)秀論文和評述文章為基本材料優(yōu)