空間直線及其方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六節(jié)空間直線及其方程Straight Line in Space and Equation教學目的: 理解空間直線的概念;熟練掌握直線的標準方程、參數(shù)方程及一般方程;會判斷兩直線的位置關(guān)系,并會建立直線方程.課 題: 直線的標準方程;直線的參數(shù)方程;直線的一般方程;兩直線的夾角,平行與垂直的條件.教學重點: 空間直線的圖形及其方程教學難點: 空間直線方程的求解教學方法: 精講直線的標準方程、參數(shù)方程和一般方程并能求直線方程教學內(nèi)容:一、直線的標準方程如果一直線與已知向量平行，這個向量就叫做已知直線的方向向量.設(shè)直線過空間一點,且有方向向量,求此直線的方程.在直線上任

2、取一點,則向量,且,則有(1)(1)即為直線的方程,稱為直線的標準方程或?qū)ΨQ方程,叫做直線的方向數(shù).【例1】求過點,且垂直于平面的直線方程.解已知平面的法向量可作為所求直線的方向向量,即由式(1)可得直線方程為【例2】設(shè)直線經(jīng)過兩點,求其方程.解取為直線的方向向量,并選直線上一點,由式(1)得直線方程為即注1.直線的方向向量不是唯一的,但同一條直線的所有方向向量互相平行;2.直線上點的坐標選取不是唯一的,因此直線方程也不是唯一的;3.在直線的標準方程中,方向數(shù)可以有一個或兩個為零,這時方程(1)應(yīng)理解為當分母為零時,分子必為零.由例2知,過點的直線方程為稱此方程為直線的兩點式方程.二、直線的參

3、數(shù)方程令直線的標準方程,則有 (為參數(shù))(2)方程(2)稱為直線的參數(shù)方程.顯然直線上任一點都對應(yīng)唯一確定的值.反之,每取定一個值,都得到一個確定的點.直線的標準方程可化為參數(shù)方程.反之,由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即得標準方程.三、直線的一般方程空間直線可以看作是過該直線的兩個不重合的平面和的交線.如果平面的方程為,的方程為,那么直線上的任一點,既在平面上,又在平面上,因此直線上的任一點的坐標都滿足方程組(3)反之,不在直線上的點,不能同時在平面和上.即不在直線上的點,不滿足方程組(3), 方程組(3),是直線的方程,稱方程組(3)為直線的一般方程,其中與不成比例.由于過直線的平面有無窮多個,

4、可以任取兩個,將其聯(lián)立,便得直線的一般方程.因此,直線的一般方程不是唯一的.【例3】將直線的一般方程化為標準方程.解首先,求此直線上一個點的坐標,為此先選定該點的一個坐標,例如,設(shè),代入原方程組,得解之,得.于是得該直線上一定點.其次,確定直線的一個方向向量.由于直線在兩個平面上,所以與兩個平面的法向量都垂直.因此可以選取為直線的方向向量:于是得直線的標準方程為四、兩直線的夾角，平行與垂直的條件兩直線和的方向向量的夾角(通常指銳角)叫做兩條直線的夾角,通常記為.設(shè)和的方程分別為它們的方向向量分別為.故它們的夾角若不大于,則;若大于,則,故和的夾角的余弦為由此得兩直線和平行的充要條件是兩直線和垂直的充要條件是【例4】一直線通過點,且與平面的交線平行,求該直線的方程.解由于所求直線與兩平面的交線平行,故可取兩平面交線的方向向量為所求直線的方向向量.即故所求直線方程為即【例5】試判定下列直線和平面的位置關(guān)系.(1)和;(2)和.解(1)直線的方向向量,平面的法向量,顯然,故,所以,直線與平面垂直.(2)直線的方向向量,平面的法向量,顯然,故,所以,直線與平面平行.課堂練習:1. 將直線方程化為參數(shù)方程.2. 寫出各坐標軸的一般方程.小結(jié):學習了直線的三種方程,兩直線的夾角、平行與垂直的條件