第八節(jié)微分形式的外微分

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第八節(jié) 微分形式的外微分一 微分形式及其外積我們知道, 一個(gè)可微函數(shù)的全微分為.它是的線性組合, 一個(gè)很自然的想法是將看作一個(gè)線性空間的基.設(shè)是上的區(qū)域, 記, ()為上連續(xù)可微函數(shù)全體. 將看作一組基, 其線性組合稱為一次微分形式,簡(jiǎn)稱1-形式. 1-形式的全體記為(或).如果對(duì)中的元素定義加法、數(shù)乘、零元和負(fù)元等, 就可以使成為一個(gè)上的線性空間. 對(duì)于任意:,定義和()為,進(jìn)一步定義中的零元為,且定義負(fù)元為顯然成為一個(gè)上的線性空間.為了得到二次微分形式, 我們先引入向量的外積這個(gè)概念. 設(shè), 為平面上兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量, 我們將行列式稱為向量與的外積, 記為, 即

2、.平面上的向量的外積的討論可以推廣到上去. 設(shè)定義他們的外積為.它是由所張成的平行面體的有向體積. 而且這種體積滿足反對(duì)稱性和分配律.類似于向量的外積, 規(guī)定.因此共有個(gè)有序元以這些有序元為基就可以構(gòu)造一個(gè)線性空間. 其中的元素稱為二次微分形式. 簡(jiǎn)稱2-形式. 于是中的元素可以表示為.這種形式稱為2-形式的標(biāo)準(zhǔn)形式.一般地, 在中任意選取個(gè)組成有序元, 記為,這里是從集合中選取的任意個(gè)整數(shù). 規(guī)定.以這些有序元為基構(gòu)造一個(gè)線性空間. 其中的元素稱為次微分形式. 簡(jiǎn)稱-形式. 于是一般k-形式就可以表示為.這種形式稱為形式的標(biāo)準(zhǔn)形式.顯然, 當(dāng)時(shí), 總有, 因此.上的連續(xù)可微函數(shù)稱為形式, 它

3、們的全體記為, 它是一個(gè)線性空間, 函數(shù)是它的一個(gè)基.現(xiàn)在把中的理解為一種運(yùn)算. 對(duì)于任意:,定義與的外積為它是中的元素.下面把這樣的外積定義推廣到任意的和上去. 若記為線性空間之和, 即有, 于是是一個(gè)(因)維的線性空間, 因此中的元素的一般形式為.記,. 則它是形式. 對(duì)一般形式和形式, 定義和的外積為它是形式. 對(duì)于形式,我們補(bǔ)充定義二 外微分的基本概念設(shè)為區(qū)域, 上的可微函數(shù)的全微分為這可以理解為: 一個(gè)-形式作了微分運(yùn)算后成為了-形式.現(xiàn)在將微分運(yùn)算推廣到上去. 對(duì)中的任意一個(gè)-形式.,定義同時(shí),對(duì)空間上的任意一個(gè)元素定義.這樣,微分運(yùn)算就是線性的, 即, ,其中為常數(shù). 這樣的微分

4、運(yùn)算稱為外微分. 顯然,.性質(zhì)1 設(shè)為-形式, 為-形式, 則.證明 (留作練習(xí)).設(shè), 定義. 在下面的討論中,我們假設(shè)微分形式的系數(shù)都具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).例13.34 設(shè)為-形式, 證明證明 由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 因此. 所以.性質(zhì)2 對(duì)任意, 有證明 由于的線性性, 只要證明這種情形即可. 這時(shí),由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 因此. 所以.因此再由性質(zhì)1可得.二 外微分的應(yīng)用首先看Green公式其中閉區(qū)域的邊界由分段光滑的曲線L所圍成. 若將看成有向面積元素,那么如果將它看成是正面積元素的話, 上式就可以表示為對(duì)于-形式, 則由外微分的定義可得.于是有下式成立. 再看Stokes公式其中為分段光滑的空間有向閉曲線,是以為邊界的分片光滑的有向曲面, 的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則. 對(duì)于-形式,由外微分的定義可得于是Stokes公式則變?yōu)?同樣地, 對(duì)于Gauss公式其中空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面所圍成. 如果我們將有向體積元素看成是正體積元素的話, 它就可以表示為對(duì)于-形式, 我們有.于是Gauss公式則變?yōu)?這樣, Green公式、Gauss公式和Stokes公式就可以統(tǒng)一地寫(xiě)成如下形式：.這個(gè)式子統(tǒng)稱為Stokes公式. 它說(shuō)明了, 高次的微分形式在給定區(qū)域上的積分等于低一次的微分形式在低一維的區(qū)域邊界