振動的運動學(xué)

1、 更一般的說，從幾何方面研究而不涉及物更一般的說，從幾何方面研究而不涉及物理原因。理原因。 運動學(xué)運動學(xué)描述質(zhì)點或系統(tǒng)的運動形態(tài)描述質(zhì)點或系統(tǒng)的運動形態(tài)（位移、速度、加速度、相位等）隨時間變化（位移、速度、加速度、相位等）隨時間變化的規(guī)律的學(xué)科，不涉及受力情況。的規(guī)律的學(xué)科，不涉及受力情況。 前邊說的第二類分類方法就是從運動學(xué)角前邊說的第二類分類方法就是從運動學(xué)角度把系統(tǒng)的運動分為簡諧振動、一般周期振動度把系統(tǒng)的運動分為簡諧振動、一般周期振動等等。等等。第二章第二章 振動的運動學(xué)振動的運動學(xué) 21 簡諧振動參量簡諧振動參量 22 諧振動的矢量表示法諧振動的矢量表示法 及復(fù)數(shù)表示法及復(fù)數(shù)表示法

2、23 簡諧振動的合成簡諧振動的合成24 拍（拍（beat）25 本章習(xí)題本章習(xí)題21 21 簡諧振動參量簡諧振動參量 簡諧振動是最簡單的周期振動，其位移方簡諧振動是最簡單的周期振動，其位移方程可以用正弦或余弦函數(shù)描述另行程可以用正弦或余弦函數(shù)描述另行x=Asint 。TA0 xt其中振動參量有：其中振動參量有： x x振動任一瞬時的位移（線位移或角位移），單位毫振動任一瞬時的位移（線位移或角位移），單位毫米或弧度。米或弧度。 t t時間，單位秒（時間，單位秒（timetime）。）。 A A振幅（最大振動位移）振幅（最大振動位移）amplitudeamplitude。 T T振動周期，振動一次

3、（一周）所需的時間，單位：秒。振動周期，振動一次（一周）所需的時間，單位：秒。 ff2,2圓周率（又稱角頻率），表示振動快慢，圓周率（又稱角頻率），表示振動快慢， 單位：弧度單位：弧度/ /秒（或秒（或1/1/秒）。秒）。 另外，還有一種自然頻率（又稱頻率）。另外，還有一種自然頻率（又稱頻率）。 f f每秒振動的次數(shù)，單位每秒振動的次數(shù)，單位 周周/ /秒（赫茲、次秒（赫茲、次/ /秒）。秒）。 21fT（freguencefreguence）由上式可以看到由上式可以看到: :速度：速度：也是固頻率的簡諧函數(shù)也是固頻率的簡諧函數(shù) （其中（其中AA速度幅）單位毫米速度幅）單位毫米/ /秒秒 加速

4、度：加速度： （其中（其中AA2 2加速度幅）單位毫米加速度幅）單位毫米/ /秒秒2 2 tconAxtAxsin2 下面介紹兩個同頻率不同相位的簡諧振動下面介紹兩個同頻率不同相位的簡諧振動 初相位（初相位（t t0 0時的相位）時的相位） x x2 2比比x x1 1超前超前相位，即相位，即x x2 2比比x x1 1提前提前/秒達(dá)到位移最大值。秒達(dá)到位移最大值。 注意：只有頻率相同，相位注意：只有頻率相同，相位差差才保持不變。才保持不變。 )sin(sin2211tAxtAx0A2A1x tx2(t)x1(t)22 簡諧振動的矢量表示法簡諧振動的矢量表示法及復(fù)數(shù)表示法及復(fù)數(shù)表示法 描述簡諧

5、振動的數(shù)學(xué)表示方法有三種：描述簡諧振動的數(shù)學(xué)表示方法有三種： 用三角函數(shù)的代數(shù)表示法用三角函數(shù)的代數(shù)表示法 矢量表示方法矢量表示方法 復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示 1、用三角函數(shù)的代數(shù)表示法、用三角函數(shù)的代數(shù)表示法 如前所述，但研究兩個同頻率簡諧振動合成時，如前所述，但研究兩個同頻率簡諧振動合成時，物理概念不清晰，不直觀。物理概念不清晰，不直觀。 例如：例如： )sin()sin(22111tAtAx2 2、矢量表示方法、矢量表示方法 用矢量的逆時針旋轉(zhuǎn)表示簡諧振動是很方便的。用矢量的逆時針旋轉(zhuǎn)表示簡諧振動是很方便的。以矢量的水平位置為起點以矢量的水平位置為起點t0，矢量的模，矢量的模A振振幅，旋轉(zhuǎn)角速度

6、幅，旋轉(zhuǎn)角速度振動的圓頻率到振動的圓頻率到t瞬時，矢量瞬時，矢量與水平軸的夾角與水平軸的夾角t即相位角，旋轉(zhuǎn)矢量在垂直軸的即相位角，旋轉(zhuǎn)矢量在垂直軸的投影投影Asint或在水平軸的投影或在水平軸的投影Acost都可以代表簡都可以代表簡諧振動。自然頻率諧振動。自然頻率f就是每秒轉(zhuǎn)的周數(shù)，單位周就是每秒轉(zhuǎn)的周數(shù)，單位周/秒。秒。顯然顯然 f2 用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。加速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。 則則 設(shè)簡諧位移方程（代數(shù)表示）設(shè)簡諧位移方程（代數(shù)表示）xAsint 用矢量表示方

7、法可以很清楚地看出位移、速度、加用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。 )2sin(tAtconAx 超前于位移超前于位移 2)sin(sin22tAtAx 超前位移超前位移 矢量表矢量表示見圖示見圖 tAAA2t=03 3、復(fù)數(shù)表示、復(fù)數(shù)表示 我們知道，一個復(fù)數(shù)我們知道，一個復(fù)數(shù)z=a+bi可以表示復(fù)平面的一可以表示復(fù)平面的一個矢量。個矢量。 矢量的長度稱為矢量的長度稱為z的模，即的模，即 22bazA 矢量與實軸的夾角矢量與實軸的夾角稱為幅角，記為稱為幅角，記為argz，即，即 ab1 -tgargz

8、 我們又知道，復(fù)數(shù)我們又知道，復(fù)數(shù)z的實部和虛部分別是：的實部和虛部分別是：Rt(z)aAcos；Im(z)bAsin注：注：argargument, Rereal, Imimaginary aAb實實(Re)虛虛(Im) 了解上述概念之后，我們用旋轉(zhuǎn)的復(fù)數(shù)矢量可了解上述概念之后，我們用旋轉(zhuǎn)的復(fù)數(shù)矢量可以表示簡諧振動。用復(fù)數(shù)的模表示振幅，仍用以表示簡諧振動。用復(fù)數(shù)的模表示振幅，仍用A；幅角幅角此時代之以相位角此時代之以相位角t，這時幅角將隨時間，這時幅角將隨時間t變變化。就是說，該復(fù)數(shù)矢量按逆時針方向以化。就是說，該復(fù)數(shù)矢量按逆時針方向以為角速為角速度旋轉(zhuǎn)。該旋轉(zhuǎn)矢量在實軸及虛軸上的投影：度旋

9、轉(zhuǎn)。該旋轉(zhuǎn)矢量在實軸及虛軸上的投影：Re (z) Acost；Im (z) =Asint都可以表示簡諧振都可以表示簡諧振動。動。 tA(Re)(Im) 復(fù)數(shù)可以合成指數(shù)形式復(fù)數(shù)可以合成指數(shù)形式zAcostiAsintAeit。 我們約定，用復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸的投影表示我們約定，用復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸的投影表示簡諧振動：簡諧振動：xAsintIm (z)ImAeit簡單寫簡單寫成成xAeit 注意：不要理解成振動是復(fù)數(shù)注意：不要理解成振動是復(fù)數(shù) 就是指他的虛部（虛部本身是個實數(shù)；例如就是指他的虛部（虛部本身是個實數(shù)；例如Im (z)=Asin t） 注意：振動現(xiàn)象本身是實際存在的，用復(fù)數(shù)表注意：振

10、動現(xiàn)象本身是實際存在的，用復(fù)數(shù)表示簡諧振動指的是用其中的實部或虛部（我們這里示簡諧振動指的是用其中的實部或虛部（我們這里用虛部）來表示振動。用虛部）來表示振動。 用復(fù)數(shù)表示振動時，其速度和加速度為：用復(fù)數(shù)表示振動時，其速度和加速度為： tiAeidtdxxtiAedtxdx222 可以看到，每求一次導(dǎo)數(shù)，就在前邊乘上一個可以看到，每求一次導(dǎo)數(shù)，就在前邊乘上一個i，而每乘一個，而每乘一個i（按復(fù)數(shù)乘法可知）就是把這復(fù)（按復(fù)數(shù)乘法可知）就是把這復(fù)數(shù)矢量逆時針數(shù)矢量逆時針 轉(zhuǎn)，這在求導(dǎo)數(shù)運算中帶來了方轉(zhuǎn)，這在求導(dǎo)數(shù)運算中帶來了方便。便。 24 4、小結(jié)、小結(jié) 簡諧振動有三種表示方法，其中代數(shù)方法簡諧

11、振動有三種表示方法，其中代數(shù)方法xAsint比較符合我們的習(xí)慣。但在表示同頻率簡諧比較符合我們的習(xí)慣。但在表示同頻率簡諧振動合成時，矢量表示方法有著物理概念清晰、直振動合成時，矢量表示方法有著物理概念清晰、直觀的優(yōu)點。復(fù)數(shù)表示方法在求導(dǎo)運算中帶來了方便。觀的優(yōu)點。復(fù)數(shù)表示方法在求導(dǎo)運算中帶來了方便。這里再重復(fù)一遍，用矢量表示簡諧振動，說的是當(dāng)這里再重復(fù)一遍，用矢量表示簡諧振動，說的是當(dāng)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)時，它在垂直軸（或水平軸）上的矢量逆時針旋轉(zhuǎn)時，它在垂直軸（或水平軸）上的投影的變化可以代表簡諧振動；用復(fù)數(shù)表示簡諧振投影的變化可以代表簡諧振動；用復(fù)數(shù)表示簡諧振動，說的是當(dāng)復(fù)數(shù)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)時，它

12、在虛軸動，說的是當(dāng)復(fù)數(shù)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)時，它在虛軸（或?qū)嵼S）上投影，即虛部（或?qū)嵅浚┑淖兓梢裕ɑ驅(qū)嵼S）上投影，即虛部（或?qū)嵅浚┑淖兓梢源砗喼C振動。代表簡諧振動。 如果一質(zhì)點的振動包含兩個頻率相同而有相位如果一質(zhì)點的振動包含兩個頻率相同而有相位差差的簡諧振動：的簡諧振動： 23 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 我們來求它的合成運動，用代數(shù)方法雖然可求，我們來求它的合成運動，用代數(shù)方法雖然可求，但很煩瑣，用矢量相加方法求這個合成運動很方便。但很煩瑣，用矢量相加方法求這個合成運動很方便。 tAxsin11)sin(22tAx合成后的位移矢量為：合成后的位移矢量為： 21AAA矢量矢量 的模即合成后

13、的振幅可由余弦定理求得：的模即合成后的振幅可由余弦定理求得： Acos2)180cos(2212221212221AAAAAAAAAA1A2Atx0 結(jié)論：兩個具有相同頻率但不同相位的簡諧振結(jié)論：兩個具有相同頻率但不同相位的簡諧振動合成后仍是簡諧振動，其振幅及初相位公式如上。動合成后仍是簡諧振動，其振幅及初相位公式如上。但是，兩個頻率不同的簡諧振動合成后不再是簡諧但是，兩個頻率不同的簡諧振動合成后不再是簡諧振動。振動。 cossin212AAAtg合成后振動矢量合成后振動矢量 比比 超前超前角角 A1A顯然，合成后的振動就是矢量顯然，合成后的振動就是矢量 在垂直軸上的投影在垂直軸上的投影 Ax

14、Asin（t）；）； 特例特例，兩個簡諧振動具有相同頻率，但相位差，兩個簡諧振動具有相同頻率，但相位差90，即兩旋轉(zhuǎn)矢量互相垂直。，即兩旋轉(zhuǎn)矢量互相垂直。 tbtbxtaxcos)2sin(sin21合成振動仍寫成合成振動仍寫成 )sin(tAxAatx0b這里這里 abtg22baA就是說就是說 )sin(cossin22tbatbtax這種情況以后經(jīng)常用到。這種情況以后經(jīng)常用到。 前邊說過，兩個具有不同頻率的簡諧振動的合前邊說過，兩個具有不同頻率的簡諧振動的合成運動不再是簡諧振動。我們研究下面兩個簡諧振成運動不再是簡諧振動。我們研究下面兩個簡諧振動的合成問題。動的合成問題。 其中其中12但

15、相差很小，這時合成運動就是但相差很小，這時合成運動就是一種特殊的振動一種特殊的振動拍拍 。24 拍（拍（beatbeat） tbxtax2211sinsin令令21則：則：這里這里 x=x1+x2=asin1t+bsin(1+)t=asin1+b(sin1tcost+cos1tsint)=(a+bcost)sin1t+bsintcos1t=A1(t)sin1t+A2con1t； tbAtbatAsincos)(21合成運動可寫成合成運動可寫成xA（t）sin(1t+) Aatx0b其中其中 tabbatbtbaAAtcos2)sin()cos()(A222221 用旋轉(zhuǎn)矢量加法，但要注意，這里

16、矢量用旋轉(zhuǎn)矢量加法，但要注意，這里矢量的模隨時間變化，于是合成矢量的模也隨時間變化。的模隨時間變化，于是合成矢量的模也隨時間變化。 )(),(21tAtA 這就是說，合成運動是這樣一種振動：其振動這就是說，合成運動是這樣一種振動：其振動頻率是頻率是1但振幅本身又隨著時間變化。變化的頻率但振幅本身又隨著時間變化。變化的頻率是是（12）。我們把這種振動現(xiàn)象叫做拍。我們把這種振動現(xiàn)象叫做拍。因因比比1小得多，故振幅變化速度是緩慢的。我們小得多，故振幅變化速度是緩慢的。我們研究一下運動規(guī)律：研究一下運動規(guī)律： Tb當(dāng)當(dāng)t0時時Amaxa+b；當(dāng)當(dāng)t時，時，Aminab 赫茲，赫茲， 拍的園頻率，頻率及

17、周期分別用拍的園頻率，頻率及周期分別用b，fb，Tb表示，表示，則則 b12弧度弧度/秒，秒， 2212bbf1221bbfT秒秒 拍拍兩個頻率有微小差別的簡諧振動合成兩個頻率有微小差別的簡諧振動合成時，其合成振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫做拍。時，其合成振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫做拍。 拍拍的周期的周期合成振動的振幅由加強到減弱合成振動的振幅由加強到減弱再到加強所經(jīng)過的時間叫拍的周期。再到加強所經(jīng)過的時間叫拍的周期。 拍頻拍頻合振動在單位時間內(nèi)加強或減弱的合振動在單位時間內(nèi)加強或減弱的次數(shù)稱為拍頻（次數(shù)稱為拍頻（fb）。 例：例：一質(zhì)點同時做兩個振動一質(zhì)點同時做兩個振動x1=3sin40t，

18、x2=sin41t，求合成運動的最大、最小振幅及拍的頻率？求合成運動的最大、最小振幅及拍的頻率？x=A(t)sin(40+) 弧度弧度/ /秒，秒， Amax=3+4=7cm，Amin=4-3=1cm，b=41-40=1弧度弧度/秒秒, 212bbf21bbfT秒。秒。 注：可以看到，合成最大本身的園頻率是注：可以看到，合成最大本身的園頻率是40弧弧度度/秒，而拍（即振幅變化）的園頻率是秒，而拍（即振幅變化）的園頻率是1弧度弧度/秒，秒，慢多了。慢多了。 解：解：本章小結(jié)本章小結(jié) 這一章題目是這一章題目是“振動的運動學(xué)振動的運動學(xué)”，研究振動的，研究振動的形態(tài)（位移、速度、加速度等）隨時間變化

19、的規(guī)律，形態(tài)（位移、速度、加速度等）隨時間變化的規(guī)律，而不涉及產(chǎn)生振動的物理原因。而不涉及產(chǎn)生振動的物理原因。 我們著重研究了簡諧振動。定義簡諧振動的參我們著重研究了簡諧振動。定義簡諧振動的參量位移、時間、振幅、園頻率、頻率、周期等等，量位移、時間、振幅、園頻率、頻率、周期等等，x=Asin(t+)。簡諧振動的三種表示方法：代數(shù)。簡諧振動的三種表示方法：代數(shù)表示法、矢量表示法、復(fù)數(shù)表示法。簡諧振動的合表示法、矢量表示法、復(fù)數(shù)表示法。簡諧振動的合成，其中特別是成，其中特別是x=asint+bcost這種情況。值得這種情況。值得注意的是：同頻率簡諧振動合成后仍是簡諧振動，注意的是：同頻率簡諧振動合

20、成后仍是簡諧振動，不同頻率簡諧振動合成后不再是簡諧振動。對于后不同頻率簡諧振動合成后不再是簡諧振動。對于后一種情況，我們研究了一個特例一種情況，我們研究了一個特例拍。拍。 習(xí)題習(xí)題2-1 2-1 有一作簡諧振動的物體，它通過距離平衡位有一作簡諧振動的物體，它通過距離平衡位置為置為 時的速度分別為時的速度分別為 求其振動周期、振幅和最大求其振動周期、振幅和最大速度。速度。 cmxcmx10521及scmvscmv/5/2021及解解：設(shè)物體振動規(guī)律為：設(shè)物體振動規(guī)律為 )sin(tAx)2sin()cos(.tAtAx 25 本章習(xí)題本章習(xí)題51x201x )cos(20)sin(511tAtA222)20(5A（1 1）102x52x 22222)5(10)cos(5)sin(10AtAtA（2 2）由（由（1 1），（），（2 2）解得）解得 5cmA1 .10sT81. 2522最大速度最大速度 scmAv/58.22max所以 振動周期 振幅振幅 最大速度 sT81. 2cmA1 .10scmv/58.22max所以，振動周期所以，振動周期 最大速度最大速度 習(xí)題2-2 一個機器內(nèi)某零件的振動規(guī)律為 ，x的單位是cm， 。這個振動是否是否簡諧振動？求出它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示這三者見的關(guān)系。ttxco