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1、、函數(shù)與極限21、集合的概念22、常量與變量32、函數(shù)43、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)44、反函數(shù)55、復(fù)合函數(shù)66、初等函數(shù)67、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)78、數(shù)列的極限89、函數(shù)的極限910、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則11、函數(shù)與極限1、集合的概念一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。我們通常用大字拉丁字母 A、B、C、表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A,記作：a A,否則就說a不屬于A

2、,記作：aA Ao、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作集合的表示方法、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用Z。RoN+或 N+oQ。、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關(guān)系、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合 A為集合B的子集，記作A相等：如何集合 A是集合B的子集，且集合B是集行A的子集,的元素完全一樣，因此集合 A與集合

3、B相等，記作A = Bo、真子集：如何集合 A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于二 A ） o O此時(shí)集合A但不屬于A,中的元素與集合B中我們稱集合A是集合B的真子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論:0 ,并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A、對(duì)于集合A、B、C,如果A是B的子Ea集，B是C的子集，則A是C的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包才“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為的并集。記作AUBo （在求并集時(shí)，它們的

4、公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即 AUB= x|xGA,或 xGB。、交集：一般地，由所有屬于集合n BoA且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A即 AHB= x|xGA,且 xGB。、補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作Uo補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合 A,由全集U中不雇 的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱為集合 A的補(bǔ)集，記作CuA。于集合A白仙有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U即CuA=x|xGU,且xAA集合中元素的個(gè)數(shù)、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集、用card來表示有限集中元素的個(gè)數(shù)

5、。例如A=a,b,c,則card(A)=3。、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B,有card(A)+card(B)=card(AUB)+card(AnB)我的問題：1、學(xué)校里開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)A=x|x是參加一百米跑的同學(xué),B=x|x是參加二百米跑的同學(xué),C=x|x是參加四百米跑的同學(xué)。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。、AUB;、AHB2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C=(x,y)|y=x表示直線y=x,從這個(gè)角度看，集合D=(x,y)|方程組:2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請(qǐng)分別用集合語言和幾何語言說明

6、這種關(guān)系3、已知集合 A=x|1 <x< 3,=B成立？B=x|(x-1)(x-a)=0。試判斷B是不是A的子集？是否存在實(shí)數(shù)4、對(duì)于有限集合A、B、C,能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無限集合A=1,2,3,4,，n,B=2,4,6,8,，2n,，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方港嗎?2、常量與變量、變量的定義： 我們?cè)趨^(qū) 起變化，我們把其稱之為常量 變量。注：在過程中還有一種量口察某一現(xiàn)象的過程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不,有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為,它雖然是變化的，但是它

7、的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a±cx<ba,b包ba*s開區(qū)間a<x<b(a,b)ii-1h5L半開區(qū)間a<x<b或a<x<b(a,b或a,b)<&b1*b乂J).1iab7以上我們所述的都是有限區(qū)問，除此之外，還有無限區(qū)間:a,+»)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：si<x<+»；

8、(-00,b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-8<x<b；(-8,”)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-OO<x<”注：其中-8和”，分另讀作"負(fù)無窮大"和"正無窮大"，它們不是數(shù)，僅僅是記號(hào)、鄰域：設(shè)a與S是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且S>0.滿足不等式k-a1<S的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)a的6鄰域，點(diǎn)a稱為此鄰域的中心，6稱為此鄰域的半徑2、函數(shù)、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（

9、或因變量），變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)y=f（x）、y=F（x）等等來表示。這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系，它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。、域函數(shù)的表示方法a）：解析

10、法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2b）：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。c）:圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有1f（x）<M成立，其中M是一個(gè)與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f（x）在區(qū)間

11、I有界，否則便稱無界。注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在（-8,+8）內(nèi)是有界的.、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)/（工）在區(qū)間（a,b）內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于（a,b）內(nèi)任意兩點(diǎn)xi及x2,當(dāng)xi<x2時(shí)，有</（電）,則稱函數(shù)/在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)/在區(qū)間（a,b）內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于（a,b）內(nèi)任意兩點(diǎn)xi及x2,當(dāng)xyx?時(shí)，有/（工）/（心），則稱函數(shù)/（1）在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)減小的。例題：函數(shù)/（X）=x2在區(qū)間（-8,0）上是單調(diào)減小的，在區(qū)間（0,+8）上是單調(diào)增加的。、函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對(duì)于

12、定義域內(nèi)的任意x都滿足.''=.<，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)/Q）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足T=J（立則氏）叫做奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。、函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)/,若存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得關(guān)系式小”他）對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，i是/（工）的周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù):sin工cos1是以2天為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以無為周期的周期函數(shù)。4、反函數(shù)、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)7=/W,若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時(shí)，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值我與之對(duì)應(yīng)，即“"）

13、二兒,那末變量x是變量y的函數(shù).這個(gè)函數(shù)用X=碗J）來表示，稱為函數(shù)7=/W的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)）二/W也是函數(shù)了二的反函數(shù)。、反函數(shù)的存在定理：若y=j（X）在（a,b）上嚴(yán)格增（減），其值域?yàn)镽,則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增（減）.注：嚴(yán)格增（減）即是單調(diào)增（減）例題：y=x2,其定義域?yàn)椋?8,+8）,值域?yàn)?,+8）.對(duì)于y取定的非負(fù)值，可求得x=±"3.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間（-8,+8）上，函數(shù)不是嚴(yán)格增（減），故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x>0,則對(duì)y>0>x=就是y=x2在要

14、求x>0時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增（減）.、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，y=J與工二賦y）的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。例題：函數(shù)/=2,與函數(shù)=log2X互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。如右圖所示:5、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：丁二/，而u又是x的函數(shù)：M二。（了），且0（工）的函數(shù)值的全部或部分在/W）的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)產(chǎn)（公及復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作尸為,其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。|例題：函數(shù)J=u與函

15、數(shù)u=2+x是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。因?yàn)閷?duì)于財(cái)=2+1的定義域（-8,+8）中的任何x值所對(duì)應(yīng)的u值（都大于或等于2）,使y=arcsmu都沒有定義。6、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=曰工1)Va）:不論x為何值,y總為正數(shù)；b）:當(dāng)x=0時(shí),y=1.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logQaI)/7疑/a）:其圖形總位于y軸右側(cè)，并過（1,0）點(diǎn)b）:當(dāng)a>1時(shí)，在區(qū)間（0,1）的值為負(fù)；在區(qū)間（,+8）的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.嘉函數(shù)y二

16、Xa為任意實(shí)數(shù)i1這里只畫>JigB1產(chǎn)出部分函數(shù)圖形的一部分。令a=m/na):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，y是偶函數(shù)；b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù)；c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-°°,0)無意義.角函數(shù)y二迎X(正弦函數(shù))這里只寫出了正弦函數(shù)y=m例a):正弦函數(shù)是以2元為周期的周期函數(shù)b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且sin7<1反角函數(shù)y=arcfinx(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù)*¥a):由于此函數(shù)為多值函數(shù)，因此我們此函數(shù)值限制在-無/2,無/2上，并稱其為反正弦函數(shù)的主值.、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)

17、合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：y=2'""+ln(-4、+3+sin8x)是初等函數(shù)。7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦*一&S就五二21y=3hs/0aa)：其定義域?yàn)?(-8,+8)；b):是奇函數(shù)；c):在定義域內(nèi)是單調(diào)增/雙曲余弦?出累十尸C/2X=2x1yy=Giiii一/f-a)：其定義域?yàn)?(-8,+8)；b):是偶函數(shù)；c):其圖像過點(diǎn)(0,1);產(chǎn)雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)=0sin0=0=1?tan0=0shx

18、與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)chx-sh2x=lA-Thsin工+x=1它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式:我們?cè)賮砜匆幌码p曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別:ch(x+y)=chxchy±shshya):反雙曲正弦函數(shù)b):反雙曲余弦函數(shù)archx =c):反雙曲正切函數(shù),1 . 1 + x arthx = In2 l-i其定義域?yàn)椋?-1,+1);、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)8、數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a,第二個(gè)數(shù)a2,，依次排列下去，使得任何一個(gè)

19、正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)a、那末，我們稱這列有次序的數(shù)ai,a?,，a、為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=J/J,它的定義域是全體正整數(shù)、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A;再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A;依次循下去（一般把內(nèi)接正6X2n-1邊形的面積記為A）可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A,A2,A,，An,，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們

20、可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，An也無限接近某一確定的數(shù)值（圓的面積），這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A,AAs,，An,當(dāng)n-8（讀作n趨近于無窮大）的極限。注：上面這個(gè)例子就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元三世紀(jì)）的割圓術(shù)。TT111T111、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列A卜絲I，肉，來說，若存在任意給定的正數(shù)£（不論其多么?。?，總存在正整數(shù)N,使得對(duì)于n>N時(shí)的一切不等式工用4Ke都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列%!的極限，或者稱數(shù)列勺收斂于a.記作：如或以（33）注：此定義中的正數(shù)e只有任意給定，不等式*10長(zhǎng)£才能表達(dá)出%I與a無限接近的意思。且定義中的

21、正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)£是有關(guān)的，它是隨著£的給定而選定的。、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，tt*r冉11*T*11以使我們能理解它。數(shù)列個(gè)極限為a的一個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列“卜吧!在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的£鄰域即開區(qū)間（a-£,a+£）,如下圖所示：刷期十14+39*2 x2 x3： x因不等式為7代£與不等式"K/G+E等價(jià)，故當(dāng)n>N時(shí)，所有的點(diǎn)人都落在開區(qū)間（a-£,a+e）內(nèi)，而只有有限個(gè)（至多只有N個(gè)）在此區(qū)間以

22、外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。Yrr、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列的,若存在著正數(shù)M,使得一切,都滿足不等式I耳0M則稱數(shù)YT列勺是有界的,若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列耳是無界的。rr定理：若數(shù)列勺收斂，那末數(shù)列勺一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列1,-1,1,-1,，（-1）n+1,是有界的，但它是發(fā)散的。1-00內(nèi)的正整數(shù),9、函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限函數(shù)的極值有兩

23、種情況：a）:自變量無限增大；b）:自變量無限接近某一定點(diǎn)xo,如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A,就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢？下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念！、函數(shù)的極限（分兩種情況）a）:自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)y=/W,若對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論其多么小），總存在著正數(shù)x,使得對(duì)于適合不等式kF'】的一切x,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末常數(shù)A就叫做函數(shù)J二/W當(dāng)x-8時(shí)的極限，記作：蚣一'下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下:函數(shù)的極限的定義數(shù)列的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A,任給一

24、正數(shù)£ >0,總可找到一正整數(shù) N,對(duì)于n>N的所有"耳都滿足存在函數(shù)y二/6與常數(shù) A,任給一正數(shù)>0,總可找到一正數(shù) X,對(duì)于適合一切x,都滿足<£則稱數(shù)列,當(dāng)x-8時(shí)收斂于A記:lin a =當(dāng)x-8時(shí)的極限為A,記:lim/（X）=靠T修從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么？試思考之/w=例：函數(shù)b）：自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來看一個(gè)例子.X-1，當(dāng)x-1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x-1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出如下圖：X,10.90j9_0

25、.999'V"'1-0011.011.1fOOp-199917999I2I2.0012.012J從中我們可以看出x-1時(shí)，/（1）-2.而且只要x與1有多接近，/Q）就與2有多接近.或說：只要了G）與2只差一個(gè)微量£,就一定可以找到一個(gè)S,當(dāng)卜-1<S時(shí)滿足（）-2<s定義：設(shè)函數(shù)/（X）在某點(diǎn)X0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A,如果對(duì)任意給定的£（不論其多么?。?，總存在正數(shù)S,當(dāng)0<X看）<S時(shí)，阿T<&則稱函數(shù)/（I）當(dāng)x-X0時(shí)存在極限，且極限為A,limf（）=A記：NT描。注：在定義中為什么是在去

26、心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻揦-X0的過程，與X=X0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對(duì)給出的£,是否存在正數(shù)6,使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A,其證明方法是怎樣的呢？a）:先任取£>0；b）：寫出不等式1'內(nèi)一'L£c）：解不等式能否得出去心鄰域0<|工一與<S,若能；d）:則對(duì)于任給的£>0,總能找出S,當(dāng)0<X<S時(shí)，加）-4<£成立，因此lull/（1）=j410、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知

27、道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知x-X0（或X-8）時(shí)，匚,21I，fan（/（x）+g（x）=jl+Slimg（x）=AB則：,一,一lim&二eqg（x）Blim憶/二祀代為常數(shù)）血/廣二丈（那為正整數(shù)）推論：,1jhj在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來求極限。.3za+x-1limlim +lim x-lim 1r3需”+工一 1lim -=J14Y + / 一工+ 3解答：_ 3+1-1 _ 3例題：求e+/一工+3lim49+lim/-Em工+lim34+17+37Hlz

28、】#t4,3/-4/+2tai-r例題：求i97/+5/-3此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。42,3/-4/+2,”展+/3lim=lim_t_7x+5x-3+7解答：.一注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。我們先來看一個(gè)例子：L1<0sgn=0,1=0例：符號(hào)函數(shù)為J，工>。對(duì)于這個(gè)分

29、段函數(shù)，x從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。定義：如果x僅從左側(cè)(x<Xo)趨近X0時(shí)，函數(shù)/(X)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)f當(dāng)工r10lim/(x)=A時(shí)的左極限.記：IT布如果x僅從右側(cè)(x>X0)趨近X0時(shí)，函數(shù)/與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)f(工)當(dāng)工T%時(shí)hmf(x)=A的右極限.記：5r注：只有當(dāng)x-X0時(shí)，函數(shù)/工)的左、右極限存在且相等，方稱/(X)在x-X0時(shí)有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)X0的某一鄰域內(nèi)的一切x,X0點(diǎn)本身可以除外（或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x）F、上八limgW=A血恤）=H有g(shù)（工）/

30、I）力，且餐,¥TMlimfx那末XT砧存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)重要的極限lim（l+-）s=e一：X注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045”.sinxlim=I二：一二注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們2廠例題：求IT©工解答：令2,則x=-2t,因?yàn)閄-8,故tf8,Em=Sm（1+-）&二lim（1+3=Em（1+加=1則：,二.''"二'':注

31、：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象X-8時(shí)，若用t代換1/X,則t-0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個(gè)例子：已知函數(shù)'工，當(dāng)X-0時(shí)，可知網(wǎng)Too,我們把這種情況稱為jM）趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=/（l）,在X=X0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N（一個(gè)任意大的數(shù)），總可找到正數(shù)6,當(dāng)0卜-&時(shí)，1dp成立，則稱函數(shù)當(dāng)工%時(shí)為無窮大量。lim/（x）=oo記為：內(nèi)專（表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)x-8時(shí)，/（1）無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=/。），當(dāng)x充分大時(shí)有定義,對(duì)于任意給定的正數(shù)N（ 一個(gè)

32、任意大的數(shù)），總可以找到正數(shù).當(dāng)卜/"時(shí)，|jP”成立,則稱函Em，（力=00數(shù)當(dāng)X-8時(shí)是無窮大量,記為：X*無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)/W,對(duì)于任意給定的正數(shù)£（不論它多么?。?，總存在正數(shù)6（或正數(shù)M）,使得對(duì)于適合不等式。<卜一/|<8（或卜"）的一切X,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式數(shù)/當(dāng)，7M（或X»）時(shí)為無窮小量.Irni丁:0bm=0記作：Eh（或¥T9）注意：無窮大量與無窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，

33、后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理定理一：如果函數(shù)/（工）在工七工。（或x-川時(shí)有極限A,則差/一乂二。是當(dāng)工七工。（或X-8）時(shí)的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理a）:有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；b）:有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；c）:常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個(gè)無窮小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。定義：設(shè)a,0都是瓦時(shí)的無窮小量，且0在人的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，lim-=0a

34、）:如果i0，則稱a是0的高階無窮小或0是a的低階無窮??；lim=c0b）:如果&,則稱a和0是同階無窮小；Inn=1C）:如果&砧0,則稱a和0是等價(jià)無窮小，記作：as0（a與0等價(jià)）例：因?yàn)椤薄?/3，所以當(dāng)x-0時(shí)，x與3x是同階無窮??；lim=0因?yàn)?x,所以當(dāng)x-0時(shí)，x2是3x的高階無窮小；丁sinxrlim-1因?yàn)閤t"X,所以當(dāng)x-0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無窮小。等價(jià)無窮小的性質(zhì)afaar»«門ylim=lini一設(shè)aS%，且0,存在，則001注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可以

35、利用這個(gè)性質(zhì)來簡(jiǎn)化求極限問題。.sinaxlim例題：1.求JOtanBx解答：當(dāng)x-0時(shí)，sinaxsax,tanbxbx,故:.sin ax ax alim二 lim 二一tan bx #t° bxb例題:解答:.tanx-sinxlim2.求tan33x.tan工-fin工.tanx(l-cosx)lim；=lunw0tan33xA。tanJ3r1-cosa=2sinS2(-)。=一注：一二一注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，*t物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在

36、函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念一一增量設(shè)變量x從它的一個(gè)初值xi變到終值x2,終值與初值的差x2-xi就叫做變量x的增量，記為：*即:x=x2-xi增量*可正可負(fù).我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子：函數(shù)yJ(1)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到xo+Ax時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從/(工。)變到加+網(wǎng)其對(duì)應(yīng)的增量為:班二加+M-/(用這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：山現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)*趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量Ay也趨向于零，即:limAy=0一垃tO,那末就稱函數(shù)x在點(diǎn)X0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義:_儀、lim=/。口)_>

37、;設(shè)函數(shù))二八用在點(diǎn)Xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有f'稱函數(shù)y二八用在點(diǎn)X0處連續(xù)，且稱X0為函數(shù)的)二/W的連續(xù)點(diǎn).下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)/W在區(qū)間(a,b那末我們就稱函數(shù)J ：如果右極限覘/內(nèi)有定義，如果左極限Lq/1)存在且等于/口1)在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)/(1)在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義,'=/("),那末我們就稱函數(shù)/(1)在點(diǎn)a右連續(xù).一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù)，則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù),b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間a,b連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)

38、某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù)注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題:函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).它包括三種情形:a):b):J (')在Xf X 0時(shí)無極限;c):/在Xf X 0時(shí)有極限但不等于/(%)；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型:例i:正切函數(shù)y=忻在2處沒有定義，所以點(diǎn)X 2是函數(shù))=加工的間斷點(diǎn)，因lim tan x = 00 rrMT：例2:Jf二,我們就稱2為函數(shù)y二

39、t如工的無窮間斷點(diǎn)；,1y-sn函數(shù)X在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x-0時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無限多次，我,1j=sin-們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)工的振蕩間斷點(diǎn)；/0)=d0,I=0十1olim/(x)=-llim/(i)=l例3:函數(shù)產(chǎn)十I，MU當(dāng)xO時(shí)，左極限八，,右極限卷刈八，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下：間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)/工)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱

40、為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)若x0是函數(shù)J的間斷點(diǎn)，但極限IT鉆存在，那末x0是函數(shù)JW的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函f(r)血/f(r數(shù)不連續(xù)原因是：W不存在或者是存在但'T鉆33。,。我們令1TM,則可使函數(shù)J8在點(diǎn)xo處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)xo稱為可去間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：a）:有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；b）:有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；c）：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)

41、在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)（分母在該點(diǎn)不為零）；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)y-jw在某區(qū)間上單調(diào)增（或單調(diào)減）且連續(xù)，那末它的反函數(shù)工也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增（單調(diào)減）且連續(xù)例：函數(shù)）二smx在閉區(qū)間22上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)J二城csink在閉區(qū)間-1,1上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性_lim咐=a_、設(shè)函數(shù)u當(dāng)X-X0時(shí)的極限存在且等于a,即：才T題.而函數(shù)y刈在點(diǎn)u=a_打,"、血1/0（初=/連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)y二jm切當(dāng)x-x0時(shí)的極限也存在且等于了.即：xt描1例題：求岬尸（】+爐解答：三一-注：函數(shù)J=8£（1+了）可看作yC°SU與以=（1+彳）、復(fù)合

42、而成，且函數(shù)yCOS”在點(diǎn)u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)"一磯X）在點(diǎn)X=Xo連續(xù)，且吠%）二斯,而函數(shù)了1/（"）在點(diǎn)U=Uo連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)X=Xo也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不彳證明）例：函數(shù)y=sinX在閉區(qū)間0,2元上

43、連續(xù)，則在點(diǎn)X=無/2處，它的函數(shù)值為1,且大于閉區(qū)間0,2無上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)X=3無/2處，它的函數(shù)值為-1,且小于閉區(qū)間0,2無上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值。介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即:/=CiJ（b）二口，v在a、0之間，則在a,b間一定有一個(gè)£,使J（0）二U推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置x是時(shí)間t的函數(shù)，X=/W，求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時(shí)速度？我們知道時(shí)間從t0有增的位移

44、。因此，在此量At時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量+可備）,這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段At加+曲）-/4）段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：Af.若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在to的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在to時(shí)的瞬時(shí)速度。我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段At無限地接近于0時(shí)，此平均速度會(huì)無限地接近于質(zhì)點(diǎn)to時(shí)的瞬時(shí)速度，即：質(zhì)點(diǎn)在t°時(shí)的瞬時(shí)速度血?dú)?蟆寸備）=%由旗抵心T。M為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下:X在Xo處有增量x（X+4X也在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量3二加+M-4)若Ay與&之比當(dāng)*0時(shí)極限存導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)二J（X）在點(diǎn)Xo的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在，則稱這個(gè)極限值為

45、y=/在Xo處的導(dǎo)數(shù)。記為：，T-%還可記為:函數(shù)/W在點(diǎn)Xo處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱函數(shù)/W在點(diǎn)Xo處可導(dǎo),否則不可導(dǎo)。若函數(shù)/W在區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)/（£）在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)=/。）對(duì)于區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)lim電州to-Ah存在，我們就稱它為函數(shù)y二x）前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限lim生在X=Xo處的左導(dǎo)數(shù)。若極限5T爐AX存在，我們就稱它為函數(shù)y=/W在X=Xo

46、處的右導(dǎo)數(shù)注：函數(shù)"Q）在X0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)y二道在X0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（差）.用公式可寫為:（4士為二山士”。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。j=-+x5+7r例題：已知工，求J八（3+（昌，+，=M+5/+0=二+5六解答：上,；例題：已知J二$由工一log居工+，求yy*=（sin工）'一（log山1）'+（/）'=cosj+解答：.二二二函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記

47、號(hào)外面去。用公式可寫成：二例題：已知"3須1+4，求y解答：二T-:''J：I丁丁丁一，一-函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：'J,例題：已知/（工）二而的工，求了（工丫f'=（五）$in工+石（sinx）f=sinx+瓜cosx解答：J注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成:(-)f=Vu-uv'例題：已

48、知了二t獨(dú)工，求人非解答：,7/sinx.f(sinxl'cosxsinx(cosz)fcos2x+sin2x12cos X/Wr=(tan=(-)f='-.-_-=.=的F二COS7cosXcosXcosX復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個(gè)例子例題：求（疝2i）'=?解答：由于（加分=bs,故（血2"=惚32彳這個(gè)解答正確嗎？這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下:(sin21)'=(2疝xcosx)r=2(smx)rcosx+sinx(cosx)r|=2cos2x我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是（$山2彳）是對(duì)自變量x求導(dǎo)，而不是對(duì)2x求導(dǎo)下面我們

49、給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：dy_dydudx曲次，其中u為中間變量dy例題：已知y二sm工，求d工解答：設(shè)立二£!HX,則y=加7可分解為JU",0=£lflX因此=優(yōu)）（血x）f=2t;cosx=2sinjtcosx=sin2xdxdudx注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。史例題：已知二Msin，求公的r1r.COSX=lnsinX）=（sinx）=cotx解答：一？一匚二'一匚二反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)二/（彳）為

50、單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)X=成切,它也是單調(diào)連續(xù)的為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下（我們以定理的形式給出）：定理：若x是單調(diào)連續(xù)的，且甲*。，則它的反函數(shù)y二，（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有：yf（x）=一wGO注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對(duì)它作記號(hào)變換。即：e3是對(duì)y求導(dǎo)，/是又X求導(dǎo)例題：求二arcsink的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為了二5由y,故/二cosy則：f1111y=/cosyJlin、71-例題：求了二arctanx的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為x=tanj,故/二則：f1111y_:-了,sec3y1

51、+tan2j1+x，高階導(dǎo)數(shù)dsv=我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v（t）是位置函數(shù)s（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即：dt,dvd（ds、q=而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率，即速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)：必必卜刈,或占二（S7d仲、這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)出1揖）叫做s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)仍然是X的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)dydy_d(dy、的二階導(dǎo)數(shù)，記作y或石，即：y=(yy或加日式曲j.相應(yīng)地，把丁二/(彳)的導(dǎo)數(shù)y=/w叫做函數(shù)二的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).也

52、在力分別記作：V,y陰，y或加，加，找二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知求y解答：因?yàn)閖'=a，故y=o例題：求對(duì)數(shù)函數(shù)j=+的n階導(dǎo)數(shù)。vf=J_y,屋Y嚴(yán)二一士解答：1+工，-d+X)2,-Q+X)3,-),")=(T嚴(yán)然一般地，可得I一.I隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx,y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任

53、取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？下面讓我們來解決這個(gè)問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)電若已知F(x,y)=0,求dx時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a):若方程F(x,y)=0,能化為)二的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；b):若方程F(x,y)=0,不能化為了二川)的形式，則是方程兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)7二/W,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。dy221例題：已知x+丁一工了二】，求dx解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱

54、函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，df2、d八、八dyt_y-2x(1+y=(1)=09or/ta仆y-t右血,2i+2»山+7)=。，故心=2注：我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對(duì)其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題：求隱函數(shù)/+2yr-3y=0,在x=0處的導(dǎo)數(shù),1+21/.,y-解答：兩邊對(duì)x求導(dǎo)5y*y+2y-1-21/=0,故5/+2,當(dāng)x=0時(shí)，y=0.故Mg有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對(duì)某些募函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方

55、法，對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于募函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題：已知J-Xx>0,求)此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡(jiǎn)便些。如下解答：先兩邊取對(duì)數(shù)：hJ二smxlnx,把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)1 t,sinx一y=cosxlnx+y工tzsin,sinx._疝1y=7(005X111x+)=x(cosxln)因?yàn)?*,所以XX昨2)例題：已知求y此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)In"-ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-lnfx-4)解答：先兩邊取對(duì)數(shù)2再兩邊求導(dǎo)1(bll11、”一心-帥-2)衛(wèi)2x-1工-2x-3x-4因?yàn)?二一3)。一4)所以r11111、y=-J1+-)2爪彳-鞏1)x-1彳-2X-3I函