《數(shù)學分析》第六章微分中值定理及其應用

1、數(shù)學分析第六章微分中值定理及其應用一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,且在區(qū)間端點的函數(shù)且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點)(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該點的導數(shù)等于零，在該點的導數(shù)等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上上可可導導在在 , 0)3()1(

2、 ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停物理解釋物理解釋: :變速直線運動在變速直線運動在折返點處折返點處,瞬時速瞬時速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC證證.)1(mM 若若,)(連續(xù)連續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不

3、可可能能同同時時在在端端點點),(afM 設設.)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()( ff. 0)( f只只有有注意注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其其結(jié)論可能不成立結(jié)論可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2的一切條件的一切條件滿足羅爾定理滿足羅爾定理不存在外不存在外

4、上除上除在在f . 0)(2-2 xf使使內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點點能能，但但在在區(qū)區(qū)間間;0, 01 , 0(,1 xxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,例例1 1.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設設,1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx 設另有設另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使得

5、使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為唯一實根為唯一實根二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉拉格格朗朗日日（L La ag gr ra an ng ge e）中中值值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù) f(x)在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù), ,在在開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)可可導導, ,那那末末在在),(ba內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一點點)(ba ，使使等等式式 )()()(abfafbf 成成立立. .)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了與羅爾定理相比條件中與羅爾定

6、理相比條件中注意注意).()()( fabafbf結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線線平平行行于于弦弦在在該該點點處處的的切切一一點點上上至至少少有有在在曲曲線線弧弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減減去去弦弦曲曲線線., 兩端點的函數(shù)值相等兩端點的函數(shù)值相等所得曲線所得曲線ba作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件xF. 0)(,

7、),( Fba使得使得內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在則在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系.,),(,)(內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)，上連續(xù)，在在設設babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則則有有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的的精精確確表表達達式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理拉

8、格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推論推論.)(,)(上上是是一一個個常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間那那末末上上的的導導數(shù)數(shù)恒恒為為零零在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxf例例2 2).11(2arccosarcsin xxx證明證明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設設)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 時時證證明明當當證

9、證),1ln()(xxf 設設, 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點處均不為零，那末在內(nèi)每一點處均不為零，那末在),(ba內(nèi)內(nèi)

10、至少至少有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfaFbFafbf 成立成立. . 幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點處的切線平行于該點處的切線平行于在在一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.

11、)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba,)(xxF 當當, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一點點證證明明內(nèi)內(nèi)可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在設設函函數(shù)數(shù)證證分析分析: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設設, 1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的

12、的在在則則xgxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即四、小結(jié)四、小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.思考題思考題 試舉例說明拉格朗日中值定理的條件試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可缺一不可.思考題解答思考題解答 1,

13、 310,)(21xxxxf不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件；不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件；以上兩個都可說明問題以上兩個都可說明問題.一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)4)(xxf 在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理，則定理，則=_=_ _ _. .2 2、 設設)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_個根，它們分別在區(qū)間個根，它們分別在區(qū)間_上上. .3 3、 羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是羅 爾

14、定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是_._.4 4、 微分中值定理精確地表達函數(shù)在一個區(qū)間上的微分中值定理精確地表達函數(shù)在一個區(qū)間上的_與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的_之間之間的關(guān)系的關(guān)系. .5 5、 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的導數(shù)上的導數(shù)_ _，那，那么么)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數(shù)上是一個常數(shù). .練練 習習 題題二、試證明對函數(shù)二、試證明對函數(shù)rqxpxy 2應用拉氏中值定理應用拉氏中值定理 時所求得的點時所求得的點 總是位于區(qū)間的正中間總是位于區(qū)間的正中間 . .三、證明等式三、證明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、設四、設0 ba，1 n，證明，證明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 證明下列不等式：證明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、時時當當1 x，exex