1.2第五節(jié)平面及其方程ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第五節(jié)第五節(jié) 平面及其方程平面及其方程空間直線的方程.一一 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程量n=A,B,C已知時(shí),平面的位置就確定了.本節(jié)和下一節(jié)里,我們用向量作為工具,在空間直角坐標(biāo)系中討論最簡(jiǎn)單的空間圖形-平面和直線.建立平面和如果一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法線向量. 簡(jiǎn)稱法向量.由于法向量與平面垂直,所以法向量與平面上的任一向量都垂直.我們知道,過(guò)空間一點(diǎn)可作而只能作一個(gè)平面垂直于一已知直線, 所以,當(dāng)平面上的一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)和它的一個(gè)法向高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)

2、理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系nxzyM0M它和平面的法向量垂直. nM0M=0 即 nM0M=00000 , , ,nA B C M Mx x yy z z方程(1)是平面上一點(diǎn)所滿足的方程.M(x,y,z)是平面上的一點(diǎn),向量M0M是平面上的一條直線,000()()() 0 (1)A x xB y yC z z高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系解:由平面方程(1),所求的平面方程為0143460) 0( 3) 2( 4) 1( 6zyxzyx解:由于過(guò)已知三點(diǎn)的平面法向量n和M1M2,M1M3都垂直,而反之,如果M(x,y,z)不在平面上,則它不能滿足方程(1)

3、式.所以方程(1)就是過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0),而以n=(A,B,C)為法向量的平面方程,稱為平面的點(diǎn)法式方程.例1 求過(guò)點(diǎn)(1,-2,0),且以n=6,-4,3為法向量的平面方程.例2 求過(guò)三點(diǎn)M1(0,4,-5), M 2(-1,-2,2), M3(4,2,1).的平面方程高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系12131213 1, 6,7,4, 2,6,M MM MnM MM M 樣的.這里的M0可以為上面三點(diǎn)中的任意一點(diǎn),其平面方程是一6 71 71616 72234262 6464242 6ijkijkijk 22,34,26n (2),由點(diǎn)法式方

4、程得到所求的平面方程為22(0) 34(4) 26(5)01117133 0 xyzxyz 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系二二, , 平面的一般方程平面的一般方程平面方程. 平面的點(diǎn)法式方程是x,y,z的三元一次方程,由于任一平面都可以 用它上面的一點(diǎn)及它的法向量來(lái)確定,所以任一平面都可以用三元 一次方程來(lái)表示.設(shè)有一個(gè)三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0 (2) 其中A,B,C不同時(shí) 為零. 我們?nèi)M足方程(2)的一組數(shù) x0,y0,z0.即該點(diǎn)在平面上. Ax0 +By0 +Cz0 +D=0 (3)由(2)式減去(3)式得到A(x-x0 ) +B(

5、y-y0 )+C(z-z0 )=0 (4)這就是通過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0),且以n=A,B,C為法線向量的高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系代入,即滿足其方程.又由于方程(4)和方程(2)同解,所以方程(2)表示一個(gè)平面.方程(2)叫做平面的一般方程. 其中 n=A,B,C為該平面的法線向量.例如: 3x-4y+z-9=0為平面方程,則n=3,-4,1為該平面的一個(gè)法線向量.2.對(duì)于一些特殊的三元一次方程,應(yīng)該熟悉它們的圖形特點(diǎn),例如(1)D=0, 方程 Ax+By+Cz=0表示一個(gè)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的平面.用坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)(0,0,0)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)

6、學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系于y軸,x軸的平面. 缺少x,y,z中的那一項(xiàng),缺就表示平面平行于那個(gè)軸(2).C=0, 方程Ax+By+D=0表示一個(gè)平行于z軸的平面.這是因?yàn)镃=0,即平面的法向量n=A,B,0.在z軸上的投影為0,這個(gè)法向量就垂直于z軸.所以這平面就平行于z軸.同理可知,B=0,方程 Ax+Cz+D=0 ,A=0,方程 By+Cz+D=0 .平面的法向量分別是n=A,0,C和n=0,B,C它們分別平行高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系平面.(如果D=0,表示重合于xOy平面) 這表示缺少常數(shù)項(xiàng)和x,y,z中的那一項(xiàng),平面

7、就通過(guò)那一軸.(3).C=0,D=0 方程Ax+By=0 表示通過(guò)z軸的平面.B=0,D=0方程Ax+Cz=0表示通過(guò)y軸的平面.A=0,D=0方程By+Cz=0 表示通過(guò)x軸的平面.(4)A=0,B=0方程Cz+D=0表示一個(gè)平行于(含重合于)XoY的平面.這是因?yàn)锳=B=0,法向量為n=0,0,C表示平面的法向量在x軸和y軸上的投影為0,這法向量必定同時(shí)垂直于x軸和y軸.因而,方程所確定的平面平行于x軸和y軸,也就是平行于xOy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系的平面.例3 指出下列各平面的特殊位置,并畫出各平面.(1)0.(2)310.xy同理方程Ax

8、+D=0和By+D=0分別表示平行(含重合于)yOz平面和xOz平面的平面.方程缺少x,y,z中的那兩項(xiàng),平面就平行于缺少的軸所組成(3)236 0.(4)30.xyxy (5)1.(6)20.y zxz (7)650.xy z 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系y=0,x=3yxz3y-1=0 xzx- y=03y分析:(1) x=0,即是yoz平面. (缺少y,z,D,表示通過(guò)原點(diǎn)的平行y,z軸的平面)(2)3y-1=0即y=1/3 平行于xOz平面. 且離xOz平面的距離為1/3. (3)2x-3y-6=0 這是平行于z軸的平面. 且在兩坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)

9、是(3,0,0)(0,-2,0) 即x=0,y=-2.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系xyzy+z=1(0,1,0)(0,0,1)x-2z=0yxzx-2z=0它的法向量為6,5,-1xyzn=6,5,-1(4)平行于z軸.且過(guò)原點(diǎn).是過(guò)z軸的平面在xoy面上投影為(5)y+z=1. 這是平行于x軸的,在yOz平面上的投影為直線y+z=1,x=0,0 xyz(6)x-2z=0 這是平行于y軸的,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)即過(guò)y軸.在xOz平面的投影為直線:(7)6x+5y-z=0. 這是過(guò)原點(diǎn)的平面.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系A(chǔ)

10、,C不同時(shí)為0.假設(shè)A0,方程為0, 0dczxADdACcADzACxd=4/3-3=-5/3052303532zxzx平面方程為例4 求平行于y軸且通過(guò)點(diǎn)P1(1,-5,1),p2(3,2,-2)的平面方程.解:由于平面方程平行于y軸.其方程為 Ax+Cz+D=0.因?yàn)榘裵1,p2的坐標(biāo)代入上式,得到1+c+d=0,3-2c+d=0,即 c+d=-1,d=2c-3. 解方程組得到c+2c-3=-1,3c=2.所以c=2/3, 代入高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系解之得1,.,czbyaxcDCbDBaDA得到代入方程b,c分別為y,z軸上的截距.xzy

11、r(0,0,c)P(a,0,0)Q(0,b,0)o例5 求通過(guò)三點(diǎn)p(a,0,0),q(0,b,0),r(0,0,c) 的平面方程,其中a,b,c都不為0.解:所求的平面方程為Ax+By+Cz+D=0, 由于p,q,r三點(diǎn)都在這平面上應(yīng)該滿足此方程.有aA+D=0. bB+D=0, cC+D=0.此方程叫做平面的截距式方程,其中的a,b,c分別叫做平面在x,y,z軸上的截距.其中a為平面在x軸上的截距.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系三三 兩平面的夾角兩平面的夾角按兩向量夾角的余弦公式,得到)5(cos2222222121212121212121CBACB

12、ACCBBAAnnnn平面n1,n2互相平行的充分必要條件為212121CCBBAA1,定義: 兩平面法向量所夾的銳角稱為兩平面夾角.2,求法: n1; A1x+B1y+C1z+D1=0 n1=A1,B1,C1n2; A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0 n2=A2,B2,C2n1,n2互相垂直的充分必要條件從兩個(gè)向量垂直,平行的條件可得到下列結(jié)論:平面為 A1A2+B1B2+C1C2=0高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系解:由公式(5)可得到2222224 1( 5)( 4)3 ( 1)cos4( 5)31( 4)( 1) 當(dāng)2222221212121

13、11222A AB BCCABCABC212121CCBBAA例6 求平面4x-5y+3z-1=0,x-4y-z+9=0的夾角.0210.7.453430 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系1,1,-1 例7 一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1(1,1,1),M2(2,2,2),且垂直于平面x+y-z=0.求它的方程.解:設(shè)所求的平面方程為:A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0 (點(diǎn)法式方程)其中一個(gè)法向量為n=A,B,C, 因?yàn)镸1M2=2-1,2-1,2-1=1,1,1在所求的平面內(nèi),所以向量M1M2必定垂直于法向量n.我們有A1A2+B1B2+C1C2=0即A

14、+B+C=0 (6)又所求的平面垂直于平面x+y-z=0.該平面的法向量是高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系到這平面的距離.我們有A+B-C=0 (7)由(6),(7)式,(6)+(7)=2(A+B)=0,A=-B,(6)-(7)=2C=0得到c=0,A=-B (8)由(8)式得到-B(x-1)+B(y-1)=0即x-y=0 就是我們所求的方程.例8 設(shè)p0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外的一點(diǎn),求p0高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系np0Np1,10101001zzyyxxppp1p0在法向量上的投影為所求的距離.解:在平面上取一點(diǎn)p1(x1,y1,z1),則向量2220000111, 0CBADCzByAxNpDCzByAx1010001010cos,cosnp p np p ndNpNpprj p pp pnn過(guò)p0作平面的法向量n=A,B,C可知010101000111222222()()()()A xxB yyC zzAxByCzAxByCzABC