第八章__第八節(jié)__拋物線

1、 第八節(jié) 拋物線一、拋物線定義一、拋物線定義 平面內(nèi)與一個定點平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線和一條定直線l(定點定點F不在定直線不在定直線l上上) 的距離的距離 的軌跡叫做拋物線，點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的叫做拋物線的 焦點，直線焦點，直線l叫做拋物線的叫做拋物線的 相等的點相等的點準線準線拋物線的定義中對定點與定直線有何要求？拋物線的定義中對定點與定直線有何要求？提示：提示：在拋物線的定義中，定點在拋物線的定義中，定點F不能在定直線不能在定直線l上，上，若定點若定點F在定直線上，則可得動點的軌跡為過點在定直線上，則可得動點的軌跡為過點F且垂且垂直于直于l的直線的直線.二、拋物線的標

2、準方程與幾何性質(zhì)二、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程標準方程y22px(p0)y22px(p0)圖形圖形范圍范圍x 0，yRx 0，yR標準方程標準方程y22px(p0)y22px(p0)對稱軸對稱軸頂點坐標頂點坐標原點原點O(0,0)焦點坐標焦點坐標( ，0)( ，0)準線方程準線方程離心率離心率e1x軸軸標準方程標準方程x2x2圖形圖形范圍范圍2py(p0)2py(p0)y 0，xRy 0，xR標準方程標準方程 x2x2對稱軸對稱軸頂點坐標頂點坐標原點原點O(0,0)焦點坐標焦點坐標準線方程準線方程 yy離心率離心率e12py(p0)2py(p0)y軸軸1拋物線拋物線x24y上一點上一點

3、A的縱坐標為的縱坐標為4，則點，則點A與拋物線焦與拋物線焦 點的距離為點的距離為 () A2B3 C4 D5 解析：法一：解析：法一：y4，x24y16.x4.A(4,4)焦點坐標為焦點坐標為(0,1)，由兩點間距離公式知距離為由兩點間距離公式知距離為法二：法二：拋物線準線為拋物線準線為y1，A到準線的距離為到準線的距離為5.又又A到準線的距離與到準線的距離與A到焦點的距離相等，到焦點的距離相等，距離為距離為5.答案：答案：D2拋物線拋物線yax2的準線方程是的準線方程是y20，則，則a的值是的值是()解析：解析：將拋物線的方程化為標準形式將拋物線的方程化為標準形式x2 ，其準線，其準線方程是

4、方程是y= =2,a=答案：答案：B3從拋物線從拋物線y24x上一點上一點P引其準線的垂線，垂足為引其準線的垂線，垂足為M， 設(shè)拋物線的焦點為設(shè)拋物線的焦點為F，且，且|PF|5，則，則MPF的面積為的面積為 () C20 D10解析：解析：由題意，設(shè)由題意，設(shè)P( ，y0)，則則|PF|PM| 15，y04，SMPF |PM|y0|10.答案：答案：D4拋物線拋物線y22x上的兩點上的兩點A、B到焦點的距離之和是到焦點的距離之和是5，則，則 線段線段AB中點到中點到y(tǒng)軸的距離是軸的距離是_解析：解析：由拋物線定義可知，由拋物線定義可知，A、B到準線到準線x 的距離的距離之和也是之和也是5，從

5、而線段，從而線段AB中點到準線距離是中點到準線距離是 ，故，故AB中點到中點到y(tǒng)軸的距離是軸的距離是答案：答案：25設(shè)拋物線設(shè)拋物線y2mx的準線與直線的準線與直線x1的距離為的距離為3，則拋，則拋 物線的方程為物線的方程為_解析：解析：當(dāng)當(dāng)m0時，準線方程為時，準線方程為x 2，m8；此時拋物線方程為此時拋物線方程為y28x；當(dāng)當(dāng)m0時，準線方程為時，準線方程為x 4，m16.此時拋物線方程為此時拋物線方程為y216x.所求拋物線方程為所求拋物線方程為y28x或或y216x.答案：答案：y28x或或y216x 拋物線的定義可以從以下幾個方面理解、掌握：拋物線的定義可以從以下幾個方面理解、掌握

6、：(1)拋物線的定義還可敘述為拋物線的定義還可敘述為“平面內(nèi)與一個定點平面內(nèi)與一個定點F和一條直和一條直 線線l的距離的比等于的距離的比等于1的點的軌跡叫做拋物線的點的軌跡叫做拋物線”(2)拋物線的定義的實質(zhì)可歸結(jié)為拋物線的定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定一動三定”：一個動點：一個動點M； 一個定點一個定點F(拋物線的焦點拋物線的焦點)；一條定直線；一條定直線l(拋物線的準線拋物線的準線)； 一個定值一個定值1(點點M與定點與定點F的距離和它到定直線的距離和它到定直線l的距離之的距離之 比等于比等于1)(3)拋物線的定義中指明了拋物線上點到焦點的距離與到拋物線的定義中指明了拋物線上點到焦點的距離與

7、到 準線距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化在解準線距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化在解 題中有重要作用題中有重要作用 已知拋物線已知拋物線y22x的焦點是的焦點是F，點，點P是拋物線上的是拋物線上的動點，又有點動點，又有點A(3,2)，求，求|PA|PF|的最小值，并求出取的最小值，并求出取最小值時最小值時P點的坐標點的坐標 利用定義將求利用定義將求|PA|+|PF|的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值轉(zhuǎn)化為|PA|+d的問題的問題.【解解】將將x3代入拋物線方程代入拋物線方程y22x，得，得y . 2，A在拋物線內(nèi)部在拋物線內(nèi)部設(shè)拋物線上的點設(shè)拋物線上的點P到準線到準線l：x=- 的距的距離

8、為離為d，由定義知，由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d.當(dāng)當(dāng)PAl時，時，|PA|+d最小，最小值為最小，最小值為 ，即，即|PA|+|PF|的的最小值為最小值為 ，此時，此時P點縱坐標為點縱坐標為2，代入，代入y2=2x，得，得x=2，所以點所以點P坐標為坐標為(2,2)1將本例中將本例中A(3,2)改為改為A(3， )求求|PA|PF|的最小值的最小值 及此時及此時P點的坐標點的坐標解：解：可判斷可判斷A(3， )在拋物線在拋物線y22x的外部，由定義可的外部，由定義可知知|PA|PF|AF| ，此時，此時P(2,2).1拋物線的標準方程拋物線的標準方程(1)p的幾何意義：的幾何意義

9、：p是焦點到準線的距離，故是焦點到準線的距離，故p恒為正數(shù)恒為正數(shù)(2)拋物線標準方程的形式特點拋物線標準方程的形式特點 形式為形式為y22px或或x22py； 一次項的變量與焦點所在的坐標軸的名稱相同，一次一次項的變量與焦點所在的坐標軸的名稱相同，一次 項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即“對稱軸看一次對稱軸看一次 項，符號決定開口方向項，符號決定開口方向”； 焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的【注意注意】焦點在焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一寫成軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一寫成y2ax(a0)；焦點在；焦點在y軸上的拋物線的標準

10、方程可統(tǒng)一寫成軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一寫成x2ay(a0)2幾何性質(zhì)幾何性質(zhì) 與焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論與焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論(以右圖為依據(jù)以右圖為依據(jù)) (1)y1y2p2，x1x2(2)|AB|x1x2p (為為AB的傾斜角的傾斜角)(3)SAOB (為為AB傾斜角傾斜角)(4)(5)以以AB為直徑的圓與準線相切為直徑的圓與準線相切(6)以以AF或或BF為直徑的圓與為直徑的圓與y軸相切軸相切(7)CFD90.為定值為定值 (2009山東高考山東高考)設(shè)斜率為設(shè)斜率為2的直線的直線l過拋物線過拋物線y2ax(a0)的焦點的焦點F，且和，且和y軸交于點軸交于點A.若若OAF(O為坐標為坐標原點

11、原點)的面積為的面積為4，則拋物線方程為，則拋物線方程為 ()Ay24x By28xCy24x Dy28x利用條件待定系數(shù)利用條件待定系數(shù)a可求可求.【解析解析】由拋物線方程知焦點由拋物線方程知焦點F( ，0)， 直線直線l為為y=2(x- )，與，與y軸交點軸交點A(0，- )SOAF= |OA|OF|a2=64，a=8.故故y2=8x.【答案答案】B2(2009長沙模擬長沙模擬)已知拋物線已知拋物線y2px2(p0)的焦點為的焦點為F， 點點P(1， )在拋物線上，過在拋物線上，過P作作PQ垂直拋物線的準線，垂垂直拋物線的準線，垂 足為足為Q，若拋物線的準線與對稱軸相交于點，若拋物線的準線

12、與對稱軸相交于點M，則四邊形，則四邊形 PQMF的面積為的面積為_解析：解析：由由P(1， )在拋物線上，得在拋物線上，得p ，故拋物線的，故拋物線的標準方程為標準方程為x24y，點，點F(0,1)，準線為，準線為y1，|FM|2，|PQ| |MQ|1，則直角梯形，則直角梯形PQMF的面的面積為積為答案：答案：151,44 設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，直線，直線AxByC0，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于得到關(guān)于y的方程的方程my2nyq0，(1)若若m0，當(dāng)，當(dāng)0時，直線拋物線有兩個公共點；時，直線拋物線有兩個公共點； 當(dāng)當(dāng)0時

13、，直線與拋物線只有一個公共點；時，直線與拋物線只有一個公共點； 當(dāng)當(dāng)0時，直線與拋物線沒有公共點時，直線與拋物線沒有公共點(2)若若m0，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與拋，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與拋 物線的對稱軸平行物線的對稱軸平行 已知已知A(8,0)，B、C兩點分別在兩點分別在y軸上和軸上和x軸上運軸上運動，并且滿足動，并且滿足(1)求動點求動點P的軌跡方程；的軌跡方程；(2)若過點若過點A的直線的直線l與動點與動點P的軌跡交于的軌跡交于M、N兩點，兩點， 97，其中，其中Q(1,0)，求直線，求直線l的方程的方程 （1）設(shè)出）設(shè)出B、C、P三點的坐標，利用條件三點的

14、坐標，利用條件 =0 建立方程建立方程 組，即可求組，即可求P點的軌跡方程點的軌跡方程.（2）分直線）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況的斜率存在和不存在兩種情況.【解解】(1)設(shè)設(shè)B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，則，則 by代入代入得得y24x.動點動點P的軌跡方程為的軌跡方程為y24x. ( 8, ),( ,),( ,).(, ).8()0,ABb BPx ybBCcb CPxc yAB BPxb yb BCCP 由由得得(2)當(dāng)直線當(dāng)直線l的斜率不存在時，的斜率不存在時，x8與拋物線沒有交點，不合與拋物線沒有交點，不合題意題意當(dāng)直線當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線的斜率存在時，設(shè)直

15、線l的斜率為的斜率為k，則，則l：yk(x8)設(shè)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則則由由 得得(x11)(x21)y1y297，即即x1x2x1x21k2(x18)(x28)97，(1k2)x1x2(18k2)(x1x2)164k297， 1122(1,),(1,).OMxyONxy 將將yk(x8)代入代入y24x得得k2x2(416k2)x64k20，x1x2 ，x1x264.代入代入式得式得64(1k2)(18k2) 164k297.整理得整理得l的方程為的方程為y (x8)，即即x2y80或或x2y80.211,.42kk 3已知動圓過定點已知動圓過定點P(1,0)，且與定直線，

16、且與定直線l：x1相切，點相切，點 C在在l上上 (1)求動圓圓心的軌跡求動圓圓心的軌跡M的方程；的方程； (2)設(shè)過點設(shè)過點P，且斜率為，且斜率為 的直線與曲線的直線與曲線M相交于相交于A、B 兩點兩點 問問ABC能否為正三角形？若能，求出能否為正三角形？若能，求出C點的坐標；若不點的坐標；若不 能，說明理由能，說明理由解：解：(1)依題意，曲線依題意，曲線M是以點是以點P為焦點，直線為焦點，直線l為準線的拋為準線的拋物線，所以曲線物線，所以曲線M的方程為的方程為y24x.如圖所示如圖所示 (2)由題意得，直線由題意得，直線AB的方程為的方程為y=- (x-1)，由由 消消y得得3x2-10

17、 x+3=0.解得解得若若ABC能為正三角形，能為正三角形，設(shè)設(shè)C(-1，y)，則，則|AC|=|AB|=|BC|，即，即組成的方程組無解，因此直線組成的方程組無解，因此直線l上不存在點上不存在點C使使ABC是正三角形是正三角形 對于拋物線的考查，主要涉及拋物線的定義、幾何性對于拋物線的考查，主要涉及拋物線的定義、幾何性質(zhì)、標準方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，多以選擇、填空質(zhì)、標準方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，多以選擇、填空為主為主.2009年寧夏海南高考在填空題中考查了拋物線方程的年寧夏海南高考在填空題中考查了拋物線方程的求法求法.難度不大難度不大.屬容易題屬容易題.(2009寧夏、海南高考寧夏、海南高考)已知拋物線已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦的頂點為坐標原點，焦點在點在x軸上，直線軸上，直線yx與拋物線與拋物線C交于交于A、B兩點若兩點若D(2,2)為為AB的中點，則拋物線的中點，則拋物線C的方程為的方程為_解析解析法一：法一：設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為y2ax，則由則由設(shè)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由由x1x2a