數(shù)字圖像的傅里葉變換(經(jīng)典)

1、圖像的傅里葉變換圖像的傅里葉變換 Fourier Transformation For Image 時(shí)域分析只能反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化時(shí)域分析只能反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化情況，除單頻率分量的簡(jiǎn)諧波外，很難明確揭示情況，除單頻率分量的簡(jiǎn)諧波外，很難明確揭示信號(hào)的頻率組成和各頻率分量大小。信號(hào)的頻率組成和各頻率分量大小。圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào)圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào) 時(shí)間時(shí)間幅值幅值頻率頻率時(shí)域分析時(shí)域分析頻域分析頻域分析信號(hào)頻譜信號(hào)頻譜X(f)X(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。供

2、比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。 一維一維FT及其反變換及其反變換n連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f(x)的傅立葉變換的傅立葉變換F(u):n傅立葉變換傅立葉變換F(u)的反變換的反變換:dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(一維一維DFTDFT及其反變換及其反變換n離散函數(shù)離散函數(shù)f(x)(其中其中x，u=0,1,2,N-1)的傅立葉變換的傅立葉變換:10/2)()(NxNuxjexfuF10/2)(1)(NxNuxjeuFNxfF(u)的反變換的反變換的反變換的反變換:計(jì)算計(jì)算F(u)： 在指數(shù)項(xiàng)中代入在指數(shù)項(xiàng)中代入u=0，然后將所有，然后將所有x 值值相加，得到相加，得到F(0

3、)；2) u=1，復(fù)對(duì)所有，復(fù)對(duì)所有x 的的相加，得到相加，得到F(1)； 3) 對(duì)所有對(duì)所有M 個(gè)個(gè)u 重復(fù)重復(fù)此過(guò)程，得到全部此過(guò)程，得到全部完整的完整的FT。n離散傅里葉變換及其反變換總存在。離散傅里葉變換及其反變換總存在。n用歐拉公式得用歐拉公式得sincosjej10/2sin/2)cos()(NxNuxjNuxxfuF每個(gè)每個(gè)F(u) 由由f(x)與對(duì)應(yīng)頻率的正弦和余弦乘積和組成與對(duì)應(yīng)頻率的正弦和余弦乘積和組成； u 值決定了變換的頻率成份，因此，值決定了變換的頻率成份，因此，F(xiàn)(u) 覆蓋的域覆蓋的域(u值值) 稱為稱為頻率域頻率域，其中每一項(xiàng)都被稱為，其中每一項(xiàng)都被稱為FT 的

4、的頻率頻率分量分量。與。與f(x) 的的“時(shí)間域時(shí)間域”和和“時(shí)間成份時(shí)間成份”相對(duì)應(yīng)。相對(duì)應(yīng)。傅里葉變換的作用傅里葉變換的作用傅里葉變換將信號(hào)分成不同頻率成份傅里葉變換將信號(hào)分成不同頻率成份。類似光學(xué)中的。類似光學(xué)中的分色棱鏡把白光按波長(zhǎng)分色棱鏡把白光按波長(zhǎng)( (頻率頻率) )分成不同顏色，稱數(shù)學(xué)分成不同顏色，稱數(shù)學(xué)棱鏡。棱鏡。傅里葉變換的成份：傅里葉變換的成份：直流分量和交流分量直流分量和交流分量信號(hào)變化的快慢與頻率域的頻率有關(guān)信號(hào)變化的快慢與頻率域的頻率有關(guān)。噪聲、邊緣、噪聲、邊緣、跳躍部分代表圖像跳躍部分代表圖像的的高頻高頻分量；分量；背景區(qū)域和慢變部分背景區(qū)域和慢變部分代表圖像代表圖

5、像的的低頻低頻分量分量二維二維DFT傅里葉變換傅里葉變換n一個(gè)圖像尺寸為一個(gè)圖像尺寸為MN的函數(shù)的函數(shù)f(x,y)的離散傅立葉變換的離散傅立葉變換F(u,v):nF(u,v)的反變換的反變換:112 (/)00( , )( , )MNjux Mvy NxyF u vf x y e112 (/)001( , )( , )MNjux Mvy Nuvf x yF u v eMN二維二維DFT傅里葉變換傅里葉變換n(u,v)=(0,0)位置的傅里葉變換值為位置的傅里葉變換值為1010),(),(1)0 , 0(MxNyyxfyxfMNF即即f(x,y) 的均值，原點(diǎn)的均值，原點(diǎn)(0,0) 的傅里葉變換

6、是圖像的的傅里葉變換是圖像的平均灰度平均灰度。F(0,0) 稱為頻率譜的稱為頻率譜的直流分量直流分量(系數(shù)系數(shù))，其它其它F(u,v) 值稱為值稱為交流分量交流分量(交流系數(shù)交流系數(shù))。n 二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)傅里葉變換1） 定義定義dxexfuFuxj2)()(dydxeyxfvuFvyuxj)(2),(),(2） 逆傅里葉變換逆傅里葉變換dueuFxfuxj2)()(dvduevuFyxfvyuxj)(2),(),(3） 傅里葉變換特征參數(shù)傅里葉變換特征參數(shù)),(),(),(vujIvuRvuF頻譜頻譜/幅度譜幅度譜/模模),(),(),(22vuIvuRvuF能量譜能量譜/ /功率

7、譜功率譜),(),(),(),(222vuIvuRvuFvuP相位譜相位譜),(),(arctan),(vuRvuIvu傅里葉變換中出現(xiàn)的變量傅里葉變換中出現(xiàn)的變量u和和v通常稱為頻率變量，通常稱為頻率變量，空間空間頻率頻率可以理解為等相位線在可以理解為等相位線在x,y坐標(biāo)投影的截距的倒數(shù)。坐標(biāo)投影的截距的倒數(shù)。xy0XY相應(yīng)的空間頻率分別為相應(yīng)的空間頻率分別為cos1,cos1YvXu 對(duì)圖像信號(hào)而言，空間頻率是指單位長(zhǎng)度內(nèi)亮度作對(duì)圖像信號(hào)而言，空間頻率是指單位長(zhǎng)度內(nèi)亮度作周期性變化的次數(shù)。周期性變化的次數(shù)。思考：噪聲、線、細(xì)節(jié)、思考：噪聲、線、細(xì)節(jié)、背景或平滑區(qū)域?qū)?yīng)的空背景或平滑區(qū)域?qū)?yīng)

8、的空間頻率特性？間頻率特性？傅里葉變換的意義傅里葉變換的意義傅里葉變換好比一個(gè)玻璃棱鏡傅里葉變換好比一個(gè)玻璃棱鏡棱鏡是可以將光分成不同顏色的物理儀棱鏡是可以將光分成不同顏色的物理儀器，每個(gè)成分的顏色由波長(zhǎng)決定。器，每個(gè)成分的顏色由波長(zhǎng)決定。傅里葉變換可看做是傅里葉變換可看做是“數(shù)學(xué)中的棱鏡數(shù)學(xué)中的棱鏡”，將函數(shù)基于頻率分成不同的成分。將函數(shù)基于頻率分成不同的成分。一些圖像的傅里葉變換一些圖像的傅里葉變換 是是g(x,y)的頻譜，的頻譜，物函數(shù)物函數(shù)g(x,y)可以看作不同方可以看作不同方向傳播的單色平面波分量的線性疊加向傳播的單色平面波分量的線性疊加。 為權(quán)重因子。空間頻率為權(quán)重因子。空間頻率

9、 表示了單色表示了單色平面波的傳播方向。平面波的傳播方向。( , )G ( , )Gd d coscos,對(duì)于對(duì)于xy平面上一點(diǎn)的復(fù)振幅分布平面上一點(diǎn)的復(fù)振幅分布g(x,y)可由逆傅里葉可由逆傅里葉變換表示成：變換表示成：( , )( , )exp 2 ()g x yGjxy d d n 二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換1） 定義定義1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF2） 逆傅里葉變換逆傅里葉變換1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf1, 1 , 01, 1 , 0NvMu1, 1 , 01, 1 , 0NyMx離散的情況下，傅

10、里葉變換和逆傅里葉變換始終存在。離散的情況下，傅里葉變換和逆傅里葉變換始終存在。例例 設(shè)一函數(shù)如圖（設(shè)一函數(shù)如圖（a）所示，如果將此函數(shù)在自變量）所示，如果將此函數(shù)在自變量25. 1,00. 1,75. 0, 5 . 03210 xxxx并重新定義為圖（并重新定義為圖（b）離散函數(shù)，求其傅里葉變換。）離散函數(shù)，求其傅里葉變換。取樣取樣（a）（b）)3()2() 1 ()0(111111111111)(41ffffjjjjuFxy1-1j-j圖像的頻譜幅度隨頻率增大而迅速衰減圖像的頻譜幅度隨頻率增大而迅速衰減 許多圖像的傅里葉頻譜的幅度隨著頻率的增大而迅速減小，這使許多圖像的傅里葉頻譜的幅度隨著

11、頻率的增大而迅速減小，這使得在顯示與觀察一副圖像的頻譜時(shí)遇到困難。但以圖像的形式顯示它得在顯示與觀察一副圖像的頻譜時(shí)遇到困難。但以圖像的形式顯示它們時(shí)，其高頻項(xiàng)變得越來(lái)越不清楚。們時(shí)，其高頻項(xiàng)變得越來(lái)越不清楚。解決辦法：解決辦法： 對(duì)數(shù)化對(duì)數(shù)化2526主極大的值用主極大的值用Fmax表示，表示，第一個(gè)旁瓣的峰值用第一個(gè)旁瓣的峰值用Fmin表示表示)1 (log)1 (logminmaxKFKFRaa例題：對(duì)一幅圖像實(shí)施二維例題：對(duì)一幅圖像實(shí)施二維DFT，顯示并觀察其頻譜。，顯示并觀察其頻譜。解：源程序及運(yùn)行結(jié)果如下：解：源程序及運(yùn)行結(jié)果如下：%對(duì)單縫進(jìn)行快速傅里葉變換，以三種方式顯示頻譜，對(duì)單

12、縫進(jìn)行快速傅里葉變換，以三種方式顯示頻譜，%即：直接顯示（坐標(biāo)原點(diǎn)在左上角）；把坐標(biāo)原點(diǎn)平即：直接顯示（坐標(biāo)原點(diǎn)在左上角）；把坐標(biāo)原點(diǎn)平%移至中心后顯示；以對(duì)數(shù)方式顯示。移至中心后顯示；以對(duì)數(shù)方式顯示。f=zeros(512,512);f(246:266,230:276)=1;subplot(221),imshow(f,),title(單狹縫圖像單狹縫圖像)F=fft2(f); %對(duì)圖像進(jìn)行快速傅里葉變換對(duì)圖像進(jìn)行快速傅里葉變換S=abs(F); subplot(222)imshow(S,) %顯示幅度譜顯示幅度譜title(幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在坐上角）幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在坐上角）)Fc=

13、fftshift(F); %把頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)由左上角移至屏幕中央把頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)由左上角移至屏幕中央subplot(223)Fd=abs(Fc);imshow(Fd,)ratio=max(Fd(:)/min(Fd(:) %ratio = 2.3306e+007,動(dòng)態(tài)范圍太大，顯示器無(wú)法正常顯動(dòng)態(tài)范圍太大，顯示器無(wú)法正常顯示示title(幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在屏幕中央）幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在屏幕中央）)S2=log(1+abs(Fc);subplot(224)imshow(S2,)title(以對(duì)數(shù)方式顯示頻譜以對(duì)數(shù)方式顯示頻譜)運(yùn)行上面程序后，結(jié)果如下：運(yùn)行上面程序后，結(jié)果如下：?jiǎn)?狹 縫 圖 像

14、幅 度 譜 （ 頻 譜 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 在 坐 上 角 ）幅 度 譜 （ 頻 譜 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 在 屏 幕 中 央 ）以 對(duì) 數(shù) 方 式 顯 示 頻 譜n 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 線性性線性性111122112222,fx yF u vc fx yc fx yc F u vc Fu vfx yFu v證明：證明：1122,DFTc fx yc fx y112112200111122112200001122,uxvyMNjMNxyuxvyuxvyMNMNjjMNMNxyxyc fx yc fx yecfx y ecfx y ec Fu vc Fu v %imageli

15、near.m%該程序驗(yàn)證了二維該程序驗(yàn)證了二維DFT的線性性質(zhì)的線性性質(zhì)f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg);g=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.30(a).jpg);m,n=size(g);f(m,n)=0;f=im2double(f);g=im2double(g);subplot(221)imshow(f,)title(f)subplot(222)imshow(g,)title(g)F=fftshift(fft2(f);G=fftshift(fft2(g);subplot(223)imshow(log(

16、abs(F+G),)FG=fftshift(fft2(f+g);title(DFT(f)+DFT(g)subplot(224)imshow(log(abs(FG),)title(DFT(f+g)fgDFT(f)+DFT(g)DFT(f+g) 可分離性可分離性二維二維DFT可視為由沿可視為由沿x,y方向的兩個(gè)一維方向的兩個(gè)一維DFT所構(gòu)成。所構(gòu)成。11200,ux vyMNjMNxyF u vf x y e112200120,vyuxMNjjNMxyuxMjMxf x y eeF x v e 112001,ux vyMNjMNuvf x yF u v eMN11220012011,1,vyuxM

17、NjjNMuvuxMjMuF u v eeMNF u y eM120120,vyNjNyuxMjMxF x vf x y eyDFTF u vF x v exDFT方向的方向的1201201,1,vyNjNvuxMjMuF u yF u v eyIDFTNf x yF u y exIDFTM方向的方向的其中：其中：例題：編程驗(yàn)證二維離散傅里葉變換可分離為兩個(gè)一維離例題：編程驗(yàn)證二維離散傅里葉變換可分離為兩個(gè)一維離散傅里葉變換。散傅里葉變換。解：解：%myseparable.m%該程序驗(yàn)證了二維該程序驗(yàn)證了二維DFT的可分離性質(zhì)的可分離性質(zhì)%該程序產(chǎn)生了岡薩雷斯該程序產(chǎn)生了岡薩雷斯數(shù)字圖像處理數(shù)

18、字圖像處理（第二版）（第二版）%P125 圖圖4.4f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg);subplot(211)imshow(f,)title(原圖原圖)F=fftshift(fft2(f);subplot(223)imshow(log(1+abs(F),)title(用用fft2實(shí)現(xiàn)二維離散傅里葉變換實(shí)現(xiàn)二維離散傅里葉變換)m,n=size(f);F=fft(f); %沿沿x方向求離散傅里葉變換方向求離散傅里葉變換G=fft(F); %沿沿y方向求離散傅里葉變換方向求離散傅里葉變換F=fftshift(G);subplot(224)im

19、show(log(1+abs(F),)title(用用fft實(shí)現(xiàn)二維離散傅里葉變換實(shí)現(xiàn)二維離散傅里葉變換)原 圖用 fft2實(shí) 現(xiàn) 二 維 離 散 傅 里 葉 變 換用 fft實(shí) 現(xiàn) 二 維 離 散 傅 里 葉 變 換 平移性平移性0000200200,u xv yjMNuxvyjMNfx yeF uu vvfx yF u vfxxyyF u ve證明：證明：（1）頻域移位）頻域移位002,uxvyjMND F Tfxye00001122001120000,uxvyu xv yMNjjMNMNxyuuxvvyMNjMNxyfxyeefxyeFuuvv 結(jié)論：結(jié)論：00200,uxvyjMNfx

20、yeFuuvv ,1,22xyMNfxyFuv即如果需要將頻域的坐標(biāo)原點(diǎn)從顯示屏起始點(diǎn)（即如果需要將頻域的坐標(biāo)原點(diǎn)從顯示屏起始點(diǎn)（0，0）移至顯示屏的中心點(diǎn)只要將移至顯示屏的中心點(diǎn)只要將f(x,y)乘以乘以(-1)x+y因子再進(jìn)行傅因子再進(jìn)行傅里葉變換即可實(shí)現(xiàn)。里葉變換即可實(shí)現(xiàn)。例題：利用例題：利用(-1)x+y對(duì)單縫圖像對(duì)單縫圖像f(x,y)進(jìn)行調(diào)制，實(shí)現(xiàn)把頻譜進(jìn)行調(diào)制，實(shí)現(xiàn)把頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕正中央的目標(biāo)。坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕正中央的目標(biāo)。2,200NvMu當(dāng)當(dāng)yxyxjNyvMxujee) 1()()/(200解：完成本題的源程序?yàn)椋航猓和瓿杀绢}的源程序?yàn)椋?在傅里葉變換之前，把函數(shù)乘以在

21、傅里葉變換之前，把函數(shù)乘以(-1) x+y，相當(dāng)于把頻譜，相當(dāng)于把頻譜%坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕窗口正中央。坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕窗口正中央。f(512,512)=0;f=mat2gray(f);Y,X=meshgrid(1:512,1:512);f(246:266,230:276)=1;g=f.*(-1).(X+Y);subplot(221),imshow(f,),title(原圖像原圖像f(x,y)subplot(222),imshow(g,),title(空域調(diào)制圖像空域調(diào)制圖像g(x,y)=f(x,y)*(-1)x+y)F=fft2(f);subplot(223),imshow(log(1+abs(

22、F),),title(f(x,y)的傅里葉的傅里葉頻譜頻譜)G=fft2(g);subplot(224),imshow(log(1+abs(G),),title(g(x,y)的傅里葉的傅里葉頻譜頻譜)原 圖 像 f(x,y)空 域 調(diào) 制 圖 像 g(x,y)=f(x,y)*(-1)x+yf(x,y)的 傅 里 葉 頻 譜g(x,y)的 傅 里 葉 頻 譜（a） 在0 N-1周期中有兩個(gè)背靠背半周期（b） 同一區(qū)間內(nèi)有一個(gè)完整的周期 這就意味著，坐標(biāo)原點(diǎn)移到了頻譜圖像的中間位置，這一點(diǎn)十分重要，這就意味著，坐標(biāo)原點(diǎn)移到了頻譜圖像的中間位置，這一點(diǎn)十分重要，尤其是對(duì)以后的圖像顯示和濾波處理。尤其

23、是對(duì)以后的圖像顯示和濾波處理。例題：利用例題：利用(-1)x對(duì)對(duì)f(x)曲線進(jìn)行調(diào)制，達(dá)到平移頻域坐標(biāo)原點(diǎn)曲線進(jìn)行調(diào)制，達(dá)到平移頻域坐標(biāo)原點(diǎn)至屏幕正中央的目的。至屏幕正中央的目的。%以一維情況為例，說(shuō)明空域調(diào)制對(duì)應(yīng)著頻域坐標(biāo)原點(diǎn)移位。以一維情況為例，說(shuō)明空域調(diào)制對(duì)應(yīng)著頻域坐標(biāo)原點(diǎn)移位。f(1:512)=0;f(251:260)=1; %產(chǎn)生寬度為產(chǎn)生寬度為10的窗口函數(shù)的窗口函數(shù)subplot(221),plot(f),title(寬度為寬度為10 的窗口函數(shù)的窗口函數(shù))F=fft(f,512); %進(jìn)行快速傅里葉變換，延拓周期周期為進(jìn)行快速傅里葉變換，延拓周期周期為512subplot(22

24、2)plot(abs(F) %繪幅度頻譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處）繪幅度頻譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處）title(幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處）幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處）)x=251:260;f(251:260)=(-1).x; %把曲線把曲線f(x)乘以乘以(-1)x，可以把頻譜，可以把頻譜 %坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕正中央坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕正中央subplot(223),plot(f),title(寬度為寬度為10 的調(diào)制窗口函數(shù)的調(diào)制窗口函數(shù))F=fft(f,512); %進(jìn)行快速傅里葉變換進(jìn)行快速傅里葉變換subplot(224);plot(abs(F) %直接顯示幅度頻譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)

25、在正中央）直接顯示幅度頻譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在正中央）title(幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在中央）幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在中央）)figuref(1:512)=0;f(251:270)=1; %產(chǎn)生寬度為產(chǎn)生寬度為20的窗口函數(shù)的窗口函數(shù)subplot(221),plot(f),title(寬度為寬度為20 的窗口函數(shù)的窗口函數(shù))F=fft(f,512); %進(jìn)行快速傅里葉變換，延拓周期周期為進(jìn)行快速傅里葉變換，延拓周期周期為512subplot(222)plot(abs(F) %繪幅度頻譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處）繪幅度頻譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處）title(幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處）幅度譜（

26、頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處）)x=251:270;f(251:270)=(-1).x; %把曲線把曲線f(x)乘以乘以(-1)x，可以把頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)移至，可以把頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕正中央屏幕正中央subplot(223),plot(f),title(寬度為寬度為20 的調(diào)制窗口函數(shù)的調(diào)制窗口函數(shù))F=fft(f,512); %進(jìn)行快速傅里葉變換進(jìn)行快速傅里葉變換subplot(224);plot(abs(F) %直接顯示幅度頻譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在正中央）直接顯示幅度頻譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在正中央）title(幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在中央）幅度譜（頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在中央）)020040060000.51寬 度

27、為 10 的 窗 口 函 數(shù)02004006000510幅 度 譜 （ 頻 譜 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 在 左 邊 界 處 ）0200400600-1-0.500.51寬 度 為 10 的 調(diào) 制 窗 口 函 數(shù)02004006000510幅 度 譜 （ 頻 譜 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 在 中 央 ）020040060000.51寬 度 為 20 的 窗 口 函 數(shù)020040060005101520幅 度 譜 （ 頻 譜 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 在 左 邊 界 處 ）0200400600-1-0.500.51寬 度 為 20 的 調(diào) 制 窗 口 函 數(shù)020040060005101520幅 度 譜 （ 頻 譜 坐

28、標(biāo) 原 點(diǎn) 在 中 央 ）（2）空域移位：）空域移位：),(00yyxxfDFT0000000000001120000112000011222,uxvyMNjMNxyu x xxv y yyMNjMNxyuxvyuxvyMx NyjjMNMNxxyyuxvyjMNyf xxyyef xxyyeef x yeef x y 00112002,uxvyMNjMNxuxvyjMNeeF u v 周期性和共軛對(duì)稱性周期性和共軛對(duì)稱性 周期性：周期性：,( , ),F u vF umM vnNf x yf xmM ynN,0, 1, 2,m n 共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性：*,|,| |,|F u vFuvF

29、u vFuv證明：證明： （1）周期性：）周期性：1120011200,1,uxvyMNjMNxyuxvyMNjMNuvF u vf x yef x yF u veMN21jme,F umM vnNF u vf xmM ynNf x y(2) 共軛對(duì)稱性：共軛對(duì)稱性：11200,ux vyMNjMNxyF u vf x y e*11200*,u xv yMNjMNxyf x y eFuv ,| |,|,|F u vFuvF u v ，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性 ,fx yF u v,f rF cossinxryrcossinuv00,f rF 證明：證明：222cos0 0,cosc

30、ossin ,sin,jux vyjrF u vfx yedxdyuxryrvFf rer dr d 若則：022cos00 0,jrFf rerdrd 0022cos0022cos00 0,jrjrf rerdrdf rerdrd ,2f rf r注注：為看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)、簡(jiǎn)化旋轉(zhuǎn)不變性的證明，以：為看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)、簡(jiǎn)化旋轉(zhuǎn)不變性的證明，以上用二維連續(xù)傅里葉變換進(jìn)行證明。實(shí)際上，由連續(xù)上用二維連續(xù)傅里葉變換進(jìn)行證明。實(shí)際上，由連續(xù)積分公式進(jìn)行離散化處理，即可得到離散公式，證明積分公式進(jìn)行離散化處理，即可得到離散公式，證明可參照連續(xù)情況進(jìn)行?？蓞⒄者B續(xù)情況進(jìn)行。f=zeros(512,512);

31、f(246:266,230:276)=1;subplot(221);imshow(f,)title(原圖原圖)F=fftshift(fft2(f);subplot(222);imshow(log(1+abs(F),)title(原圖的頻譜原圖的頻譜)f=imrotate(f,45,bilinear,crop);subplot(223)imshow(f,)title(旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)450圖圖)Fc=fftshift(fft2(f);subplot(224);imshow(log(1+abs(Fc),)title(旋轉(zhuǎn)圖的頻譜旋轉(zhuǎn)圖的頻譜)原 圖原 圖 的 頻 譜旋 轉(zhuǎn) 450圖旋 轉(zhuǎn) 圖 的 頻 譜

32、離散卷積定理離散卷積定理daaxgafxgxf)()()(*)(例例1 其它0101)(xxf其它0102/1)(xxg求以下兩個(gè)函數(shù)的卷積求以下兩個(gè)函數(shù)的卷積1）連續(xù)卷積）連續(xù)卷積dudvvyuxgvufyxgyxf),(),(),(*),(其它0212/1102/)(*)(xxxxxgxf2 2）離散卷積定理）離散卷積定理1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf 19)()(*)(Mmeeeemxgmfxgxfaasbbttysxftswyxg),(),(),(離散卷積定義：離散卷積定義：空間濾波輸出：空間濾波輸出：結(jié)論：空間域進(jìn)行濾波的過(guò)程就是結(jié)論：空間域進(jìn)行濾波的過(guò)程就是“卷積卷積”的過(guò)程。的過(guò)程。,*,1,*,f x yg x yF u vG u vf x yF u vg x yG u vf x yg x yF u vG u vMN證明：（證明：（1）空域卷積和）空域卷積和,*,D F Tfxygxy1100110011200,MNmnMNmnm un vMNjMNmnD F TfmngxmynfmnD F TgxmynfmneGu vFu vGu v （2）頻域卷積和：）頻域卷積和：,DFTfx ygx y112 0 0112 0 011 0 01,1,1,1