第八章 氣體的一維流動

1、 本章主要介紹氣體動力學的基礎知識和基本方本章主要介紹氣體動力學的基礎知識和基本方程，討論可壓縮氣體一元定常等熵流動中各種參程，討論可壓縮氣體一元定常等熵流動中各種參數(shù)之間的關系和變化規(guī)律。數(shù)之間的關系和變化規(guī)律。第八章第八章 氣體的一維流動氣體的一維流動要求：要求： 1、掌握一元定常氣流的基本方程，了解氣、掌握一元定常氣流的基本方程，了解氣 流速度與密度的關系，理解變截面管流流速度與密度的關系，理解變截面管流 中流動參數(shù)的變化規(guī)律。中流動參數(shù)的變化規(guī)律。 2、掌握聲速、馬赫數(shù)的基本概念及表達式，掌握聲速、馬赫數(shù)的基本概念及表達式， 理解微小擾動波的傳播過程和傳播特征。理解微小擾動波的傳播過程

2、和傳播特征。 3、了解一元等熵氣流的兩種特定狀態(tài)及其了解一元等熵氣流的兩種特定狀態(tài)及其 參數(shù)，掌握流動參數(shù)與馬赫數(shù)的關系。參數(shù)，掌握流動參數(shù)與馬赫數(shù)的關系。81 一元氣流的基本方程和流動特性一元氣流的基本方程和流動特性一、理想氣體一元定常流動的基本方程一、理想氣體一元定常流動的基本方程1、連續(xù)方程、連續(xù)方程對于一元定常流動，連續(xù)方程為：對于一元定常流動，連續(xù)方程為： vA = 常常數(shù)數(shù)微分得：微分得：取對數(shù)得：取對數(shù)得： CAlnvlnlnvAln 0 AdAvdvd 可壓縮流體一元定常流動的連續(xù)方程可壓縮流體一元定常流動的連續(xù)方程 根據(jù)三個限制條件曾對歐拉運動微分方程根據(jù)三個限制條件曾對歐拉

3、運動微分方程（理想流體運動微分方程）化簡后得：（理想流體運動微分方程）化簡后得： 022 vddpdzg 忽略質(zhì)量力忽略質(zhì)量力( (重力重力) )，g g = 0 = 0 得：得：022 vddp 或或dvvdp 2、伯努利方程、伯努利方程積分上式得：積分上式得： Cvdp 22 對于做等熵流動的理想氣體，有：對于做等熵流動的理想氣體，有：Cp（絕熱方程式）（絕熱方程式） 即即11Cp則：則： ppppdpCCpdpdp1111111111 代入得：代入得：Cvp 212 可壓縮流體的可壓縮流體的 伯努利方程伯努利方程或或Cgvgp 212 由于由于ppp111RTp RTc還可得如下不同形式

4、的伯努利方程：還可得如下不同形式的伯努利方程：或或CRTvp 122 Cpvp 1122（） 此式與不可壓縮流體的伯努利方程的區(qū)別在于此式與不可壓縮流體的伯努利方程的區(qū)別在于 項，項， 該項表示單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能。該項表示單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能。1 RTCvc 2122 （） 上述一組同等效用，多種形式的伯努利方程的上述一組同等效用，多種形式的伯努利方程的物理意義：物理意義：在一元定常等熵氣體流動中，沿流束在一元定常等熵氣體流動中，沿流束任意斷面上，單位質(zhì)量氣體的機械能和內(nèi)能之和任意斷面上，單位質(zhì)量氣體的機械能和內(nèi)能之和保持不變。保持不變。二、氣體速度與密度的關系二、氣體速度與密度的關

5、系由上式可以看出：由上式可以看出：1、加速氣流、加速氣流 ，必然引起壓強降低，氣體膨，必然引起壓強降低，氣體膨脹，密度減小。反之脹，密度減小。反之 ，則壓強增大。氣，則壓強增大。氣體壓縮，密度增加，即氣流沿流線（動）做加速體壓縮，密度增加，即氣流沿流線（動）做加速運動（降壓氣流）或減速運動（升壓氣流），實運動（降壓氣流）或減速運動（升壓氣流），實質(zhì)上相當于氣體的膨脹或壓縮過程。質(zhì)上相當于氣體的膨脹或壓縮過程。氣體的運動氣體的運動伴隨著密度的變化。伴隨著密度的變化。)(odv)(odv即：即：vdvMavdvcvcvdvd2222 dcdddpdpdvv21 由于由于 無論是亞聲速無論是亞聲速

6、和超聲速和超聲速 氣流氣流都具有上述特性。都具有上述特性。)Ma(1 )Ma(1 2、 Ma 數(shù)不同時，速度變化率數(shù)不同時，速度變化率 和密度變化率和密度變化率 的關系不同：的關系不同：vdv d 時，時， 。即若為加速降壓氣流，。即若為加速降壓氣流，密度的減小率小于流速的增加率，若為升壓減速密度的減小率小于流速的增加率，若為升壓減速氣流，密度的增加率小于流速的減小率。氣流，密度的增加率小于流速的減小率。1 Mavdvd 1 Mavdvd 時，時， 這種變化率關系的不同，將導致如下亞聲速和超聲這種變化率關系的不同，將導致如下亞聲速和超聲速氣流在速度與流道斷面積關系上的本質(zhì)差異。速氣流在速度與流

7、道斷面積關系上的本質(zhì)差異。三、三、 氣流速度與流道斷面積的關系氣流速度與流道斷面積的關系 由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程0 AdAvdvd vdvMavdvvdvMavdvdAdA) 1()(22得得此式即為流速變化率與斷面積變化率的關系式。此式即為流速變化率與斷面積變化率的關系式。以下討論此關系式。以下討論此關系式。 反之，亞聲速氣流做加速降壓流動時，過流反之，亞聲速氣流做加速降壓流動時，過流斷面積一定是逐漸減小的。斷面積一定是逐漸減小的。1、 若若 （亞聲速流動）（亞聲速流動）1 Ma 與與 具有相反的符號，可見對于亞聲速具有相反的符號，可見對于亞聲速變截面流動，截面積增加時，流速減小，壓強增變

8、截面流動，截面積增加時，流速減小，壓強增加，加，變化規(guī)律符合不可壓縮流體的流動規(guī)律。變化規(guī)律符合不可壓縮流體的流動規(guī)律。vdvAdA欲使氣流加速，則必須使用漸縮管道。欲使氣流加速，則必須使用漸縮管道。2、若、若 Ma 11（超（超聲聲速流速流動動） 當過流斷面積增加時，在超聲速流動的情況下，當過流斷面積增加時，在超聲速流動的情況下，流速增加，壓強降低；反之，超聲速氣流作減速升流速增加，壓強降低；反之，超聲速氣流作減速升壓流動時，過流斷面積一定是逐漸減小的。壓流動時，過流斷面積一定是逐漸減小的。 欲使氣流加速，則必須采用漸擴管道。欲使氣流加速，則必須采用漸擴管道。dA 03、Ma =1 （跨聲速

9、流動）（跨聲速流動） dA= 0， 過流斷面積過流斷面積 無變化無變化。 將氣流從亞聲速向超聲速轉(zhuǎn)變，或者相反，用將氣流從亞聲速向超聲速轉(zhuǎn)變，或者相反，用單純的收縮管或單純的擴張管都是無法實現(xiàn)的。單純的收縮管或單純的擴張管都是無法實現(xiàn)的。 采用拉瓦爾噴管可獲得超聲速氣流。拉瓦爾噴采用拉瓦爾噴管可獲得超聲速氣流。拉瓦爾噴管由收縮管段、喉部、及擴張管段組成。管由收縮管段、喉部、及擴張管段組成。82 聲速和馬赫數(shù)聲速和馬赫數(shù)（兩個重要參數(shù)）（兩個重要參數(shù)） 壓縮性的大小常常以聲速判斷，壓縮性效應壓縮性的大小常常以聲速判斷，壓縮性效應的度量又往往用馬赫數(shù)。的度量又往往用馬赫數(shù)。一、聲速一、聲速 聲速聲

10、速 微小擾動在氣體（介質(zhì)）中的傳微小擾動在氣體（介質(zhì)）中的傳播速度。以字母播速度。以字母 c 表示。表示。1、微小擾動波的傳播過程、微小擾動波的傳播過程 微小擾動波的傳播方向與流體質(zhì)點的運動微小擾動波的傳播方向與流體質(zhì)點的運動方向是一致的，但方向是一致的，但 c dv。2、微小擾動波傳播速度（即聲速、微小擾動波傳播速度（即聲速 c）的表達）的表達 式式( (聲速公式聲速公式) ) 對所取的兩個斷面和控制體分別列連續(xù)方程對所取的兩個斷面和控制體分別列連續(xù)方程和動量方程：和動量方程： 由連續(xù)方程知：由連續(xù)方程知： cAdt = ( + d )( c dv )Adt略去二階微量可得：略去二階微量可得

11、： c d = dv ( ) 由動量方程得：由動量方程得： pA p + dp A = q c dv c = c A dv 整理得：整理得： A dp = c A dv dp = c dv ( )由上述兩由上述兩( )式消去式消去dv 得：得：則則:(常數(shù)常數(shù)) 微小擾動波的傳播過程是一個絕熱、可逆的微小擾動波的傳播過程是一個絕熱、可逆的等熵過程等熵過程:ddpc RTc聲速公式的又一種形式聲速公式的又一種形式Cp或或:Cp 微分上式得：微分上式得：pddpRTp又由理想氣體又由理想氣體狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：得：得：代入聲速公式得：代入聲速公式得：dcdccdp2 聲速公式聲速公式(方程式方程式

12、)RTddp綜合以上聲速公式的兩種形式可以看出：綜合以上聲速公式的兩種形式可以看出：(1) 流體密度對壓強的變化率流體密度對壓強的變化率 d / dp 反映了流體的反映了流體的壓縮性，亦反映了聲速的大小，所以聲速是反映壓縮性，亦反映了聲速的大小，所以聲速是反映流體壓縮性大小的物理參數(shù)。流體壓縮性大小的物理參數(shù)。(2)聲速與某氣體的熱力學溫度聲速與某氣體的熱力學溫度 T 有關，所以聲速有關，所以聲速也是空間坐標的函數(shù)，常把聲速稱為當?shù)芈曀?。也是空間坐標的函數(shù)，常把聲速稱為當?shù)芈曀佟?3)聲速與氣體的絕熱指數(shù)聲速與氣體的絕熱指數(shù) 及氣體常數(shù)及氣體常數(shù) R 有關。有關。 空氣中的聲速為：空氣中的聲速

13、為：sm 1 .202874 . 1TTc二、馬赫數(shù)二、馬赫數(shù)1、馬赫數(shù)的定義：氣體流動速度、馬赫數(shù)的定義：氣體流動速度 v 與其本身與其本身(該該 介質(zhì)中介質(zhì)中) 的聲速的聲速 c 之比。之比。 記為：記為：Ma = v / c 馬赫數(shù)反映了氣體的可壓縮性程度，是氣體馬赫數(shù)反映了氣體的可壓縮性程度，是氣體可壓縮性效應的一個重要度量?？蓧嚎s性效應的一個重要度量。氣體動力學依據(jù)馬赫數(shù)對可壓縮氣體流動進行分類氣體動力學依據(jù)馬赫數(shù)對可壓縮氣體流動進行分類: Ma 1 即即 v c， 為亞聲速流動；為亞聲速流動； Ma 1 即即 v c， 為為(跨跨)聲速流動聲速流動(兼有亞兼有亞 聲速區(qū)和超聲速區(qū)聲

14、速區(qū)和超聲速區(qū))； Ma 1 即即 v c， 為超聲速流動。為超聲速流動。2、微小擾動在空氣中的傳播特征、微小擾動在空氣中的傳播特征 擾動波的傳播有如圖所示的四種情況。擾動波的傳播有如圖所示的四種情況。（1）擾動源）擾動源 O 點靜止不動，即：點靜止不動，即： v = 0。 微小擾動波面是一個個不同半徑的空間球面。微小擾動波面是一個個不同半徑的空間球面。（2）擾動源以小于聲速的速度向左作等速直線運）擾動源以小于聲速的速度向左作等速直線運 動，即：動，即：v c， Ma 1 (亞聲速亞聲速)。 擾動將始終走在擾動源的前面。擾動將始終走在擾動源的前面。（3）擾動源的運動速度等于聲速，即：）擾動源的

15、運動速度等于聲速，即： v = c Ma = 1 (跨聲速跨聲速)。 擾動源將與它所產(chǎn)生的擾動同時到達同一空擾動源將與它所產(chǎn)生的擾動同時到達同一空間的任何位置。間的任何位置。v = 0v c， Ma 1 (亞聲速亞聲速)v = c Ma = 1 （跨聲速）（跨聲速）v c Ma 1（超聲速）（超聲速）（4 4）擾動源以大于聲速的速度運動，）擾動源以大于聲速的速度運動， 即：即：v c Ma 1（超聲速）。（超聲速）。 擾動源將永遠走在所產(chǎn)生的擾動之前。擾動源將永遠走在所產(chǎn)生的擾動之前。 馬赫錐馬赫錐 擾動波面形成的一個空間圓面。擾動波面形成的一個空間圓面。 馬赫角馬赫角 馬赫錐半頂角。馬赫錐半

16、頂角。 sin = c / v = 1 / Ma 在不可壓縮流體中，由于聲速接近無窮大，在不可壓縮流體中，由于聲速接近無窮大，擾動將立刻傳至各處，擾動源永遠不會到達擾動擾動將立刻傳至各處，擾動源永遠不會到達擾動波的前方。在可壓縮流體中，當波的前方。在可壓縮流體中，當Ma1時時，擾動擾動的傳播特征與不可壓縮流體相近，因此，對于低的傳播特征與不可壓縮流體相近，因此，對于低速流體，可以按不可壓縮流體來處理。速流體，可以按不可壓縮流體來處理。例題：飛機在距地面高度為例題：飛機在距地面高度為H = = 2000 m 的上空，以的上空，以v = 1836 km/h 的速度飛行，空氣的溫度為的速度飛行，空氣

17、的溫度為T = = 15，試求：從飛機飛過觀察者正上方，到觀察者聽到飛試求：從飛機飛過觀察者正上方，到觀察者聽到飛機聲要多少時間？機聲要多少時間？解：當?shù)芈曀贋椋航猓寒數(shù)芈曀贋椋簊mTRc/340152732874 . 1馬赫數(shù)為：馬赫數(shù)為：15 . 13403600/1018363cvMa馬赫角為：馬赫角為：8 .415 . 11arcsin1arcsinMacotHtvl觀察者聽到飛機聲的時間為：觀察者聽到飛機聲的時間為：svHt38. 48 .41cot5102000cot83 理想氣體一元等熵流動的特征理想氣體一元等熵流動的特征 分析氣體一元等熵流動，找出流動斷面間各分析氣體一元等熵流

18、動，找出流動斷面間各參數(shù)間的關系。參數(shù)間的關系。 以滯止狀態(tài)和臨界狀態(tài)來說明這種特征。以滯止狀態(tài)和臨界狀態(tài)來說明這種特征。一、滯止狀態(tài)和滯止參數(shù)一、滯止狀態(tài)和滯止參數(shù) 滯止狀態(tài)滯止狀態(tài) 假定在一元等熵流動中，氣假定在一元等熵流動中，氣體在某一斷面處速度等熵地降為零，該斷面的氣體在某一斷面處速度等熵地降為零，該斷面的氣流狀態(tài)稱為滯止狀態(tài)。流狀態(tài)稱為滯止狀態(tài)。 滯止參數(shù)滯止參數(shù) 滯止狀態(tài)下的運動參數(shù)稱為滯止狀態(tài)下的運動參數(shù)稱為滯止參數(shù)。滯止參數(shù)。 滯止參數(shù)以下標滯止參數(shù)以下標“0”0”標識，對應的壓強、標識，對應的壓強、密度、溫度、聲速分別記為：密度、溫度、聲速分別記為： 、 、 、 。0p00T

19、0c 在滯止狀態(tài)下，由能量方程可得氣流某一斷在滯止狀態(tài)下，由能量方程可得氣流某一斷面的面的運動參數(shù)與滯止參數(shù)之間的關系運動參數(shù)與滯止參數(shù)之間的關系如下：如下：000021121TcRTpvpp 022hvh 1212022 cvc （）流動參數(shù)與馬赫數(shù)之間的關系：流動參數(shù)與馬赫數(shù)之間的關系：由（由（）式兩邊同乘以）式兩邊同乘以 ，可得：，可得：21c222220211211Macvcc所以：所以：200220211MaTTRTRTcc又由等熵關系：又由等熵關系：Cpp 00)()()(000000TTppRTpRTppp故：故： 或或 )TT()pp(010 )TT()pp(010 100 )

20、TT(pp1100 )TT(1120)211(Ma所以：所以：120)211(Mapp 由上述三式可見：對于一元等熵流動，只要由上述三式可見：對于一元等熵流動，只要知道滯止參數(shù)和馬赫數(shù)知道滯止參數(shù)和馬赫數(shù) Ma，則沿流束各斷面上的，則沿流束各斷面上的溫度、壓強和密度等參數(shù)都是可求的。溫度、壓強和密度等參數(shù)都是可求的。二、二、 最大速度狀態(tài)和最大速度最大速度狀態(tài)和最大速度 氣體的全部能量轉(zhuǎn)化為動能，壓強為零，速氣體的全部能量轉(zhuǎn)化為動能，壓強為零，速度達到最大值度達到最大值 ，分別稱為最大速度狀態(tài)和最，分別稱為最大速度狀態(tài)和最大速度。大速度。maxv 由狀態(tài)方程可見：因由狀態(tài)方程可見：因RTp 此

21、時此時 ， 即即 ，且聲速，且聲速0p0T0h0c由能量方程可知：由能量方程可知：221222maxvvc 或者：或者： 得：得：12202 cvmax120 cvmax三、臨界狀態(tài)和臨界參數(shù)三、臨界狀態(tài)和臨界參數(shù)臨界斷面臨界斷面 Ma =1的喉部斷面的喉部斷面 ( 此斷面處此斷面處 )。cv 臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界斷面上的氣流狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。臨界斷面上的氣流狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。臨界參數(shù)臨界參數(shù)臨界斷面上的氣流參數(shù)稱為臨界參數(shù)。臨界斷面上的氣流參數(shù)稱為臨界參數(shù)。臨界參數(shù)以下標臨界參數(shù)以下標 “ ”標識，標識，如如 、 、 、 、 。 Tpcv臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關系臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關系：由前

22、述流動參數(shù)與馬赫數(shù)的關系式可得：由前述流動參數(shù)與馬赫數(shù)的關系式可得：當當 Ma = 1 時，則有：時，則有： 210TT111100)21()(TT1100)21()(TTpp滯止參數(shù)和臨界參數(shù)都是描述可壓縮流體的參數(shù)。滯止參數(shù)和臨界參數(shù)都是描述可壓縮流體的參數(shù)。臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關系只與絕熱指數(shù)臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關系只與絕熱指數(shù) 有關。有關。84 收縮噴管與拉伐爾噴管的計算收縮噴管與拉伐爾噴管的計算 導出收縮噴管與拉伐爾噴管的速度和流量的計導出收縮噴管與拉伐爾噴管的速度和流量的計算公式。算公式。 可由已知的噴管尺寸和壓強計算速度和流量，可由已知的噴管尺寸和壓強計算速度和流量，反之，亦可由要求的噴管流量和壓強設計噴管的型反之，亦可由要求的噴管流量和壓強設計噴管的型式和尺寸。式和尺寸。一、收縮噴管一、收縮噴管二、拉伐爾噴管二、拉伐爾噴管例題例題: 大容積容器中的