數(shù)列全部題型歸納

1、數(shù)列百通通項(xiàng)公式求法(一)轉(zhuǎn)化為等差與等比1、已知數(shù)列an滿足ai 1 , an 卮;丁 ( n N , 2 W n W 8 ),則它的通項(xiàng)公式an什么2 .已知a。是首項(xiàng)為2的數(shù)列，弁且am a02a“an i ,則它的通項(xiàng)公式an是什么3 .首項(xiàng)為2的數(shù)列，弁且an i2 a”3,則它的通項(xiàng)公式an是什么4、已知數(shù)列 an 中ai 0 , an i 一1一，n N*.2 an求證： , 是等差數(shù)列；弁求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;an 15.已知數(shù)列an中，ai3,an i2an2n 2 ,如果bnan 2n ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（二）含有&的遞推處理方法1）知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足2 （

2、1） 1,求數(shù)歹U 的通項(xiàng)公式.2.）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足,Sn3）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足，ani自0© 1則，數(shù)列an44) ai 2a2 3a3 .nan n(n 1)(n 2)求數(shù)列an(三)累加與累乘(1)如果數(shù)列an中ai1,an an 1 2nm 2)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列an滿足a1 3, anan 1 一1一(n 2),求此數(shù)列的通項(xiàng)公式n(n 1)a1 1生2,an+2=3an1 2an,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式(4)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足，Sn ',& g則，數(shù)列Hn(四)一次函數(shù)的遞推形式1.若數(shù)列an滿足切1,an 2an1 1

3、(n 2),數(shù)列an(1) an3 an 2(n 3), &1,a27,求數(shù)列a n2 .若數(shù)列an滿足ai1,an ；4i 2n (n 2),數(shù)列an（五）分類討論(2)三 2,( n 3)ai1a 3,求數(shù)列 anan 2(六)求周期16(1) an1 w,a2 4'求數(shù)列 a20042）如果已知數(shù)列an1anan1，a12,a26，求a2010拓展1:有關(guān)等和與等積(1)數(shù)列 an滿足 ai0 , an 1 an2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)數(shù)列 an滿足 ai0 , an i an2n ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式(3).已知數(shù)列滿足a1 3,anan 1(1)n,(n N*),求此

4、數(shù)列的通項(xiàng)公式.拓展2綜合實(shí)例分析1已知數(shù)歹U 的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意自然數(shù)n,總有& p an 1 ,p 0,p(1)求此數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)如果數(shù)列bn中，bn 2n q,ai bi,a2 b2 ,求實(shí)數(shù)p的取值范圍32已知整數(shù)歹U滿足aia2a2a3a3a4.anian中，求所有可能的a.3已知劣是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，弁且(n 1)a2i na2 a。© 0(n 1,2,3,L ),則它的通項(xiàng)公式a。是什么4已知an是首項(xiàng)為1的數(shù)列，并且an1己,則它的通項(xiàng)公式an是什么5、數(shù)列an和bn中,an,bn,an 1成等差數(shù)列,J，Jani ,匹7成等比數(shù)列，且a1 1

5、,b1 2,設(shè)之/求數(shù)列的通項(xiàng)公式。6設(shè)無(wú)窮數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1 2,且當(dāng)n N時(shí)，總有3Sn 1 1 2Sn , 求an及Sn .7數(shù)列an滿足p 1 s 1 an ,其中p為正實(shí)數(shù)，Sn ai a2an n N(1) 證明：an 為等比數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)；數(shù)列bn中，bi1 ,bnibnan,求bn的通項(xiàng)公式數(shù)列求最值的方法(一)化為函數(shù)方法轉(zhuǎn)化為耐克函數(shù)2(1)如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an = n n 4 ,此數(shù)列的哪一項(xiàng)最??？弁求其最 小值(2)如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式是看，此數(shù)列的哪一項(xiàng)最大？并求其最大轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)(3)如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an = n.5,此數(shù)列

6、的哪一項(xiàng)最大？并求其最大轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)(4)如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an = n2 kn 2是單調(diào)遞增數(shù)列，求k的取值范圍。如果該數(shù)列在第四項(xiàng)最小，求 k的取值范圍(二)數(shù)列的簡(jiǎn)單單調(diào)性求最值的方法：如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=-.(n N*), n 1 n 2 n n(1)判斷數(shù)列的增減(2)若對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式an Jloga(a 1) 2恒成立求a的取值范 n 123圍？(三)計(jì)算器結(jié)合復(fù)雜單調(diào)性，求最值的方法(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n 1,n N* ,是否存在自然數(shù) m,使對(duì)任意的序號(hào)n N* ,有烝am恒成立，若存在，求出 m,如果不存在，請(qǐng)說明理由(2)如果

7、數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(i90)n,nN* ,是否存在自然數(shù)m,使對(duì)任意的序號(hào)n N* ,有anam恒成立，若存在，求出m,如果不存在，請(qǐng)說明理由(3)如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(n 1)(2)n,n N* ,是否存在自然數(shù)m,使對(duì)任 意的序號(hào)n N* ,有anam恒成立，若存在，求出m,如果不存在，請(qǐng)說明理由(四)數(shù)列單調(diào)性求“和”的最值的方法已知數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn ,且Sn n 5an 85,( n N)(1)求an的通項(xiàng)公式(2)求Sn的通項(xiàng)公式(3)說說n為何值時(shí)，Sn取得最小值？數(shù)列的求和(一)倒序相加法:(1)設(shè)f x ”，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，求:f

8、0 f 8 f 9的值(2) Sn Cn 2C1 3C2 4Cn .nCn 1 (n 1)Cn（二）錯(cuò)位相減法求和：2 3 5 5受(三)公式求和法(1)數(shù)列an中，ai8a 2 且 an 2 2an an 0 n N* ,Snaia2a3a4(2)n n 1 n 2 2Sna a b a b(3)求和 12 22 32 42三）裂項(xiàng)求和法(1)1 J 11 5,3 7,5 9,(2)1112二段臺(tái)*)(4)求數(shù)列an n n!的前n項(xiàng)和(四).分組求和法1.分部分組法1 1) 11,21,31，2 4 8，32 .奇偶分組, 左 6n 5 n為偶數(shù)一小心，、,(3)已知ann不十切 求數(shù)列a

9、n的前n項(xiàng)和.4n n為奇數(shù)3均勻分組(4)1,3, 5,7 4.不均勻分組(5)求數(shù)列：iJJJJJJJJJ,的前100項(xiàng)和;223334444(6)求數(shù)列：1,2 3,4 5 6,7 8 9 10,的前n項(xiàng)和.數(shù)列的極限 5個(gè)“三 三個(gè)定義極限(1) nim (C為常數(shù))(2) lim - =0； n n(3) lim 0 ( V 1)n三個(gè)不存在的極限lim n nlim( 1)n nlim 2n n三個(gè)推導(dǎo)極限(4) 多項(xiàng)式kk 1aakn ana。1nm bnbl 1n 1 .tnb0a,l b0,lk； *(k,l N ,ak0,hk.0)2,b an bn 3lim 3 ，則 a

10、n 4n 5(2)單指數(shù)(1 r)(1 qn) 1nm q(1 qn1)(3)多指數(shù)若lim 一:一F1,求a的取值范圍n3n1 a 1n 3,三個(gè)待定形1) 0型01 31_3一 ，、 一 一比較Hm%和iM?_e n 1_2 n 14一2nnnn2)型C 22 c比較lim 0+0+0+0+0+0+0+0型V二和lim笑二n 2n2 1 n 2n2 1limnn2 13n2 12n1)三個(gè)重要條件limqn 0( 1 q 1) nlimqn極限存在(1 q 1) nAS lim Sn (0 | q| 1)n 1 q設(shè)數(shù)歹U an是公比q 0的等比數(shù)列，&是它的前n項(xiàng)和，若nim 0

11、 7,那么©的的取值范圍是例1已知數(shù)列an中f, a1 1a2012n(n N )(1)求證數(shù)列an不是等比數(shù)列，弁求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(3)設(shè)數(shù)列an的前2n項(xiàng)和為S2n,若3(1 ka2n) S2n?a2n對(duì)任意n N恒成立，求k的最小值.例2定義Xi, X2,，Xn的“倒平均數(shù)”為n (n N*).Xi X2 Xn(1)若數(shù)列an前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)"為求an的通項(xiàng)公式； 2n 4(2)設(shè)數(shù)列bn滿足：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn 1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn 2 .若Tn為bn前n項(xiàng)的倒平均數(shù)，求limTn； n(3)設(shè)函數(shù)f(X) X2 4X,對(duì)(1

12、)中的數(shù)列an,是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)X時(shí)，f (X) 反對(duì)任意n N*恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說n 1明理由.例3設(shè)滿足條件P：an an 2 2an i(n N*)的數(shù)列組成的集合為A ,而滿足條件Q：an an 2 2an i(n N*)的數(shù)列組成的集合為B.(1)判斷數(shù)列an：an 1 2n和數(shù)列bn:bn 1 2n是否為集合A或B中的元素?(2)已知數(shù)列an (n k)3,研究an是否為集合A或B中的元素；若是，求 出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不是，請(qǐng)說明理由.(3)已知an 31( 1)i log2 n(i Z,n N*),若an為集合B中的元素，求滿足不 等式12n a

13、01 60的n的值組成的集合.例4對(duì)于數(shù)列 Xn,如果存在一個(gè)正整數(shù)m ,使得對(duì)任意的n (n N )都有 m 4 成立，那么就把這樣一類數(shù)列 Xn稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù) 列Xn的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱周期.例如當(dāng)Xn 2時(shí)Xn是周期為1的周期數(shù)列， 當(dāng)yn sin(n)時(shí)yn是周期為4的周期數(shù)列.2(1)設(shè)數(shù)列2門滿足2門2 an 1 an ( n N ) , ai a, a? b (a, b不同時(shí)為0),求 證：數(shù)列an是周期為6的周期數(shù)列，弁求數(shù)列an的前2012項(xiàng)的和易段； 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且4Sn (an 1)2.若an 0,試判斷數(shù)列an是否為周期數(shù)列，

14、弁說明理由； 若anan1 0,試判斷數(shù)列an是否為周期數(shù)列，弁說明理由；例5已知數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式分別為an 3n 6, bn 2n 7 ( n N* ),將集合x|x an,n N*Ux|x bn,n N*中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c , c2, c3,L ,cn,L1)求c , c2, c3 ,c4；(2)求證：在數(shù)列Cn中.但不在數(shù)列bn中的項(xiàng)恰為a2,a4,L ,a2n,L ;(3)求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式。例6如果有窮數(shù)列國(guó)a,a3, L,3m( m為正整數(shù))滿足條件aiam, a? am 1 ,，ama1，即aiam i 1( i 1， 2 L ， m) ，我們稱其為“

15、對(duì)稱數(shù)列”例如，數(shù)列1， 2 5 2 1 與數(shù)列8， 4 2 2 4 8都是“對(duì)稱數(shù)列”(1)設(shè)bn是7項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列"，其中bl, b2,b3,b4是等差數(shù)列，且bi2,b411 .依次寫出 bn 的每一項(xiàng)；(2)設(shè)Cn是49項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中C25, C26,L應(yīng)9是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求cn 各項(xiàng)的和S；(3)設(shè)dn是100項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中d51,d52 ,L ,d100是首項(xiàng)為2,公差為3的 等差數(shù)列.求dn前n項(xiàng)的和Sn(n 1,2,L ,100).挑戰(zhàn)一已知數(shù)列an是首項(xiàng)ai a,公差為2的等差數(shù)列；數(shù)列bn滿足2bn (n 1閉.(1)若ai、a3、

16、a4成等比數(shù)列，求數(shù)列 加的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意n N都有bn b5成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；數(shù)列Cn滿足cnCn2 3 ( 2)n 1(n N且n3),其中 g 1 ,C22 ；f(n) bn Cn ,當(dāng) 16 a 14 時(shí)，求 f(n)的最小值(nN)挑戰(zhàn)二我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A,若存在數(shù)列小和實(shí)數(shù)x(x 0),使得A ai a2x a3X2 .a”xn 1,則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：A x(a1)(a2)(a3).( 1)(4)。如：A 2( 1)(3)( 2)(1),則表示 A 是一個(gè) 2 進(jìn)制形式 的數(shù)，且 A 1 3 2 ( 2) 22 1 23 = 5.(1)已

17、知m (1 2x)(1 3x2)(其中x 0),試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式.(2)若數(shù)列值滿足a1 2, ak 1 -,k N* ,1 akbn 2(a0(a2)(a3).(a3n 2)(a3n 1)由新)(n N*),是否存在實(shí)常數(shù) p和q,對(duì)于任意的 n N*, bnpg8n q總成立？若存在，求出 p和q；若不存在，說明理由.(3)若常數(shù) t滿足 t 0且t 1, dn t(Cn)(C2)(C3).(Cn 1)(Cn),求 lim4 .ndn 1挑戰(zhàn)二已知數(shù)列 an 滿足 a1 1, an 1 2an 2n(n N ).(1)并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；bniC； ani對(duì)n N都成

18、立;求等差數(shù)列bn (n N ),使biC：bzCnb3cl2令Cnnbn (nN ),是否存在正常數(shù)M,使上且Maia2a3an恒成立，弁證明你的結(jié)論.挑戰(zhàn)四已知等差數(shù)列an中，公差d 0,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a2 a3 45 ,a1 a4 14.(1)求數(shù)歹U an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)由bn a (c 0)構(gòu)成的新數(shù)列為bn ,求證：當(dāng)且僅當(dāng)c 1時(shí)，數(shù) n c2列bn是等差數(shù)列；(3)對(duì)于(2)中的等差數(shù)列bn ,設(shè)Cn 8 (n N*),數(shù)列Cn的前(an 7) bnn 項(xiàng)和為Tn,現(xiàn)有數(shù)列f(n) , f (n)Tnan3-80.9n( n N*),是否存在整數(shù)M ,使f n M

19、對(duì)一切n N*都成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由挑戰(zhàn)五已知，數(shù)列an有ai a,a2 p (常數(shù)p 0),對(duì)任意的正整數(shù)n, Sn a a?an,弁有Sn滿足Sn慢3。2(1)求a的值；(2)試確定數(shù)列an是不是等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式。若不是，說明 理由；(3)對(duì)于數(shù)列bn ,假如存在一個(gè)常數(shù) b使得對(duì)任意的正整數(shù) n都有bn b且limbn b,則稱b為數(shù)列bn的“上漸進(jìn)值”，令Pn 8包，求數(shù)列 nSn 1 Sn2Pi P2Pn 2n的“上漸進(jìn)值”。挑戰(zhàn)六已知數(shù)列 an 中，a1 0, an 1 -一，n N*.2 an(1)求證：'是等差數(shù)列；弁求數(shù)列

20、an的通項(xiàng)公式；an 1，域收斂(2)假設(shè)對(duì)于任意的正整數(shù) m、n,都有1bl bml ,則稱該數(shù)列為n數(shù)列”.試判斷：數(shù)列bn an 4 , n N*是否為一個(gè)“工域收斂數(shù)列”，請(qǐng)說明 53你的理由.23(本大題18分)已知二次函數(shù)f(x) x2 ax a,(a 0x R),有且僅有唯一 的實(shí)數(shù)x值滿足f(x) 0.(1近數(shù)列小中，滿足&f(n) 4,求%的通項(xiàng)；(2)在數(shù)列an中依次取出第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第4項(xiàng).第2n 1項(xiàng).組成新數(shù)列bn, 求新數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn;(理科)設(shè)數(shù)列Cn滿足Cn Cn1 2n 3,g 1,數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和記作Hn,試 比較Hn與題(1戶S的大小.仁科)設(shè)Cn ,求數(shù)列Cn的最大和最小值.anan 1