數(shù)學(xué)準(zhǔn)備—矢量及其運(yùn)算1

1、數(shù)學(xué)預(yù)備知識數(shù)學(xué)預(yù)備知識 矢量及其運(yùn)算矢量及其運(yùn)算一、矢量的概念一、矢量的概念 1.矢量的定義矢量的定義既有大小又有方向的量叫做矢既有大小又有方向的量叫做矢量（向量）量（向量）記記 號：號：大小表示：大小表示：F標(biāo)量：僅有大小的量叫做標(biāo)量標(biāo)量：僅有大小的量叫做標(biāo)量如：質(zhì)量如：質(zhì)量m 、時間、時間 t、 路程路程 s、動能、動能Ek 、勢能、勢能 Ep 等。等。 標(biāo)量僅有大小沒有方向但有正負(fù)，如溫度標(biāo)量僅有大小沒有方向但有正負(fù)，如溫度 tFavba vbABABAB2. . 矢量的圖形表示：帶有箭頭的線段矢量的圖形表示：帶有箭頭的線段 線段長度線段長度矢量大小矢量大小 箭頭指向箭頭指向矢量的方向

2、矢量的方向 ABF起點起點終點終點F=5N，方向為水平向右，方向為水平向右 3. 兩矢量相等的條件：大小相等，方向相同兩矢量相等的條件：大小相等，方向相同.與起點無關(guān)與起點無關(guān)ABCDAB = CD4.矢量可以平移矢量可以平移abbaabba二二. 矢量的加法矢量的加法1.矢量加法的平行四邊形法則矢量加法的平行四邊形法則 兩矢量兩矢量 與與 的和是以這兩個矢量為兩邊的平行的和是以這兩個矢量為兩邊的平行四邊形的對角線矢量四邊形的對角線矢量 ,記為：記為： 5. 負(fù)矢量負(fù)矢量兩矢量等大反向互稱為負(fù)矢量兩矢量等大反向互稱為負(fù)矢量ab=- aba =-b或或:aa =-bbcab=+矢量加法的表示式矢

3、量加法的表示式c 通常將這種用平行四邊形的對角線來求通常將這種用平行四邊形的對角線來求出兩矢量和的方法叫出兩矢量和的方法叫矢量加法的平行四矢量加法的平行四邊形法則邊形法則. 稱為稱為 、 的合矢量的合矢量 、 稱為稱為 的兩個分矢量的兩個分矢量據(jù)余弦定理：據(jù)余弦定理： cbacababc)180cos(2222abbaccos222abbacos222abbac c矢量的大小矢量的大小規(guī)定：規(guī)定： 矢量的方向是：矢量的方向是： 與任一分矢量之間與任一分矢量之間的夾角。的夾角。 矢量的定義矢量的定義 : 既有大小又有方向既有大小又有方向,加法運(yùn)算加法運(yùn)算時滿足平行四邊形法則的物理量叫做矢量。時滿

4、足平行四邊形法則的物理量叫做矢量。cccossinbabtgcba 兩矢量相加，要將一個矢量的起點移到另一個矢兩矢量相加，要將一個矢量的起點移到另一個矢量的終點，然后連結(jié)一矢量的始點和另一矢量的終點量的終點，然后連結(jié)一矢量的始點和另一矢量的終點,即為兩矢量的和。即為兩矢量的和。 由于三個矢量構(gòu)成一個三角形，所以稱為矢量加法由于三個矢量構(gòu)成一個三角形，所以稱為矢量加法的三角形法則。的三角形法則。 應(yīng)當(dāng)注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分應(yīng)當(dāng)注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分矢量矢量obca或或obcaobccba=+2.矢量加法的三角形法則矢量加法的三角形法則即即 三角形的任一邊可大于

5、、等于、小于其三角形的任一邊可大于、等于、小于其它任一邊它任一邊bacca，cbbcaca，cbacbc=a=b 依次作出各個矢量，其中后一個矢量的依次作出各個矢量，其中后一個矢量的起點正好是前一個矢量的終點，那么從第一起點正好是前一個矢量的終點，那么從第一個矢量的起點到最后一個矢量的終點所引的個矢量的起點到最后一個矢量的終點所引的矢量，即它們的矢量和矢量，即它們的矢量和.此時所有的分矢量與此時所有的分矢量與合矢量圍成一個多邊形合矢量圍成一個多邊形.所以稱為矢量加法的所以稱為矢量加法的多邊形法則。多邊形法則。abccbad3.矢量加法的多邊形法則矢量加法的多邊形法則在共點力的作用下，物體處于平

6、衡狀態(tài)在共點力的作用下，物體處于平衡狀態(tài)時，合力為零，構(gòu)成一個封閉的多邊形時，合力為零，構(gòu)成一個封閉的多邊形多力平衡力多邊形自行封閉多力平衡力多邊形自行封閉.F1F2F3F4F1F2F3F4F1F2F3F1F2F3注：注：三力平衡時，構(gòu)成一個封閉的三角形三力平衡時，構(gòu)成一個封閉的三角形. 三力平衡力三角形自行封閉三力平衡力三角形自行封閉三三.矢量的減法矢量的減法1.矢量減法的平行四邊形法則矢量減法的平行四邊形法則 可見求可見求 與與 的差即求的差即求 與與 的的和，可以按平行四邊形法則或三角形法和，可以按平行四邊形法則或三角形法則計算則計算即矢量的減法實質(zhì)上仍是矢即矢量的減法實質(zhì)上仍是矢量的加

7、法，矢量的加、減法統(tǒng)稱為矢量量的加法，矢量的加、減法統(tǒng)稱為矢量的合成的合成.bac)( acacbcac)( aacabccab2.矢量減法的三角形法則矢量減法的三角形法則 兩矢量相減，要將它們移到一個共同的起點，然兩矢量相減，要將它們移到一個共同的起點，然后從減項矢量的終點向被減項矢量的終點所引的矢后從減項矢量的終點向被減項矢量的終點所引的矢量即為所求之差。量即為所求之差。如：如：小結(jié)：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分小結(jié)：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分矢量（減法），從數(shù)學(xué)角度來說就是求解三角形的矢量（減法），從數(shù)學(xué)角度來說就是求解三角形的邊和角的問題邊和角的問題,因此一切解算

8、三角形的數(shù)學(xué)方法均因此一切解算三角形的數(shù)學(xué)方法均可使用?？墒褂?。acbcabbacbacabcbab指向減aba指向減可見：可見：bac如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等邊三角形、如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等邊三角形、相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。注意：注意：.已知合矢量已知合矢量F的大小和方向與另一個分矢量的大小和方向與另一個分矢量F1的方向，則另一個分矢量的方向，則另一個分矢量F2與與F1相互垂直時相互垂直時F2有極有極小值小值 且且 .已知一個分矢量已知一個分矢量F1的大小和方向與合矢量的大小和方向與合矢量F的方的方

9、向，則另一個分矢量向，則另一個分矢量F2與合矢量與合矢量F相互垂直時相互垂直時 有極小有極小值值 即：即：sinmin2FFsin1min2FFF2900900F1FFF1F2四四. 矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法）矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法） 矢量的加、減法的平行四邊形法則或三角形法矢量的加、減法的平行四邊形法則或三角形法則則, ,均為矢量合成的幾何法，用幾何法處理兩個矢量的均為矢量合成的幾何法，用幾何法處理兩個矢量的合成還是比較簡單的，但對于多個矢量的合成問題再合成還是比較簡單的，但對于多個矢量的合成問題再用幾何法就顯得麻煩了用幾何法就顯得麻煩了. .為解決此問題人們引

10、入了矢量為解決此問題人們引入了矢量合成的解析法合成的解析法正交分解合成法，從而將矢量計算正交分解合成法，從而將矢量計算轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算，使多個矢量的合成問題變的簡單了。轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算，使多個矢量的合成問題變的簡單了。 1.1.正交分解：一個矢量正交分解：一個矢量 a a 對應(yīng)一個平行四邊形對應(yīng)一個平行四邊形的對角線，一個對角線對應(yīng)有無數(shù)個平行四邊形，而的對角線，一個對角線對應(yīng)有無數(shù)個平行四邊形，而一個矢量可以由平行四邊形法則分解為無數(shù)對分矢一個矢量可以由平行四邊形法則分解為無數(shù)對分矢量，在這無數(shù)對分矢量中必然包括一對相互垂直的分量，在這無數(shù)對分矢量中必然包括一對相互垂直的分矢量。矢量。 將一個矢

11、量在選定的直角坐標(biāo)系中，沿兩個坐將一個矢量在選定的直角坐標(biāo)系中，沿兩個坐標(biāo)軸的方向分解標(biāo)軸的方向分解矢量的正交分解法。矢量的正交分解法。如右圖所示：如右圖所示： 矢量矢量 的方向：的方向： 矢量矢量 的大小的大小: sincosaaaayx軸上的分量在軸上的分量在yxaaaayxaxyaatga22yxaaa0 xyxayaa 矢量矢量a與與x軸正向夾角軸正向夾角（可正、可負(fù)）（可正、可負(fù)）（可正、可負(fù)）（可正、可負(fù)） 注：已知一個矢量的大小和方向，它在直角坐注：已知一個矢量的大小和方向，它在直角坐標(biāo)系中的分量唯一確定標(biāo)系中的分量唯一確定,反之已知一個矢量在直角坐反之已知一個矢量在直角坐標(biāo)系中

12、的兩個分量則可完全確定該矢量的大小和方標(biāo)系中的兩個分量則可完全確定該矢量的大小和方向。向。2. 正交合成正交合成 求：求：解：解：1cosaaxab+=?1sinaay2sinbbx2cosbby21coscosbabacxxx21sinsinbabacyyy又又xybaco1222122122)sinsin()coscos(babacccyxxycctanxxxbac方向方向 ：再求再求 ：abc= ?解解 ：21coscosbayyybac21sinsinbaxyabo1222yxccc221221)sinsin()coscos(baba2121coscossinsinbabaxyCC=t

13、g=再如：計算再如：計算?cba1cosaax2sinaay2cosbbx2sinbby21coscosbabacxxx21sinsinbacybxyba 12ao計算計算?cba)cos(cos21babacxxx21sinsinbabacyyy22yxccc22yxCCctgxyccxy12abba xycctg21coscosba例：已知例：已知方向如圖，求合力方向如圖，求合力F.解：利用正交分解合成法解：利用正交分解合成法 NF2001NF1552NF3003NFx17330cos20001NFy10030sin20001=-155 = - 93N xF2053cos=-155 =-1

14、24NyF2053sin=-300 =-212NxF3045cos=300 =212NyF3045sinxY45531F2F3F45532F3F45532F3F3000012555180:orNFFFyx230)188()132(222242. 1132188xyFFtg055F與與x軸負(fù)方向夾角為軸負(fù)方向夾角為55F與與x軸方向夾角軸方向夾角NFFFFNFFFFyyyyxxxx18821212410013221293173321321xY45531F2F3F45532F3F45532F3F30五五 在同一直線上的矢量的運(yùn)算在同一直線上的矢量的運(yùn)算 在同一直線上的矢量其方向僅有兩個在同一直線上

15、的矢量其方向僅有兩個,因此可以因此可以用正、負(fù)兩個符號表示兩個方向，具體做法是：沿著用正、負(fù)兩個符號表示兩個方向，具體做法是：沿著矢量所在的直線選定一個正方向矢量所在的直線選定一個正方向,即建立一維坐標(biāo)系即建立一維坐標(biāo)系（直線坐標(biāo)系）（直線坐標(biāo)系）.凡方向與正方向相同的矢量取正凡方向與正方向相同的矢量取正值，凡方向與正方向相反的矢量取負(fù)值。這樣用一個值，凡方向與正方向相反的矢量取負(fù)值。這樣用一個帶有正、負(fù)號的數(shù)值把矢量的大小和方向都表示出帶有正、負(fù)號的數(shù)值把矢量的大小和方向都表示出來，從而將同一直線上的矢量運(yùn)行轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，來，從而將同一直線上的矢量運(yùn)行轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，實際上這也是平行四邊形

16、法則在特殊情況下的運(yùn)用。實際上這也是平行四邊形法則在特殊情況下的運(yùn)用。如：如：a=5 b=-3 c=a+b=5-3=2a=5b=-3x方向與正方向同方向與正方向同當(dāng)然也可用平行四邊形法則：當(dāng)然也可用平行四邊形法則：cos222abbac180cos222abbaabba2222)(baba235 或或 六六. 兩矢量的乘法兩矢量的乘法1. 兩矢量的點積（數(shù)量積）兩矢量的點積（數(shù)量積）定義：兩個矢量定義：兩個矢量 和和 的乘積定義為的乘積定義為 兩矢量之間的夾角。兩矢量之間的夾角。b=3a=-5xC矢量大小為矢量大小為2方向與規(guī)定正方向相反方向與規(guī)定正方向相反b=3 a=-5c=a+b=-5+3 =-2abbaccosab 注：由于這種矢量的乘法是在注：由于這種矢量的乘法是在 和和 之間之間放上一點來表示的，因此積得點積。由于這種放上一點來表示的，因此積得點積。由于這種乘積的實際定義是乘積的實際定義是 ，這是一個數(shù)量，這是一個數(shù)量（標(biāo)量），因此又稱為數(shù)量積。（標(biāo)量），因此又稱為數(shù)量積。如：物體向右運(yùn)動如：物體向右運(yùn)動求力求力F可作的功可作的功W=？cosabfNFmg1FsabcosFSSFw2.兩矢量的叉積（矢量積）兩矢量的叉積（矢量積）