學(xué)案5空間中的垂直關(guān)系

1、2空間中的垂空間中的垂直關(guān)系直關(guān)系以立體幾何的定義、公理和定理以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理. .3 1.在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查線面垂直、面面垂直關(guān)系以及邏輯推理能力線面垂直、面面垂直關(guān)系以及邏輯推理能力. 2.考查線面角、面面角的方法，考查作圖、證明、考查線面角、面面角的方法，考查作圖、證明、計(jì)算空間想像能力和推理論證能力。計(jì)算空間想像能力和推理論證能力。 3.近年來(lái)開(kāi)放型問(wèn)題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這近年來(lái)開(kāi)放型問(wèn)題不斷在高考試題

2、中出現(xiàn)，這說(shuō)明高考對(duì)學(xué)生的能力要求越來(lái)越高，這也符合新課說(shuō)明高考對(duì)學(xué)生的能力要求越來(lái)越高，這也符合新課標(biāo)的理念，因而在復(fù)習(xí)過(guò)程中要善于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究標(biāo)的理念，因而在復(fù)習(xí)過(guò)程中要善于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究.立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系，設(shè)計(jì)開(kāi)放型試題將是新課立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系，設(shè)計(jì)開(kāi)放型試題將是新課標(biāo)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)考向標(biāo)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)考向.4 1.直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 如果直線如果直線l與平面與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線就說(shuō)直線l與平面與平面互相垂直，記作互相垂直，記作 .直線直線l叫做叫做平面平面的垂線，平面的垂線，平面叫做直線叫做直

3、線l的垂面的垂面.直線與平面垂直時(shí)直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足叫做垂足. 根據(jù)定義，過(guò)一點(diǎn)根據(jù)定義，過(guò)一點(diǎn) 直線與已知平面直線與已知平面垂直；過(guò)一點(diǎn)垂直；過(guò)一點(diǎn) 與已知直線垂直與已知直線垂直.l 有且只有一條有且只有一條 有且只有一個(gè)平面有且只有一個(gè)平面 5 2.判定定理和性質(zhì)定理 （1）判定定理：判定定理： ，則，則該直線與此平面垂直該直線與此平面垂直. （2）性質(zhì)定理：性質(zhì)定理： . 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 6n nm mO On nm m

4、n na am ma a, , , ,=a ab ba a, ,/ / /a ab ba a, ,/ / /a ab ba a, ,b bb ba a, ,a aa aa aa aa ab bb ba ab ba a/ / /7 3. 3.直線和平面所成的角直線和平面所成的角 一條直線一條直線PA和一個(gè)平面和一個(gè)平面相相交，交， ，這條直線叫做這個(gè)平面的斜，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足叫做斜足.過(guò)斜線上斜足以外的過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線一點(diǎn)向平面引垂線PO，過(guò)垂足，過(guò)垂足O和斜足和斜足A的直線的直線AO叫做叫做斜線在這個(gè)平面上的射影斜線在

5、這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上平面的一條斜線和它在平面上的的 ，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角角. 一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是是 ；一條直線和平面平行；一條直線和平面平行,或在平面內(nèi)，我們或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是說(shuō)它們所成的角是 的角的角. 4.二面角二面角但不和這個(gè)平面垂直但不和這個(gè)平面垂直 射影所成的銳角射影所成的銳角 直角直角 0 8 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角面角.以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面以二面角的棱上任

6、意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)內(nèi) ，這兩條射線所成的角，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角. 5.兩個(gè)平面垂直的定義 一般地一般地,兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是是 ，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作記作 . 6.兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì) （1）判定定理）判定定理 ，則這兩個(gè)平面垂直則這兩個(gè)平面垂直.分別作垂直于棱的兩條射線分別作垂直于棱的兩條射線 直二面角直二面角 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線 9（2）性質(zhì)定理性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)

7、平面內(nèi)兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi) 與另一個(gè)平面垂直與另一個(gè)平面垂直.垂直于交線的直線垂直于交線的直線 10a aa aa aa aa aa al la aa aa aa a, ,l la al la aa aa a, , ,=a a=, ,11如圖如圖,AB為圓為圓O的直徑的直徑,C為圓周為圓周上異于上異于AB的任一點(diǎn)的任一點(diǎn),PA面面ABC,問(wèn)問(wèn):圖中共有多少個(gè)圖中共有多少個(gè)Rt?找出直角三角形找出直角三角形,也就是找出圖中的線線垂直也就是找出圖中的線線垂直.12PA面面ABC,PAAC,PABC,PAAB.AB為圓為圓O的直徑的直徑,ACBC.又又ACBC,PABC,PAAC=A,BC面面

8、PAC.PC平面平面PAC,BCPC.故圖中有四個(gè)直角三角故圖中有四個(gè)直角三角形形:PAC,PBC,PAB,ABC.13 線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得,直線和平直線和平面垂直面垂直,這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線,這是尋找線這是尋找線線垂直的重要依據(jù)線垂直的重要依據(jù).14如圖如圖,已知矩形已知矩形ABCD,過(guò)過(guò)A作作SA平面平面AC,再過(guò)再過(guò)A作作AESB交交SB于于E,過(guò)過(guò)E作作EFSC交交SC于于F.(1)求證求證:AFSC;(2)若平面若平面AEF交交SD于于G,求證求證:AGSD.15 (1)SA平面平面AC,BC平面平面A

9、C,SABC,四邊形四邊形ABCD為矩形為矩形,ABBC,BC平面平面SAB,BCAE,又又SBAE,AE平面平面SBC,AESC,又又EFSC,SC平面平面AEF,AFSC.(2)SA平面平面AC,SADC,又又ADDC,DC平面平面SAD,DCAG,又由又由(1)有有SC平面平面AEF,AG平面平面AEF,SCAG,AG平面平面SDC,AGSD.16如圖所示，已知如圖所示，已知PA矩形矩形ABCD所在平面，所在平面，M，N分別分別是是AB，PC的中點(diǎn)的中點(diǎn).（1）求證：）求證：MNCD；（2）若）若PDA= ，求證：求證：MN 平面平面PCD.4 45 5（1）因）因M為為AB中點(diǎn)，只要證

10、中點(diǎn)，只要證ANB為等腰為等腰三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MNAB. （2）已知）已知MNCD，只需再證，只需再證MNPC，易看出，易看出PMC為等腰三角形，利用為等腰三角形，利用N為為PC的中點(diǎn)，可得的中點(diǎn)，可得MNPC.17 (1)如圖如圖,連接連接AC，AN，BN，PA平面平面ABCD，PAAC，在在RtPAC中，中，N為為PC中點(diǎn)，中點(diǎn)，AN= PC.PA平面平面ABCD，PABC，又，又BCAB， PAAB=A,BC平面平面PAB，BCPB，從而在從而在RtPBC中，中，BN為斜邊為斜邊PC上的中線，上的中線，BN= PC.AN=BN,ABN為

11、等腰三角形為等腰三角形,又又M為底邊的中點(diǎn)為底邊的中點(diǎn),MNAB,又又ABCD,MNCD.2 21 12 21 118(2)連接連接PM,CM，PDA=45,PAAD,AP=AD.四邊形四邊形ABCD為矩形為矩形,AD=BC，PA=BC.又又M為為AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AM=BM.而而PAM=CBM=90,PM=CM.又又N為為PC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，MNPC.由（由（1）知，）知，MNCD，PCCD=C,MN平面平面PCD.19垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想由已知想性質(zhì)，由求證想判定性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)

12、的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來(lái)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來(lái).2021【證明】【證明】 222324如圖，在直四棱柱如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD為等腰為等腰梯形，圖梯形，圖ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱分別是棱AD,AA1的中點(diǎn)的中點(diǎn).（1）設(shè)）設(shè)F是棱是棱AB的中點(diǎn)，證明：的中點(diǎn)，證明：直線直線EE1平面平面FCC1;（2）證明：平面）證明：平面D1AC平面平面BB1C1C.25【證明】【證明】（1）證法一：

13、取）證法一：取A1B1的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為F1.連結(jié)連結(jié)FF1,C1F1.由于由于FF1BB1CC1,所以所以F1平面平面FCC1,因此平面因此平面FCC1即為平面即為平面C1CFF1.連結(jié)連結(jié)A1D,F1C, 由于由于A1F1 D1C1 CD,所以四邊形所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，為平行四邊形，因此因此A1DF1C.又又EE1A1D,得得EE1F1C.而而EE1平面平面FCC1，F(xiàn)1C平面平面FCC1，故故EE1平面平面FCC1.【分析】【分析】證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證線線平行或面面證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證線線平行或面面平行，故由條件尋求轉(zhuǎn)化的關(guān)系；而證明面面垂直，平行，故由條件尋求轉(zhuǎn)化

14、的關(guān)系；而證明面面垂直，一般用判定定理證明一般用判定定理證明.26證法二：因?yàn)樽C法二：因?yàn)镕為為AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD=2,AB=4,ABCD,所以所以CD AF，因此四邊形，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以為平行四邊形，所以ADFC.又又CC1DD1,FCCC1=C,FC平面平面FCC1,CC1平面平面 FCC1,ADDD1=D,AD平面平面ADD1A1,DD1平面平面ADD1A1,所以平面所以平面ADD1A1平面平面FCC1.又又EE1平面平面ADD1A1，所以所以EE1平面平面FCC1.故平面故平面D1AC平面平面BB1C1C.27(2)連結(jié)連結(jié)AC，在，在FBC中，中，F(xiàn)C=BC=FB,又又F為為AB的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以AF=FC=FB.因此因此ACB=90,即即ACBC.又又ACCC1，且，且CC1BC=C,所以所以AC平面平面BB1